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2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用测评巩固练习新人教A版必修第二册

2021-2022学年高中数学 第6章 平面向量及其应用测评巩固练习新人教A版必修第二册

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第六章测评
(时间:120分钟　满分:150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.设向量a=(1,0),b=12,12,则下列结论中正确的是(　　)
A.|a|=|b| B.a-b=22
C.a-b与b垂直 D.a∥b
解析:∵a-b=12,-12,
∴(a-b)·b=12,-12·12,12=14-14=0,
∴(a-b)⊥b.
答案:C
2.已知OA=(2,8),OB=(-7,2),则13AB=(　　)
A.(3,2) B.-53,-103
C.(-3,-2) D.53,4
解析:∵AB=OB-OA=(-7,2)-(2,8)=(-9,-6),
∴13AB=13(-9,-6)=(-3,-2).
答案:C
3.已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(　　)
A.4 B.3 C.2 D.0
解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2|a|2-(-1)=2+1=3,故选B.
答案:B
4.在△ABC中,a=4,b=43,A=30°,则B等于(　　)
A.60° B.60°或120°
C.30° D.30°或150°
解析:由正弦定理asinA=bsinB,
得sinB=bsinAa=43×124=32.
又b>a,∴B>A,
∴B=60°或B=120°.
答案:B
5.已知点O是△ABC所在平面上一点,且满足OA·OB=OB·OC=OA·OC,则点O是△ABC的(　　)
A.重心 B.垂心 C.内心 D.外心
解析:∵OA·OB=OB·OC,
∴OB·(OA-OC)=0,
即OB·CA=0,则OB⊥CA.
同理OA⊥BC,OC⊥AB.
∴O是△ABC的垂心.
答案:B
6.在△ABC中,cosC2=55,BC=1,AC=5,则AB=(　　)
A.42 B.30 C.29 D.25
解析:∵cosC=2cos2C2-1=2×552-1=-35,
∴AB2=BC2+AC2-2BC·ACcosC=1+25-2×1×5×-35=32,
∴AB=42,故选A.
答案:A
7.在△ABC中,a=1,B=45°,△ABC的面积为2,则三角形外接圆的半径为(　　)
A.23 B.42 C.522 D.32
解析:由三角形的面积公式,得2=12acsinB=12c×22.
∴c=42.
又b2=a2+c2-2accosB=1+32-2×1×42×22=25,∴b=5.
∵bsinB=2R,∴R=b2sinB=52×22=522.
答案:C
8.设a,b均为单位向量,则“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
解析:|a-3b|=|3a+b|⇔|a-3b|2=|3a+b|2⇔a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2,
因为a,b均为单位向量,所以a2-6a·b+9b2=9a2+6a·b+b2⇔a·b=0⇔a⊥b,
即“|a-3b|=|3a+b|”是“a⊥b”的充分必要条件.故选C.
答案:C
9.在△ABC中,根据下列条件解三角形,则其中有两个解的是(　　)
A.b=10,A=45°,C=75°
B.a=7,b=5,A=80°
C.a=60,b=48,C=60°
D.a=14,b=16,A=45°
解析:A项中,由正弦定理知,只有一解;
B项中,∵A=80°,且a>b,∴只有一解;
C项中,由余弦定理知,只有一解;
D项中,由正弦定理得sinB=bsinAa=16×2214=427>22,∵a<b,∴B>45°,∴D项有两解.
答案:D
10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bcosC+ccosB=asinA,则△ABC的形状为(　　)
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.不确定
解析:由bcosC+ccosB=asinA及正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A,∴sinA=sin2A.
又A为△ABC的内角,
∴sinA=1,A=90°,∴△ABC为直角三角形.
答案:A
11.设点A,B,C不共线,则“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
解析:∵A,B,C三点不共线,∴|AB+AC|>|BC|⇔|AB+AC|>|AB-AC|⇔|AB+AC|2>|AB-AC|2⇔AB·AC>0⇔AB与AC的夹角为锐角.故“AB与AC的夹角为锐角”是“|AB+AC|>|BC|”的充分必要条件,故选C.
答案:C
12.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15 min时,两船的距离是(　　)
A.7 km B.13km
C.19 km D.10-33km
解析:如图,由题意知AM=8×1560=2,BN=12×1560=3,MB=AB-AM=3-2=1,
所以由余弦定理得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcos120°=1+9-2×1×3×-12=13,所以MN=13km.

答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案写在题中的横线上)
13.设向量a=(1,0),b=(-1,m),若a⊥(ma-b),则m=　　　　　. 
解析:∵a=(1,0),b=(-1,m),
∴ma-b=(m,0)-(-1,m)=(m+1,-m).
由a⊥(ma-b)得,a·(ma-b)=0,
∴a·(ma-b)=m+1=0,即m=-1.
答案:-1
14.如图,在△ABC中,B=45°,D是BC边上一点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB=　　　　　. 

