资源描述
<p> 圆的基础学习教案一
姓名 分数 家长评价
在一次上时间管理的课上，教授在桌子上放了一个装水的罐子。然後又从桌子下面拿出一些正好可以从罐口放进罐子里的鹅卵石。当教授把石块放完后问他的学生道：“你们说这罐子是不是满的？”
“是。”所有的学生异口同声地回答说。“真的吗？”教授笑着问。然后再从桌底下拿出一袋碎石子，把碎石子从罐口倒下去，摇一摇，再加一些，再问学生：“你们说，这罐子现在是不是满的？”这回他的学生不敢回答得太快。最后班上有位学生怯生生地细声回答道：“也许没满。”
“很好！”教授说完后，又从桌下拿出一袋沙子，慢慢的倒进罐子里。倒完后，于是再问班上的学生：“现在你们再告诉我，这个罐子是满的呢？还是没满？”
“没有满。”全班同学这下学乖了，大家很有信心地回答说。“好极了！”教授再一次称赞这些“孺子可教也”的学生们。称赞完了后，教授从桌底下拿出一大瓶水，把水倒在看起来已经被鹅卵石、小碎石、沙子填满了的罐子。当这些事都做完之后，教授正色问他班上的同学：“我们从上面这些事情得到什麽重要的功课？”
班上一阵沈默，然後一位自以为聪明的学生回答说：“无论我们的工作多忙，行程排得多满，如果要逼一下的话，还是可以多做些事的。”这位学生回答完後心中很得意地想：“这门课到底讲的是时间管理啊！”
教授听到这样的回答後，点了点头，微笑道：“答案不错，但并不是我要告诉你们的重要信息。”说到这里，这位教授故意顿住，用眼睛向全班同学扫了一遍说：“我想告诉各位最重要的信息是，如果你不先将大的鹅卵石放进罐子里去，你也许以後永远没机会把它们再放进去了。”
感悟：
第一节 圆的概念
1.圆的定义: ,
圆心: , 半径: .
2.圆的面积公式： 。圆的周长公式： 。
3.圆的记号:以点O为圆心的圆,记作"________",读作"_______".
4.点与圆的位置关系
1、点在圆内 点在圆内；
2、点在圆上 点在圆上；
3、点在圆外 点在圆外
5.在平面上，经过给定两点的圆有 个。这些圆的圆心一定在连接这两点的 线段的 上。
6. 定理： 的三点确定一个圆。
7. 圆的内接多边形概念，多边形的外接圆概念。
同步练习
1.在中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以A为圆心、R为半径画⊙A，使点C在⊙A的内部、点B在⊙A的外部，那么半径R应满足的条件是 。
2.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，以A为圆心画圆，若B，C，D三点中至少有一个在圆内，且至少有一个在圆外，则⊙A的半径的取值范围是 。
3.经过一点作圆可以作 个圆；经过两点作圆可以作 个圆，这些圆的圆心在这两点的 上；经过不在同一直线上的三点可以作 个圆，并且只能 作 个圆。
4.已知AB=7cm,则过点A，B，且半径为3cm的圆有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D.无数个
5.下列命题正确的是（ ）
A. 三点确定一个圆 B. 圆有且只有一个内接三角形
C. 三角形的外心是三角形三个角的平分线的交点
D. 三角形的外心是三角形任意两边的垂直平分线的交点
6.下列命题中，错误的个数为（ ）
1平行四边形必有外接圆
2等腰三角形的外心一定在底边上的中线上；
3等边三角形的外心也是三角形的三条中线、高、角平分线的交点；
4直角三角形的外心是斜边的中点。
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7.在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，那么四边形ABCD 有外接圆（填“一定”或“不一定”）
8.如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16cm²，则该半圆的半径为_________。
9.如图，甲顺着大半圆从A地到B地，乙顺着两个小半圆从A地到B地，设甲乙走过的路径分别为a、b，则（ ）
A．a=b B．a＜b C．a＞b D．不能确定
10.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第②块
C．第③块 D．第④块
11.已知：如图，在⊙O中，A、B是线段CD于圆的两个交点，且AC=BD。
求证：△OCD为等腰三角形。
12.已知△ABC，∠C=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心作⊙C，半径为r，
1）当r取什么值时，点A,B在⊙C外；
2）当r取什么值时，点A在⊙C内,点B在⊙C外；
第二节 圆心角，弧，弦心距之间的关系
1．弦：______________________________。如图___________________。
直径是经过_______的弦，是圆中_________的弦。如图__________。
2．弧：___________________________，简称弧．
半圆弧：_______________；优弧：_______________；
劣弧：_______________；圆心角：_______________。
