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2020-2021高中数学 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理素养检测新人教A版选择性必修第三册

2020-2021高中数学 第六章 计数原理 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理素养检测新人教A版选择性必修第三册

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一　分类加法计数原理与分步乘法计数原理

(30分钟　60分)
一、选择题(每小题5分,共30分)
1.某一数学问题可用综合法和分析法两种方法证明,有5位同学只会用综合法证明,有3位同学只会用分析法证明,现任选1名同学证明这个问题,不同的选法种数有　　　　. (　　) 
A.8种 B.15种 C.18种 D.30种
【解析】选A.由题意知本题是一个分类加法计数问题,解决问题分成两个种类,一是可以用综合法证明,有5种方法,一是可以用分析法来证明,有3种方法,根据分类加法计数原理知共有3+5=8种.
2.如图所示,从A地到B地要经过C地和D地,从A地到C地有3条路,从C地到D地有2条路,从D地到B地有4条路,则从A地到B地不同走法的种数是 (　　)

A.9 B.24 C.3 D.1
【解析】选B.根据分步乘法计数原理得,从A地到B地不同走法的种数是3×2×4=24种.
3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与该平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 (　　)
A.48 B.18 C.24 D.36
【解析】选D.分类讨论:第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24(个);第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).
4.从6名志愿者中选4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四项不同的工作,若其中甲、乙两名志愿者不能从事翻译工作,则选派方案共有 (　　)
A.280种 B.240种 C.180种 D.96种
【解析】选B.由于甲、乙不能从事翻译工作,因此翻译工作从余下的4名志愿者中选1人,有4种选法.后面三项工作的选法有5×4×3种,因此共有4×5×4×3=240种不同的选派方案.
5.已知直线方程Ax+By=0,若从0,1,2,3,5,7这6个数字中每次取两个不同的数作为A,B的值,则可表示出的不同直线的条数为 (　　)
A.19 B.20 C.21 D.22
【解析】选D.当A或B中有一个为零时,则可表示出2条不同的直线;当AB≠0时,A有5种选法,B有4种选法,则可表示出5×4=20条不同的直线.由分类加法计数原理知,共可表示出20+2=22条不同的直线.
6.将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中,每个区域种植一种花卉,且相邻区域花卉不同,则不同的种植方法种数是 (　　)

A.420 B.180 C.64 D.25
【解析】选B.由题意,由于规定一个区域只种一种花卉,相邻的区域花卉不同,可分步进行,区域A有5种种法,B有4种种法,若A,D种不同花卉,D有3种种法,C有2种种法,有5×4×3×2=120种,若A,D种相同花卉,D有1种种法,C有3种种法,有5×4×3=60种,共有180种不同的种植方法.
二、填空题(每小题5分,共10分)
7.某城市的电话号码,由七位升为八位(首位数字均不为零),则该城市可增加的电话部数是　　　. 
【解析】电话号码是七位数字时,该城市可安装电话9×106部,同理升为八位时为9×107.所以可增加的电话部数是9×107-9×106=81×106=8.1×107.
答案:8.1×107
8.用0,1,2,3,4,5六个数字,可以组成没有重复数字的三位数的个数是　　　　;可以组成有重复数字的三位数的个数为　　　　. 
【解析】百位的数字可以选择的种数为5种,十位,个位可以选的种数分别为5种,4种,则可组成无重复数字的三位数的种数为5×5×4=100;可组成有重复数字的三位数的种数为5×6×6=180.
答案:100　180
三、解答题(每小题10分,共20分)
9.有一项活动,需从3位老师、8名男同学和5名女同学中选人参加.
(1)若只需1人参加,则有多少种不同的选法?
(2)若需老师、男同学、女同学各1人参加,则有多少种不同的选法?
(3)若需1位老师、1名同学参加,则有多少种不同的选法?
【解析】(1)选1人,可分三类:第一类,从老师中选1人,有3种不同的选法;第二类,从男同学中选1人,有8种不同的选法;第三类,从女同学中选1人,有5种不同的选法.共有3+8+5=16种不同的选法.
(2)选老师、男同学、女同学各1人,则分三步进行:第一步,选老师,有3种不同的选法;第二步,选男同学,有8种不同的选法;第三步,选女同学,有5种不同的选法.共有3×8×5=120种不同的选法.
(3)选1位老师、1名同学,可分两步进行:第一步,选老师,有3种不同的选法;第二步,选同学,有8+5=13种不同的选法.共有3×13=39种不同的选法.
10.用n种不同颜色为下列两块广告牌着色(如图甲、乙),要求在①,②,③,④四个区域中相邻(有公共边界)的区域不用同一种颜色.