解析:在△ACD中,由余弦定理可得
cosC=49+9-252×7×3=1114,则sinC=5314.
在△ABC中,由正弦定理可得ABsinC=ACsinB,
则AB=ACsinCsinB=7×531422=562.
答案:562
15.已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-5b,设a,c的夹角为θ,则cos θ=　　　　　. 
解析:∵a,b为单位向量,∴|a|=|b|=1.
又a·b=0,c=2a-5b,
∴|c|2=4|a|2+5|b|2-45a·b=9,∴|c|=3.
又a·c=2|a|2-5a·b=2,
∴cosθ=a·c|a||c|=21×3=23.
答案:23
16.若△ABC的面积为34(a2+c2-b2),且∠C为钝角,则∠B=　　　　　;ca的取值范围是　　　　　. 
解析:∵S△ABC=34(a2+c2-b2)=12acsinB,
∴a2+c2-b22ac=sinB3,即cosB=sinB3,
∴sinBcosB=3,∠B=π3,
则ca=sinCsinA=sin2π3-AsinA=32·cosA--12·sinAsinA=32·1tanA+12.
∵∠C为钝角,∠B=π3,∴0<∠A<π6,
∴tanA∈0,33,1tanA∈(3,+∞),
故ca∈(2,+∞).
答案:π3　2,+∞
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),0<α<β<π.
(1)求|a|的值;
(2)求证:a+b与a-b互相垂直.
(1)解:|a|=sin2α+cos2α=1,∴|a|=1.
(2)证明:∵(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2,
又|a|2=cos2α+sin2α=1,|b|2=sin2β+cos2β=1,
∴(a-b)·(a+b)=0,
∴a+b与a-b互相垂直.
18.(本小题满分12分)设OA=(2,-1),OB=(3,0),OC=(m,3).
(1)当m=8时,将OC用OA和OB表示;
(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.
解:(1)当m=8时,OC=(8,3),
设OC=λ1OA+λ2OB,
∴(8,3)=λ1(2,-1)+λ2(3,0)=(2λ1+3λ2,-λ1),
∴2λ1+3λ2=8,3=-λ1,解得λ1=-3,λ2=143.
∴OC=-3OA+143OB.
(2)若A,B,C三点能构成三角形,则有AB与AC不共线,
又AB=OB-OA=(3,0)-(2,-1)=(1,1),
AC=OC-OA=(m,3)-(2,-1)=(m-2,4),
则有1×4-(m-2)×1≠0,∴m≠6.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,a=3,b-c=2,cos B=-12.
(1)求b,c的值;
(2)求sin(B-C)的值.
解:(1)由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
得b2=32+c2-2×3×c×-12.
因为b=c+2,
所以(c+2)2=32+c2-2×3×c×-12.
解得c=5,所以b=7.
(2)由cosB=-12得sinB=32.
由正弦定理得sinC=cbsinB=5314.
在△ABC中,∠B是钝角,所以∠C为锐角.
所以cosC=1-sin2C=1114.
所以sin(B-C)=sinBcosC-cosBsinC=437.
20.(本小题满分12分)已知向量a=3e1-2e2,b=4e1+e2,其中e1=(1,0),e2=(0,1).求:
(1)a·b,|a+b|;
(2)a与b的夹角的余弦值.
解:(1)∵a=3e1-2e2=3(1,0)-2(0,1)=(3,0)-(0,2)=(3,-2),
b=4e1+e2=4(1,0)+(0,1)=(4,0)+(0,1)=(4,1),
∴a·b=4×3+(-2)×1=10.
∵a+b=(7,-1),
∴|a+b|=72+(-1)2=50=52.
(2)设a与b的夹角为θ,
则cosθ=a·b|a||b|=1032+(-2)2×42+12=1013×17=10221221.
21.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b=3,AB·AC=-6,S△ABC=3,求A和a.
解:∵AB·AC=c·b·cosA=3ccosA=-6,
∴ccosA=-2.
∵S△ABC=12bcsinA=32csinA=3,
∴csinA=2.
∴tanA=-1.
又0<A<π,∴A=3π4.
∴c=2sin3π4=22.
由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=9+8-2×3×22×-22=29.
∴a=29.
22.(本小题满分12分)在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,且2asin A=(2b-c)·sin B+(2c-b)sin C.
(1)求角A的大小;
(2)若sin B+sinC=3,试判断△ABC的形状.
解:(1)由2asinA=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC,
得2a2=(2b-c)b+(2c-b)c,即bc=b2+c2-a2,
∴cosA=b2+c2-a22bc=12,∴A=60°.
(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°.
由sinB+sinC=3,得sinB+sin(120°-B)=3,
∴sinB+sin120°cosB-cos120°sinB=3.
∴32sinB+32cosB=3,即sin(B+30°)=1.
∵0°<B<120°,
∴30°<B+30°<150°.
∴B+30°=90°,B=60°.
∴A=B=C=60°,△ABC为正三角形.