如图：优弧记作________ ，半圆弧BC记作半圆BC，劣弧记作__________。
3. 弦心距：：_______________。
4．同心圆：圆心相同，半径_________的两圆。
5．等圆：能够重合的两个圆。等圆的半径_________。
6．等弧：__________________。
7. 旋转对称图形：______ _________。
8. 扇形的面积公式： 。弧长的计算公式： 。
9.四等定理： ↔ ↔ ↔ 。
同步练习
1.下列说法正确的是
①直径不是弦，弦不是直径 ②半径是弦 ③过圆心的线段是直径
④长度相等的两条弧是等弧 ⑤半圆是弧，但弧不一定是半圆 ⑥周长相等的圆是等圆 ⑦经过点P的半径为3cm的圆只有一个
2.下列说法错误的有_______________。
（1）半径相等的两个半圆是等弧 （2）面积相等的圆是等圆 （3）经过P点的圆有无数个 （4）优弧一定比劣弧长 （5）圆的任意一条弦将圆分成优弧和劣弧两部分
（6）过圆心的直线是直径 （7）半圆是最长的弧 （8）弧AB的长度大于弦AB的长度
3.下列说法中，正确的是（ ）
（A）如果圆心角相等，那么圆心角所对的弧和弦也相等
（B）如果两条弧的长度相等，那么这两条弧是等弧
（C）如果两条弧所对的圆心角相等，那么这两条弧是等弧
（D）在同圆或等圆中，弦相等所对的弧也相等
4.在两个圆中，如果有两条弦相等，那么这两条弦的弦心距的关系是（ ）
（A）一定相等 （B）一定不相等 （C）不一定相等 （D）一定互相平行
5.在⊙O，如果＝，那么弦与弦之间的长度关系是（ ）
（A）弦等于弦的2倍 （B）弦大于弦的2倍
（C）弦小于弦的2倍 （D）弦和弦的关系不定
6.过⊙O内一点M最长的弦为10，最短的弦长为8，则OM＝ 。
7.已知点P到⊙O最大距离是8，最小距离是2，那么⊙O的半径长为 。
8.在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP＝_____。
9.在⊙O中，弦AB、CD相交于点P，OM⊥CD，ON⊥AB，M、N是垂足，联结MN. 如果AD弧等于BC弧，
求证：△PMN是等腰三角形
10.如图，⊙O1和⊙O2是等圆，P是O1O2的中点，过点P作直线AD交⊙O1于A、B，交⊙O2于C、D，
求证：AB＝CD
11.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB与点E，点P在⊙O上，∠1=∠C，
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠P=，求⊙O的直径．
第三节 垂径定理
1、圆的对称性（1圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴；2圆既是是旋转对称图形又是中心图形） 注：对称轴是直线
2、垂径定理（垂直于弦的直径平行这条弦，并且平分弦所对的弧）
总结：垂径定理及其推论是指一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分另一条弦”④“平分另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件，则必具有另外三个结论
注：当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制
同步练习
1.下列判断中，正确的是（ ）
（A）垂直于弦的直线必平分这条弦 （B）平分弦的直径必垂直于这条弦
（C）一个圆的圆心必在一条弦的垂直平分线上 （D）垂直平分一条弦的线段必是直径
2.下列说法中，错误的是（ ）
（A）圆的半径垂直于弦，必平分这条弦所对的弧
（B）⊙O的半径OA，CD是过OA的中点的弦，则CD⊥OA
（C）⊙O的半径OC平分圆心角∠AOB，则OC⊥AB
（D）⊙O的直径AB平分弦CD所对的弧，则AB⊥CD
3.如图，⊙O的直径AB=12，CD是⊙O的弦，CD⊥AB，垂足为P，且BP：AP=1:5,则CD的长为（ ）.
A. B. C. D.
4.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若AB=8cm，CD=3cm，则圆O的半径为（ ）
A．
cm
B．
5cm
C．
4cm
D．
cm
5.已知圆内接△ABC中，AB＝AC，圆心O到BC的距离为3cm，半径r＝7cm，则腰长AB为_________。
6.⊙O的半径OA＝1，弦AB、AC的长分别是，则∠BAC的度数为______。
7.在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，
则这两条弦之间的距离为______。
8.在⊙O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD于点M，CD＝15，OM：OC＝3：5，
求弦AB的长
E
9.已知：如图，⊙O的直径AB和CD相交于点E。已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，求CD的长。
10.已知以O为圆心两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点。求证：AC＝BD.