(1)若n=6,则为甲着色时共有多少种不同方法?
(2)若为乙着色时共有120种不同方法,求n.
【解析】完成着色这件事,共分四个步骤,可依次考虑为①,②,③,④着色时各自的方法数,再由分步乘法计数原理确定总的着色方法数.
(1)为①着色有6种方法,为②着色有5种方法,为③着色有4种方法,为④着色也有4种方法.
所以共有着色方法6×5×4×4=480(种).
(2)与(1)的区别在于与④相邻的区域由两块变成了三块,同理,不同的着色方法数是n(n-1)(n-2)(n-3),由n(n-1)(n-2)(n-3)=120,得(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0,
即(n2-3n)2+2(n2-3n)-12×10=0.
所以n2-3n-10=0(不合题意的,舍去),
所以n=5(负值舍去).

(35分钟　70分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.由0,1,2,3,5组成的无重复数字的五位偶数共有(　　)
A.36个 B.42个 C.48个 D.120个
【解析】选B.分两类:(1)若五位数的个位数是0,则有n1=4×3×2×1=24种情形;
(2)若五位数的个位数是2,由于0不排首位,因此只有1,3,5这3种情形,中间的三个位置有3×2×1=6种情形,依据分步乘法计数原理可得n2=3×6=18种情形.
由分类加法计数原理可得所有无重复五位偶数的个数为n=n1+n2=24+18=42.
2.用a代表红球,b代表蓝球,c代表黑球,由分类加法计数原理及分步乘法计数原理,从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展开式1+a+b+ab表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法是 (　　)
A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5
B.(1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5
C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)
D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)
【解析】选A.因为无区别,所以取红球的方法数为1+a+a2+a3+a4+a5;因为蓝球要都取出,或都不取出,所以方法为1+b5,因为黑球有区别,因此,取黑球的方法数为(1+c)5,所以所有取法数为(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5.
3.用六种不同的颜色给如图所示的六个区域涂色,要求相邻区域不同色,则不同的涂色方法共有 (　　)

