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2021-2022学年高中数学 5 三角函数 5.6 第2课时 函数y＝Asin图象及性质的应用课后素养落实新人教A版必修第一册

2021-2022学年高中数学 5 三角函数 5.6 第2课时 函数y＝Asin图象及性质的应用课后素养落实新人教A版必修第一册

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课后素养落实(五十四)　函数y＝Asin(ωx＋φ)图象及性质的应用
(建议用时：40分钟)

一、选择题
1．若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图，则ω＝(　　)

A．5　　　 B．4　　　 　
C．3　　　 D．2
B　[由函数的图象可得＝×＝－x0＝，解得ω＝4.]
2．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R其中ω>0，|φ|<的最小正周期是π，且f(0)＝，则(　　)
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝
C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝
D　[∵＝π，∴ω＝2.
∵f(0)＝，∴2sin φ＝.
∴sin φ＝.∵|φ|<，∴φ＝.]
3．把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象对应的函数是(　　)
A．奇函数 B.偶函数
C．既是奇函数也是偶函数 D.非奇非偶函数
A　[y＝sin＝sin，向左平移个单位长度后为y＝sin＝sin 2x，为奇函数．]
4．(多选)若函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x有f ＝f ，则f 等于(　　)
A．－3 B．－1
C．0 D．3
AD　[由于函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)对任意x都有f ＝f ，则函数f(x)的图象关于直线x＝对称，则f 是函数f(x)的最大值或最小值，则f ＝－3或3.]
5．函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后得到的函数是奇函数，则关于函数f(x)的图象，下列说法正确的是(　　)
A．关于点对称
B．关于直线x＝－对称
C．关于点对称
D．关于直线x＝对称
D　[将函数f(x)＝cos(2x＋φ)的图象向右平移个单位长度后，可得y＝cos的图象，根据得到的函数是奇函数，可得－＋φ＝kπ＋，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝－，所以f(x)＝cos.
令x＝－，求得f(x)＝cos＝－，故A错误．
令x＝－，求得f(x)＝cos＝0，故B错误．令x＝，求得f(x)＝cos 0＝1，为函数的最大值，故C错误，D正确．]
二、填空题
6．已知函数y＝2sin(ωx＋φ)在一个周期内，当x＝时有最大值2，当x＝时有最小值－2，则ω＝________，φ＝________.
2　　[由题意知，T＝2×＝π，
所以ω＝＝2；又因为当x＝时有最大值2.
f ＝2sin＝2sin＝2，
所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，且|φ|≤，所以φ＝.]
7．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)的部分图象如图所示，则f(0)＝__________.

　[由图象可得A＝，周期为4×＝π，所以ω＝2，将代入得2×＋φ＝2kπ＋，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，所以f(0)＝sin φ＝sin ＝.]
8．某同学利用描点法画函数y＝Asin (ωx＋φ)(其中0<A≤2,0<ω<2，－<φ<)的图象，列出的部分数据如下表：
x
0
1
2
3
4
y
1
0
1
－1
－2
经检查，发现表格中恰有一组数据计算错误，请你根据上述信息推断函数y＝Asin (ωx＋φ)的解析式应是________．
y＝2sin　[在平面直角坐标系中描出这五个点，如图所示．

根据函数图象的大致走势，
可知点(1,0)不符合题意；
又因为0<A≤2，函数图象过(4，－2)，
所以A＝2.
因为函数图象过(0,1)，∴2sin φ＝1，
又∵－<φ<，∴φ＝，
由(0,1)，(2,1)关于直线x＝1对称，
知x＝1时函数取得最大值2，
因此函数的最小正周期为6.
∴ω＝.∴y＝2sin.]
三、解答题
9．已知f(x)＝sin(2x－φ)－1(0<φ<π)的一个零点是.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)当x∈时，求函数的最大值以及最小值．
[解]　(1)依题意有f ＝0，所以sin－1＝0.
因此cos φ＝.又因为0<φ<π，所以φ＝.
故f(x)＝sin－1，其最小正周期为T＝＝π.
(2)由x∈，得2x－∈，
则sin∈，
所以－－1≤sin－1≤－1，
所以函数y＝f(x)的最大值为－1，最小值为－－1.
10．已知函数f(x)＝sin.
(1)请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期的闭区间上的简图；
(2)试问f(x)是由g(x)＝sin x经过怎样变换得到？
[解]　(1)列表如下：
2x－
0

π

2π
x

f(x)
0
1
0
－1
0
描点连线，图象如图所示．

(2)先将g(x)的图象向右平移个单位长度，再将所得函数图象的横坐标缩短为原来的，即可得到f(x)的图象．

1．(2020·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝cos在[－π，π]的图象大致如下图，则f(x)的最小正周期为(　　)

A． B．
C． D．
C　[由题图知，f ＝0，∴－ω＋＝＋kπ(k∈Z)，解得ω＝－(k∈Z)．设f(x)的最小正周期为T，易知T<2π<2T，
∴<2π<，∴1<|ω|<2，当且仅当k＝－1时，符合题意，此时ω＝，∴T＝＝.故选C.]
2．(多选)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<|φ|<π)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(　　)

A．函数f(x)的图象关于直线x＝对称
B．函数f(x)的图象关于点对称
C．函数f(x)在区间上单调递增
D．函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为
BCD　[由函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<|φ|<π)的图象可得，
A＝2，＝－＝，因此T＝π，
所以ω＝＝2，
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)，过点，
因此＋φ＝＋2kπ，k∈Z，又0<|φ|<π，
所以φ＝，
所以f(x)＝2sin.
当x＝时，f ＝－1，故A错；
当x＝－时，f ＝0，故B正确；
当x∈，2x＋∈，所以f(x)＝2sin在x∈上单调递增，故C正确；
由f(x)＝2sin＝1，得sin＝，∴2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z.取k＝0，得x＝0或；取k＝1，得x＝π或.∴函数y＝1与y＝f(x)的图象的所有交点的横坐标之和为0＋＋π＋＝，故D正确．]
3．已知函数f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，则ω＝__________.
　[依题意知f(x)＝sin(ω>0)，f ＝f ，且f(x)在区间上有最小值，无最大值，
∴f(x)图象关于直线x＝对称，
即关于直线x＝对称，且－<T＝，
∴·ω＋＝＋2kπ，k∈Z，且0<ω<12，∴ω＝.]
4．函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点个数为________，所有零点之和为________．
8　8　[函数y＝2sin πx－(－2≤x≤4)的零点即
方程2sin πx＝的根，
作函数y＝2sin πx与y＝的图象如下：由图可知共有8个公共点，所以原函数有8个零点．

y＝2sin πx－＝2sin π(1－x)－，
令t＝1－x，则y＝2sin πt－，t∈[－3,3]，
该函数是奇函数，故零点之和为0.所以原函数的零点之和为8.]

　已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一系列对应值如下表：
x
－

y
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f(kx)(k＞0)的最小正周期为，当x∈时，方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
[解]　(1)设f(x)的最小正周期为T，则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1，又解得令ω·＋φ＝，即＋φ＝，解得φ＝－，∴f(x)＝2sin＋1.
(2)∵函数y＝f(kx)＝2sin＋1的最小正周期为，且k＞0，∴k＝3.令t＝3x－，∵x∈，
∴t∈，作出y＝sin t的图象，如图所示，

当sin t＝s在上有两个不同的实数解时，s∈，∴当x∈时，由方程f(kx)＝m恰有两个不同的实数解得m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．