O
A
B
C
D
11.一跨河桥，桥拱是圆弧形，跨度(AB)为16米，拱高(CD)为4米，求：
A
B
E
F
M
C
D
O
⑴桥拱半径 ⑵若大雨过后，桥下河面宽度(EF)为12米，求水面涨高了多少？
12.如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直，且∠BAC=40°，则∠BOD= ．
第四节 直线与圆的位置关系
知识梳理
1、 直线和圆的位置关系有 、 、 。
2、 圆心O到直线l的距离d与半径r的大小和直线l与圆O的位置关系：
（1） 直线和圆
（2） 直线和圆
（3） 直线和圆
3、直线和圆有 （即直线和圆 ）时。这条直线叫做圆的切线。这个 叫做切点。圆的切线 过切点的直径
4、圆的切线常用判定方法
（1）圆心到直线的距离等于 ，这条直线是圆的切线。
（2）经过直径的 ，并且 的直线是圆的切线。
（3）和三角形各边 的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的 心， 它是三角形 的交点，它到三边的距离 。
同步练习
1．已知⊙O的半径为10cm，如果一条直线和圆心O的距离为10cm，那么这条直
线和这个圆的位置关系为（ ）
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相交或相离
O
A
B
C
2．如右图，A、B是⊙O上的两点，AC是⊙O的切线，
∠B=70°，则∠BAC等于（ ）
A. 70° B. 35° C. 20° D. 10°
3．如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，
下列结论中，错误的是（ ）
A. ∠1=∠2 B. PA=PB C. AB⊥OP D. PC·PO
4．如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为30°，过C点的切线PC与AB的延长线交于P，PC=5，则⊙O的半径为（ ）
A. B. C. 10 D. 5
5．A、B、C是⊙O上三点，的度数是50°，∠OBC=40°，则∠OAC等于（ ）
A. 15° B. 25° C. 30° D. 40°
6．圆O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P引圆O的切线，那么切线长是 .
7.如图，从圆外一点引圆的两条切线，切点分别为．如果，，那么弦的长是（ ）
A．4 B．8 C． D．
8．⊙O的直径AB=10cm，C是⊙O上的一点，点D平分，DE=2cm，则AC=_____．
9．如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______．
10．点A、B、C、D在同一圆上，AD、BC延长线相交于点Q，AB、
DC延长线相交于点P，若∠A=50°，∠P=35°，则∠Q=________．
11．在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．
第五节 圆与圆的位置关系
外离（图1） 无交点 ；
外切（图2） 有一个交点 ；
相交（图3） 有两个交点 ；
内切（图4） 有一个交点 ；
内含（图5） 无交点 ；
如果两圆外切，连心线 ，如果两圆相交，连心线 。
同步练习
1．三角形三边长分别为5厘米、12厘米、13厘米，以三角形三个顶点为圆心的三个圆两两外切，则此三个圆的半径分别为 ．
2．以平面直角坐标系中的两点O1（0，3）和O2（4，0）为圆心，以8和3为半径的两圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．外切 C．相离 D．相交
3．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为6和3，O1、O2的坐标分别是（5，0）和（0，6），则两圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
4．R、r是两圆的半径（R＞r），d是两圆的圆心距，若方程x2－2Rx＋r2=d（2r－d）有等根，则以R、r为半径的两圆的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．外离 D．相交
5．已知半径分别为r和2r的两圆相交，则这两圆的圆心距d的取值范围是（ ）