A.4 320种 B.2 880种
C.1 440种 D.720种
【解析】选A.分步进行:1区域有6种不同的涂色方法,2区域有5种不同的涂色方法,3区域有4种不同的涂色方法,4区域有3种不同的涂色方法,6区域有4种不同的涂色方法,5区域有3种不同的涂色方法.
根据分步乘法计数原理可知,共有6×5×4×3×3×4=4 320种不同的涂色方法.
4.三位数中,如果百位数字、十位数字、个位数字刚好能构成等差数列,则称为“等差三位数”,例如:147,642,777,420等.等差三位数的总个数为 (　　)
A.32 B.36 C.40 D.45
【解析】选D.由题意得若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为0的“等差三位数”,则只要各位数字不为零即可,有9个;
若百位数字、十位数字个位数字构成公差为1的“等差三位数”,则百位数字不大于7,有7个;
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为2的“等差三位数”,则百位数字不大于5,有5个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为3的“等差三位数”,则百位数字不大于3,有3个;
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为4的“等差三位数”,则百位数字只能为1,有1个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-1的“等差三位数,则百位数字不小于2,有8个;
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-2的“等差三位数”,则百位数字不小于4,有6个;
若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-3的“等差三位数”,则百位数字不小于6,有4个;若百位数字、十位数字、个位数字构成公差为-4的“等差三位数”,则百位数字不小于8,有2个.
综上所述,“等差三位数”的总数为9+7+5+3+1+8+6+4+2=45个.
二、填空题(每小题5分,共20分)
5.五个工程队承建某项工程的5个不同的子项目,每个工程队承建1项,其中甲工程队不能承建1号子项目,则不同的承建方案有　　　　种. 
【解析】完成承建任务可分五步:
第一步,安排1号有4种;
第二步,安排2号有4种;
第三步,安排3号有3种;
第四步,安排4号有2种;
第五步,安排5号有1种.
由分步乘法计数原理知,共有4×4×3×2×1=96(种).
答案:96
6.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游,实名制购票,每人一座,恰在同一排A,B,C,D,E五个座位(一排共五个座位),上车后五人在这五个座位上随意坐,则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有　　　　种. 
【解析】先选出坐对位置的人,即从5人中选1人,有5种可能;剩下四人进行错排,设四人座位为1,2,3,4,则四人都不坐在自己位置上有2143,2341,2413,3142,3412,3421,4123,4312,4321这9种可能;所以恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有5×9=45种.
答案:45
7.(创新型)若m,n均为非负整数,在做m+n的加法时各位均不进位(例如:134+3 802=3 936),则称(m,n)为“简单的”有序对,而m+n称为有序对(m,n)的值,那么值为1 942的“简单的”有序对的个数是　　　　. 
【解析】第1步,1=1+0,1=0+1,共2种组合方式;
第2步,9=0+9,9=1+8,9=2+7,9=3+6,…,9=9+0,共10种组合方式;第3步,4=0+4,4=1+3,4=2+2,4=3+1,4=4+0,共5种组合方式;第4步,2=0+2,2=1+1,2=2+0,共3种组合方式.根据分步乘法计数原理,值为1 942的“简单的”有序对的个数为2×10×5×3=300.
答案:300
8.x+y+z=10的正整数解的组数为　　　　. 
【解析】可按x的值分类:
当x=1时,y+z=9,共有8组;
当x=2时,y+z=8,共有7组;
当x=3时,y+z=7,共有6组;
当x=4时,y+z=6,共有5组;
当x=5时,y+z=5,共有4组;
当x=6时,y+x=4,共有3组;
当x=7时,y+z=3,共有2组;
当x=8时,y+z=2,共有1组.
由分类加法计数原理可知:共有8+7+6+5+4+3+2+1==36(组).
答案:36
三、解答题(每小题10分,共30分)
9.某单位职工义务献血,在体检合格的人中,O型血的共有28人,A型血的共有7人,B型血的共有9人,AB型血的共有3人.
(1)从中任选1人去献血,有多少种不同的选法?
(2)从四种血型的人中各选1人去献血,有多少种不同的选法?
【解析】从O型血的人中选1人有28种不同的选法;
从A型血的人中选1人有7种不同的选法;
从B型血的人中选1人有9种不同的选法;
从AB型血的人中选1人有3种不同的选法.
(1)任选1人去献血,即无论选哪种血型的哪一个人,“任选1人去献血”这件事情都可以完成,所以用分类加法计数原理.有28+7+9+3=47种不同的选法.
(2)要从四种血型的人中各选1人,即从每种血型的人中各选出1人后,“各选1人去献血”这件事情才完成,所以用分步乘法计数原理.有28×7×9×3=5 292种不同的选法.
10.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则:
(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数?
(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图像开口向上的二次函数?
【解析】(1)y=ax2+bx+c表示二次函数时,a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同的二次函数.
(2)当y=ax2+bx+c的图像开口向上时,a的取值有2种情况,b,c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图像开口向上的二次函数.
11.现有高三四个班的学生共34人,其中一、二、三、四班分别有7人、8人、9人、10人,他们自愿组成数学课外小组.
(1)选其中一人为负责人,有多少种不同的选法?
(2)每班选一名组长,有多少种不同的选法?
(3)推选二人作发言,这二人需来自不同的班级,有多少种不同的选法?
【解析】(1)分四类:第一类,从一班学生中选1人,有7种选法;第二类,从二班学生中选1人,有8种选法;第三类,从三班学生中选1人,有9种选法;第四类,从四班学生中选1人,有10种选法.所以,共有不同的选法N=7+8+9+10=34(种).
(2)分四步:第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班的学生中选一人任组长,所以共有不同的选法N=7×8×9×10=5 040(种).
(3)分六类:每类又分两步,从一、二班的学生中各选1人,有7×8种不同的选法;从一、三班的学生中各选1人,有7×9种不同的选法;从一、四班的学生中各选1人,有7×10种不同的选法;从二、三班的学生中各选1人,有8×9种不同的选法;从二、四班的学生中各选1人,有8×10种不同的选法;从三、四班的学生中各选1人,有9×10种不同的选法.所以共有不同的选法N=7×8+7×9+7×10+8×9+8×10+9×10=
431(种).