湘教版初中数学知识点总复习资料.doc

教材知识梳理系统复习第一单元 数与式第1讲 实 数知识点一：实数的概念及分类 关键点拨及对应举例1.实数（1）按定义分 （2）按正、负性分 正有理数有理数 0 有限小数或 正实数 负有理数 无限循环小数 实数 0实数 正无理数 负实数无理数 无限不循环小数负无理数 （1）0既不属于正数，也不属于负数.（2）无理数的几种常见形式判断：含的式子；构造型：如3.010010001（每两个1之间多个0）就是一个无限不循环小数；开方开不尽的数：如，；三角函数型：如sin60，tan25.（3）失分点警示：开得尽方的含根号的数属于有理数，如=2，=-3，它们都属于有理数.知识点二 ：实数的相关概念2.数轴（1）三要素：原点、正方向、单位长度（2）特征：实数与数轴上的点一一对应；数轴右边的点表示的数总比左边的点表示的数大例：数轴上-2.5表示的点到原点的距离是2.5.3.相反数（1）概念：只有符号不同的两个数（2）代数意义：a、b互为相反数 a+b=0（3）几何意义：数轴上表示互为相反数的两个点到原点的距离相等a的相反数为-a，特别的0的绝对值是0.例：3的相反数是-3，-1的相反数是1.4.绝对值（1）几何意义：数轴上表示的点到原点的距离（2）运算性质：|a|= a (a0)； |a-b|= a-b(ab) -a(a0). b-a(ab)（3）非负性：|a|0，若|a|+b2=0,则a=b=0.（1）若|x|=a（a0），则x=a.（2）对绝对值等于它本身的数是非负数.例：5的绝对值是5；|-2|=2；绝对值等于3的是3;|1-|=-1.5.倒数（1）概念：乘积为1的两个数互为倒数.a的倒数为1/a(a0)（2）代数意义：ab=1a,b互为倒数例：-2的倒数是-1/2 ；倒数等于它本身的数有1.知识点三 ：科学记数法、近似数6.科学记数法（1）形式：a10n,其中1|a|10，n为整数（2）确定n的方法：对于数位较多的大数，n等于原数的整数为减去1；对于小数，写成a10-n，1|a|10，n等于原数中左起至第一个非零数字前所有零的个数（含小数点前面的一个）例：21000用科学记数法表示为2.1104；19万用科学记数法表示为1.9105；0.0007用科学记数法表示为710-4.7.近似数（1）定义：一个与实际数值很接近的数.（2）精确度：由四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.例：3.14159精确到百分位是3.14；精确到0.001是3.142.知识点四 ：实数的大小比较8.实数的大小比较（1）数轴比较法：数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大.（2）性质比较法：正数0负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而 小.（3）作差比较法：a-b0ab；a-b=0a=b；a-b0ab.（4）平方法：ab0a2b2.例：把1，-2,0，-2.3按从大到小的顺序排列结果为_10-2-2.3_.知识点五 ：实数的运算9.常见运算乘 方几个相同因数的积; 负数的偶（奇）次方为正（负）例：（1）计算：1-2-6=_-7_;(-2)2=_4_;3-1=_1/3_;0=_1_;(2)64的平方根是_8_,算术平方根是_8_,立方根是_4_.失分点警示：类似 “的算术平方根”计算错误. 例：相互对比填一填：16的算术平方根是 4_,的算术平方根是_2_.零次幂a0=_1_(a0)负指数幂 a-p=1/ap（a0，p为整数）平方根、算术平方根若x2=a（a0）,则x=.其中是算术平方根.立方根若x3=a,则x=.10.混合运算先乘方、开方，再乘除，最后加减；同级运算，从左向右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号一次进行.计算时，可以结合运算律，使问题简单化第2讲 整式与因式分解知识点一：代数式及相关概念 关键点拨及对应举例1.代数式（1）代数式：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式（2）求代数式的值：用具体数值代替代数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值求代数式的值常运用整体代入法计算.例：ab3，则3b3a9.2.整式 （单项式、多项式）（1）单项式：表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式.其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做单项式的次数.（2）多项式：几个单项式的和.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数.（3）整式：单项式和多项式统称为整式.（4）同类项：所含字母相同并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.所有的常数项都是同类项.例：（1）下列式子：-2a2;3a-5b；x/2;2/x;7a2;7x2+8x3y；2017.其中属于单项式的是；多项式是；同类项是和.（2）多项式7m5n-11mn2+1是六次三项式，常数项是 _1 .知识点二：整式的运算3.整式的加减运算(1)合并同类项法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变(2)去括号法则: 若括号外是“”，则括号里的各项都不变号；若括号外是“”，则括号里的各项都变号.(3)整式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项.例：2(3a2b1)6a4b2.4.幂运算法则(1)同底数幂的乘法：amanamn；(2)幂的乘方：(am)namn；(3)积的乘方：(ab)nanbn；(4)同底数幂的除法：amanamn (a0).其中m,n都在整数 (1)计算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题.例：已知2m+n=2,则32m2n=6.（2）在解决幂的运算时，有时需要先化成同底数.例：2m4m=23m.5.整式的乘除运算(1)单项式单项式：系数和同底数幂分别相乘；只有一个字母的照抄(2)单项式多项式： m(a+b)=ma+mb.(3)多项式多项式: (m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb.(4)单项式单项式：将系数、同底数幂分别相除.