求导法则.ppt

第二节二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 函数的求导法则 第二章 五、隐函数求到法则、隐函数求到法则思路思路:(构造性定义)求导法则求导法则其它基本初等其它基本初等函数求导公式函数求导公式证明中利用了两个重要极限初等函数求导问题初等函数求导问题本节内容机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.的和、差、积、商(除分母为 0的点外)都在点 x 可导,且机动 目录 上页 下页 返回 结束(C为常数)例例1.解解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求证证:类似可证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2.y 的某邻域内单调可导,证证:在 x 处给增量由反函数的单调性知且由反函数的连续性知 因此机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求反三角函数及指数函数的导数.解解:1)设则类似可求得利用,则机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)设则特别当时,小结小结:机动 目录 上页 下页 返回 结束 在点 x 可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.在点可导复合函数且在点 x 可导,证证:在点 u 可导,故（当 时 )故有机动 目录 上页 下页 返回 结束 例如,关键:搞清复合函数结构,由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4.求下列导数:解解:(1)(2)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.设求解解:思考思考:若存在,如何求的导数?这两个记号含义不同练习练习:设机动 目录 上页 下页 返回 结束 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 1.常数和基本初等函数的导数机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.有限次四则运算的求导法则(C为常数)3.复合函数求导法则4.初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,由定义证,说明说明:最基本的公式其它公式用求导法则推出.且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7.求解解:例例8.设解解:求机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9.求解解:关键关键:搞清复合函数结构 由外向内逐层求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 五、隐函数的导数五、隐函数的导数若由方程可确定 y 是 x 的函数,由表示的函数,称为显函数显函数.例如例如,可确定显函数可确定 y 是 x 的函数,但此隐函数不能显化.函数为隐函数隐函数.则称此隐函数求导方法求导方法:两边对 x 求导(含导数 的方程)机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1.求由方程在 x=0 处的导数解解:方程两边对 x 求导得因 x=0 时 y=0,故确定的隐函数机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.求椭圆在点处的切线方程.解解:椭圆方程两边对 x 求导故切线方程为即机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3.求的导数.解解:两边取对数,化为隐式两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 1)对幂指函数可用对数求导法求导:说明说明:按指数函数求导公式按幂函数求导公式注意注意:机动 目录 上页 下页 返回 结束 2)有些显函数用对数求导法求导很方便.例如例如,两边取对数两边对 x 求导机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如又如,对 x 求导两边取对数机动 目录 上页 下页 返回 结束