A．0＜d＜3r B．r＜d＜3r C．r＜d＜2r D．r≤d≤3r
6．半径分别为1cm和2cm的两圆外切，那么与这两个圆都相切且半径为3cm的圆的个数是（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
7.已知圆O1、圆O2的半径不相等，圆O1的半径长为3，若圆O2上的点A满足AO1 = 3，则
圆O1与圆O2的位置关系是（ ）
A.相交或相切 B.相切或相离 C.相交或内含 D.相切或内含
8.如果两个圆的一条外公切线长等于5，另一条外公切线长等于，那么 ．
9.两圆的半径分别是方程x2－12x＋27=0的两个根，圆心距为9，则两圆的位置关系一定是 ．
10.已知两圆半径的比为3：5，当两圆内切时，圆心距为4cm，那么当此两圆外切时，圆心距应为 ．
11.平面上两圆的位置关系可以归纳为三类，即 、 和 ．
12.已知两圆直径为3＋r，3－r，若它们圆心距为r，则两圆的位置关系是 ．
13.矩形ABCD中，AB＝5，BC＝12。如果分别以A、C为圆心的两圆相切，点D在圆C内，点B在圆C外，那么圆A的半径r的取值范围是 。
14.已知⊙O1和⊙O2相内切，且⊙O1的半径6，两圆的圆心距为3，则⊙O2的半径为 ．
15.两圆的半径之比是5：3，外切时圆心距是32，那么当这两个圆内切时，圆心距为 ．
16.在直角坐标系中，分别以点A（0，3）与点B（4，0）为圆心，以8与3为半径作⊙A和⊙B，则这两个圆的位置关系为 ．
17.已知图中各圆两两相切，⊙O的半径为2R，⊙O1、⊙O2的半径为R，求⊙O3的半径．
18.在△ABC中，，圆A的半径为1，如图所示，若点O在BC边上运动（与点B、C不重合），设，△AOC的面积为。
（1）求关于的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）以点O为圆心，BO长为半径作圆O，求当圆O与圆A相切时，△AOC的面积。
以练代讲
姓名 分数
一. 选择题：（本题共24分，每小题4分，每道题只有一个正确答案）
1. 已知AB是⊙O的直径，半径EO⊥AB于O，弦CD⊥EO于F点，若∠CDB＝120°，则的度数为（ ）
A. 10° B. 15° C. 30° D. 60°
2. 如图，已知⊙O中，M是弦CD的中点，N为弦AB的中点，并且的度数为130°、90°，则∠MON的度数为（ ）
A. 70° B. 90° C. 130° D. 160°
3. 已知△ABC中，a、b、c是∠A、∠B、∠C的对边，若r是内切圆半径，则△ABC的面积可以表示为（ ）
A. B.
C. D.
4. 已知两圆的半径分别为R、r，且圆心距为d，若，则这两圆的位置关系为（ ）
A. 外离或外切 B. 相交或内切
C. 外切或内切 D. 内切或内含
5. 已知正多边形的边长为a与外接圆半径R之间满足，则这个多边形是（ ）
A. 正三边形 B. 正四边形 C. 正五边形 D. 正六边形
6. 已知正方形ABCD边长为5，剪去四个角后成正八边形，则正八边形的边长为（ ）
A. B. C. D.
二. 填空题：（本题共16分，每小题4分）
7. 已知△ABC，∠C＝90°，∠B＝28°，以C为圆心，以CA为半径的圆交AB于D，则的度数为_____________。
8. 已知△ABC内接于⊙O，F、E是的三分之一点，若∠AFE＝130°，则∠C＝____________度。
9. 已知PA切⊙O于A，∠APO＝30°，若，OP交于⊙O于C，则PC＝____________。
10. 两圆半径之比为2：1，大圆内接正六边形与小圆外切正六边形的面积比为_______。
三. 求解下列各题：（本题共18分，每小题6分）
11. 已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，若弦CD把⊙O分为2：1的两部分，且，求⊙O的直径及AE长。
12. 已知等边△ABC内接于⊙O，E是上一点，AE交BC于D，若BD：DC＝2：1，且AB＝6，求DE长。
13. 如图所示，AB是⊙O的弦，EF切⊙O于B，AC⊥EF于C。
求证：
四. 解答题：（本题共24分，每小题8分）
14. 如图所示，AB切⊙O于B，AE过O点交⊙O于E、C，过C作⊙O切线交AB于D，若。
求证：
15. 如图所示，△ABC中，∠A＝90°，O是BC上一点，以O为圆心的圆切AB、AC于D、E，若AB＝3，AC＝4，求阴影部分的面积。