(5)多项式单项式：多项式的每一项除以单项式；商相加失分警示：计算多项式乘以多项式时，注意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错.例：(2a1)(b2)2ab4ab2.（6）乘法公式平方差公式：(ab)(ab)a2b2.注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的运用完全平方公式：(ab)2a22abb2. 变形公式： a2+b2=(ab)22ab,ab=【(a+b)2-（a2+b2）】 /26.混合运算注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算例：（a-1）2-(a+3)(a-3)-10=_-2a_.知识点五：因式分解7.因式分解(1)定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式(2)常用方法：提公因式法：mambmcm(abc).公式法：a2b2(ab)(ab)；a22abb2(ab)2.(3)一般步骤：若有公因式，必先提公因式；提公因式后，看是否能用公式法分解；检查各因式能否继续分解.(1) 因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；(2) 因式分解与整式的乘法互为逆运算第3讲 分 式知识点一：分式的相关概念 关键点拨及对应举例1. 分式的概念（1）分式：形如 (A，B是整式，且B中含有字母，B0)的式子.（2）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1）判断化简之间的式子；（2）是常数，不是字母. 例：下列分式：; ;，其中是分式是；最简分式 .2.分式的意义(1)无意义的条件：当B0时，分式无意义；(2)有意义的条件：当B0时，分式有意义；(3)值为零的条件：当A0，B0时，分式0.失分点警示：在解决分式的值为0，求值的问题时，一定要注意所求得的值满足分母不为0.例： 当的值为0时，则x-1.3.基本性质( 1 ) 基本性质：(C0)（2）由基本性质可推理出变号法则为：； .由分式的基本性质可将分式进行化简：例：化简：=.知识点三 ：分式的运算4.分式的约分和通分(1)约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即；(2)通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即分式通分的关键步骤是找出分式的最简公分母，然后根据分式的性质通分.例：分式和的最简公分母为.5.分式的加减法(1)同分母：分母不变，分子相加减.即；(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即.例： 1.6.分式的乘除法(1)乘法：； (2)除法：；(3)乘方： (n为正整数).例：；2y；.7.分式的混合运算(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.第4讲 二次根式知识点一：二次根式 关键点拨及对应举例1.有关概念（1）二次根式的概念：形如(a0)的式子.（2）二次根式有意义的条件：被开方数大于或等于0.（3）最简二次根式：被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式失分点警示：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0，被开方数大于等于0等.例：若代数式有意义，则x的取值范围是x1.2.二次根式的性质（1）双重非负性：被开方数是非负数，即a0；二次根式的值是非负数，即0.注意：初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶幂、算式平方根、二次根式.利用二次根式的双重非负性解题：（1）值非负:当多个非负数的和为0时，可得各个非负数均为0.如+=0，则a=-1，b=1. （2）被开方数非负:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得这一对相反数的数均为0.如已知b=+,则a=1,b=0.(2)两个重要性质：()2a(a0)；|a|；(3)积的算术平方根：(a0，b0)；(4)商的算术平方根： (a0，b0)例：计算：3.14；2；=；=2 ；知识点二 ：二次根式的运算3.二次根式的加减法先将各根式化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式例：计算：.4.二次根式的乘除法（1）乘法：=(a0，b0)；（2）除法： = (a0，b0)注意：将运算结果化为最简二次根式.例：计算：1；4.5.二次根式的混合运算运算顺序与实数的运算顺序相同，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或先去括号）运算时，注意观察，有时运用乘法公式会使运算简便.例：计算：(+1)( -1)= 1 .第二单元 方程(组)与不等式(组)第5讲 一次方程(组)知识点一：方程及其相关概念 关键点拨及对应举例1.等式的基本性质(1)性质1：等式两边加或减同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式.即若ab，则acbc .(2)性质2：等式两边同乘（或除）同一个数（除数不能为0），所得结果仍是等式.即若ab，则acbc，(c0)(3)性质3：（对称性）若a=b,则b=a.(4)性质4：（传递性）若a=b,b=c,则a=c.失分点警示：在等式的两边同除以一个数时，这个数必须不为0.例：判断正误.(1)若a=b,则a/c=b/c. ()(2)若a/c=b/c，则a=b. ()2.关于方程 的基本概念(1)一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，且等式两边都是整式的方程(2)二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程(3)二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程(4)二元一次方程组的解：二元一次方程组的两个方程的公共解在运用一元一次方程的定义解题时，注意一次项系数不等于0.例：若(a-2)是关于x的一元一次方程，则a的值为0.知识点二 ：解一元一次方程和二元一次方程组3.解一元一次方程的步骤(1)去分母:方程两边同乘分母的最小公倍数，不要漏乘常数项；(2)去括号：括号外若为负号，去括号后括号内各项均要变号；(3)移项：移项要变号；(4)合并同类项：把方程化成ax=-b(a0)；(5)系数化为1：方程两边同除以系数a,得到方程的解x=-b/a.失分点警示：方程去分母时，应该将分子用括号括起来，然后再去括号，防止出现变号错误.4.二元一次 方程组的解法思路：消元，将二元一次方程转化为一元一次方程.已知方程组，求相关代数式的值时，需注意观察，有时不需解出方程组，利用整体思想解决解方程组. 例： 已知则x-y的值为x-y=4.方法：(1)代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把“它”代入另一个方程，进行求解；(2) 加减消元法：把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法.知识点三 ：一次方程(组)的实际应用5.列方程(组) 解应用题的一般步骤(1)审题：审清题意，分清题中的已知量、未知量；(2)设未知数；(3)列方程(组)：找出等量关系，列方程（组）；(4)解方程(组)；(5)检验：检验所解答案是否正确或是否满足符合题意；(6)作答：规范作答，注意单位名称（1）设未知数时，一般求什么设什么，但有时为了方便，也可间接设未知数.如题目中涉及到比值，可以设每一份为x.（2）列方程（组）时，注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、大（多）多少、小（少）多少、几倍、几分之几等.6.常见题型及关系式（1）利润问题：售价=标价折扣，销售额=售价销量，利润=售价-进价，利润率=利润/进价100%.（2）利息问题：利息=本金利率期数，本息和=本金+利息.（3）工程问题：工作量=工作效率工作时间.（4）行程问题：路程=速度时间. 相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程； 追及问题：a.同地不同时出发：前者走的路程=追者走的路程；b.同时不同地出发：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程.第6讲 一元二次方程知识点一：一元二次方程及其解法 关键点拨及对应举例1. 一元二次方程的相关概念(1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程(2)一般形式：ax2bxc0(a0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项例：方程是关于x的一元二次方程，则方程的根为1.2.一元二次方程的解法（1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n0)的方程，可直接开平方求解.( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解法求解.( 3 )公式法:一元二次方程 ax2bxc0的求根公式为x=（b2-4ac0）.(4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶数时，也可以考虑用配方法解一元二次方程时，注意观察， 先特殊后一般，即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法解时，再用公式法.例：把方程x2+6x+3=0变形为(x+h)2=k的形式后，h=-3,k=6.知识点二 ：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系3.根的判别式(1)当0时，原方程有两个不相等的实数根(2)当=0时，原方程有两个相等的实数根(3)当bc；性质2：若ab,c0，则acbc，；性质3：若ab,c0，则acbc，.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式2x4中，若将不等式两边同时除以2，可得x2.知识点二 ：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.例：若是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示: xa xa xa xa知识点三 ：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组（1）在表示解集时“”，“”表示含有，要用实心圆点表示；“”，“”表示不包含要用空心圆点表示（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值. 如：已知不等式（a-1）x1-a的解集是x-1，则a的取值范围是a1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型 假设ab解集数轴表示口诀xb大大取大xa小小取小axb大小，小大中间找无解大大，小小取不了知识点四 ：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（）”、“最多（）”、“不低于（）”、“不高于（）”、“不大（小）于”、“超过（）”、“不足（）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.第三单元 函数第9讲 平面直角坐标系与函数知识点一：平面直角坐标系 关键点拨及对应举例1.相关概念（1）定义：在平面内有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系（2）几何意义：坐标平面内任意一点M与有序实数对(x，y)的关系是一一对应点的坐标先读横坐标(x轴)，再读纵坐标(y轴).2.点的坐标特征( 1 )各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）： 点P(x,y)在第一象限x0，y0； 点P(x,y)在第二象限x0，y0； 点P（x,y）在第三象限x0，y0； 点P（x,y）在第四象限x0，y0.（2） 坐标轴上点的坐标特征：在横轴上y0；在纵轴上x0；原点x0，y0.（3）各象限角平分线上点的坐标 第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数（4）点P（a,b）的对称点的坐标特征：关于x轴对称的点P1的坐标为(a，b)；关于y轴对称的点P2的坐标为(a，b)；关于原点对称的点P3的坐标为(a，b)（5）点M（x,y）平移的坐标特征： M（x,y） M1(x+a,y) M2(x+a,y+b) （1）坐标轴上的点不属于任何象限.