16. 如图所示，⊙O与⊙O'交于A、B，过A点任意作两圆的割线CAD，若连结CB、DB，问因割线CAD的位置不确定，∠CBD的大小是否改变？
五. 解答题：（本题共18分，每小题9分）
17. 如图所示，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B、C，若，AE交BC于D，且∠BEA＝30°，DB＝1，求AP及PB长。
18. 已知一块直径为30cm的圆形铁板，已经截去直径分别为20cm，10cm的圆形铁板各一块。现在剩余的铁板中再截出两块同样大小的圆形，问这两个圆形的最大半径是多少？
[参考答案]
一. 选择题。
1. D
2. D
3. B
提示：设△ABC的内切圆的圆心为O
连结OA、OB、OC，则△ABC可分割成三个三角形：△ABO，△BCO，△ACO
则
应选B
4. C
提示：依题意，有：
所以，或
即，或
两圆内切或外切
5. C
提示：正多边形的边数越多，则边长越小，而有
因为，，所以
则，是正五边形，应选C。
6. D
提示：如图所示，所截的四个角是全等的等腰三角形，且GE＝EF＝FH
设EF＝x，则根据勾股定理，
则有
即
应选D
二. 填空题。
7. 56°
8. 75°或105°
提示：如图所示：
∵∠AFE＝130°，∴的度数为260°
则的度数为
∵F、E是的三分之一点
或
9. 12
10. 3：1
如图所示，设大圆与小圆的半径为2r和r
则大圆内接正六边形的边长为2r，小圆外切正六边形的边长为
因为这两个正六边形相似，所以面积比等于边长比的平方
即
三. 求解下列各题：
11. 解：如图，分两种情况：（1）点E在OA上；（2）点E在OB上
（1）∵直径AB⊥弦CD于E，
∴根据垂径定理，有：
A、B分别为和的中点
∵CD把⊙O分成2：1两部分
∴的度数为120°，的度数为240°
连结BC，则
在中，
（2）当点E在OB上时，AE＝6
∴直径为8，AE＝6或2
12. 解法一：如图（1），∵△ABC是等边三角形，AB＝6
图（1）
∴BC＝AB＝AC＝6，∠B＝∠ACB＝60°
∵BD：DC＝2：1
∴BD＝4，CD＝2
∴AD·DE＝BD·CD＝8
连结CE，∵∠B＝∠E＝60°
∴∠ACB＝∠E
∵∠CAD是公共角
∴△ACD∽△AEC
解法二：如图（2），过A作AG⊥BC于G
图（2）
∵△ABC是等边三角形，BC＝6
∴CG＝GB＝3
由解法一得：CD＝2，BD＝4
∴DG＝1
在中，
在中，
根据相交弦定理，有：
13. 证明一：延长AD交⊙O于D，连结BD，如图（1）
∵AD是直径，∴∠ABD＝90°，2AO＝AD
∵EF切⊙O于B
∴∠1＝∠D
∵AC⊥EF于C
∴∠C＝∠ABD＝90°
∴△ABC∽△ADB
即
证明二：延长AC至M，使CM＝AC，连结BM、OB
图（2）
∵BC⊥AC，AC＝CM
∴MB＝AB
∴∠M＝∠2
∵OA＝OB
∴∠3＝∠4
∵EF切⊙O于B
∴OB⊥EF
∴AC∥OB
∴∠2＝∠3
∴∠2＝∠3＝∠4＝∠M
四. 解答题。
14. 证明：如图，依题意，设BD＝x，则AD＝2x
∵AB、CD切⊙O于B、C点
∴BD＝CD＝x，OC⊥CD
∴∠ACD＝90°
∵AB是切线，ACE是割线
即
15. 解：如图，连结OD，OE
∵AB、AC切⊙O于D、E
∴OD⊥AB，OE⊥AC，AD＝AE
∵∠A＝90°
∴四边形ADOE是正方形
∴∠DOE＝90°
设AD＝OE＝x
∵DE∥AD，AB＝3，AC＝4
解得：
16. 解：大小不改变
∵∠C所对的弧为
∠D所对的弧为
∴∠C、∠D的度数不变
在△BCD中，不变
五. 解答题。
17. 解：如图，连结AB
∵，BC是直径
∴根据垂径定理的推论，可知：
AD⊥BC，AD＝DE，
∵∠BEA＝30°
∴∠DAB＝∠E＝∠BAP＝30°
在
∵AD⊥BC，BC为直径
，即
18. 解：如图（1）：
图（1）
依题意有：
⊙O1的直径为10cm，则半径为5cm
⊙O2的直径为20cm，则半径为10cm
⊙O的直径为30cm，则半径为15cm
设⊙O与⊙O1，⊙O2，⊙O3相切，半径为r
延长OO3交⊙O于B，则：
则此题转化为解三角形问题，如图（2）：
图（2）
设，则
在和中，有：
在和中，有：
整理得：
得：
答：这两个圆形的最大半径是。
20 / 20</p>
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