（2）平面直角坐标系中图形的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3）平面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决.3.坐标点的距离问题（1）点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x轴的距离为|b|；)到y轴的距离为|a|（2）平行于x轴，y轴直线上的两点间的距离：点M1(x1,0)，M2(x2,0)之间的距离为|x1x2|，点M1(x1，y)，M2(x2，y)间的距离为|x1x2|；点M1(0，y1)，M2(0，y2)间的距离为|y1y2|，点M1(x，y1)，M2(x，y2)间的距离为|y1y2|平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直线上的点的横坐标相等.知识点二：函 数4.函数的相关概念（1）常量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量（2）函数：在一个变化过程中，有两个变量x和y，对于x的每一个值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就称x是自变量，y是x的函数函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法.（3）函数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为零；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义失分点警示函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分. 例：函数y=中自变量的取值范围是x-3且x5.5.函数的图象（1）分析实际问题判断函数图象的方法：找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（动点）为背景判断函数图象的方法： 设时间为t（或线段长为x），找因变量与t(或x)之间存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示， 再找相应的函数图象.要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.读取函数图象增减性的技巧：当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数y随x的增大而增大（减小）；函数值变化越大，图象越陡峭；当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行于x轴的线段.第10讲 一次函数知识点一 ：一次函数的概念及其图象、性质关键点拨与对应举例1.一次函数的相关概念（1）概念：一般来说，形如ykxb(k0)的函数叫做一次函数特别地，当b 0时，称为正比例函数（2）图象形状：一次函数ykxb是一条经过点（0,b）和（-b/k,0）的直线.特别地，正比例函数ykx的图象是一条恒经过点（0,0）的直线.例：当k1时，函数ykxk1是正比例函数,2.一次函数的性质k，b符号K0，b0K0，b0K0，b=0k0k0，b0k0图象经过第一、三象限（x、y同号）每个象限内，函数y的值随x的增大而减小.k0图象经过第二、四象限（x、y异号）每个象限内，函数y的值随x的增大而增大.3.反比例函数的图象特征（1）由两条曲线组成，叫做双曲线；（2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交；（3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线例：若(a，b)在反比例函数的图象上，则(a，b)在该函数图象上.(填“在、不在)4.待定系数法只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数k即可.例：已知反比例函数图象过点（3，1），则它的解析式是y=3/x.知识点二 ：反比例系数的几何意义及与一次函数的综合5.系数k的几何意义（1）意义：从反比例函数y(k0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为1/2|k|.（2）常见的面积类型：失分点警示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象限，则k0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，则该反比例函数解析式为：或.6.与一次函数的综合（1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）.【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（2）确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k0和k0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.（4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围.涉及与面积有关的问题时，要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的三角形面积；也要注意系数k的几何意义. 例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：SAOC=SOPESBOD.知识点三：反比例函数的实际应用7 .一般步骤（1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（2设出函数表达式；（3）依题意求解函数表达式；（4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题.第12讲 二次函数的图象与性质知识点一：二次函数的概念及解析式 关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如yax2bxc (a，b，c是常数，a0)的