通信原理—随机过程5讲(新).ppt

统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37高斯随机过程高斯随机过程 若若随随机机过过程程(t)的的任任意意n维维（n=1,2,）分分布布都都是是正正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。1统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37高斯随机过程高斯随机过程 如果各随机如果各随机变量两两之量两两之间互不相关，互不相关，则上式中，上式中，对所有所有统计独立统计独立2统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37余因子u对一个对一个 矩阵矩阵 A，在，在(i,j)的的子行列子行列式（余子式）式（余子式）Mij 定义为删掉定义为删掉 A 的的第第 i 横行与第横行与第 j 纵列后得到的纵列后得到的行列行列式式。令。令 Cij:=(1)i+jMij，称为称为 A 在在(i,j)的的余因子余因子（代数余（代数余子式）。子式）。3统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37余因子范例4统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:371.由由式式可可以以看看出出,高高斯斯过过程程的的n维维分分布布完完全全由由n个个随随机机变变量量的的数数学学期期望望、方方差差和和两两两两之之间间的的归归一一化化协协方方差差函函数数所所决决定定。因因此此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。2.广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。广义平稳的高斯过程也是狭义平稳的。3.高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。高斯过程经过线性变换（或线性系统）后仍是高斯过程。4.若干个高斯过程之和仍是高斯过程。若干个高斯过程之和仍是高斯过程。高斯随机过程重要性质高斯随机过程重要性质 5统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37f(x)具有如下特性具有如下特性 (1)f(x)对称于对称于x=a这条直线。这条直线。(2)正态分布的概率密度正态分布的概率密度一维高斯随机过程一维高斯随机过程 6统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37一维高斯随机过程一维高斯随机过程u（3）a表示分布中心，表示分布中心，表示集中程度，表示集中程度，f(x)图图形将随着形将随着 的减小而变高和变窄。的减小而变高和变窄。u当当a=0，时，称时，称f(x)为标准正态分布的密度为标准正态分布的密度函数。函数。正态分布函数正态分布函数 正态分布函数是概率密度函数的积分，即正态分布函数是概率密度函数的积分，即7统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u式中，式中，称为称为概率积分函数概率积分函数，其定义为，其定义为 u上式积分不易计算，常引入误差函数和互补上式积分不易计算，常引入误差函数和互补误差函数表示正态分布误差函数表示正态分布一维高斯随机过程一维高斯随机过程8统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37误差函数和互补误差函数误差函数和互补误差函数互补误差函数互补误差函数误差函数误差函数9统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u引入误差函数和互补误差函数后，不难求得引入误差函数和互补误差函数后，不难求得u u误差函数、互补误差函数和概率积分函数之误差函数、互补误差函数和概率积分函数之间的关系如下间的关系如下:u u 误差函数和互补误差函数误差函数和互补误差函数10统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37这这种种噪噪声声被被称称为为白白噪噪声声，它它是是一一个个理理想想的的宽宽带带随随机机过过程程。式式中中n n0 0为为一一常常数数，单单位位是是瓦瓦/赫赫。显显然然，白白噪噪声声的自相关函数可借助于下式求得，即的自相关函数可借助于下式求得，即信信号号在在信信道道中中传传输输时时，常常会会遇遇到到这这样样一一类类噪噪声声，它它的的功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即功率谱密度均匀分布在整个频率范围内，即这说明，白噪声只有在这说明，白噪声只有在=0=0时才相关，而它在任意两时才相关，而它在任意两个时刻上的随机变量都是互不相关的。个时刻上的随机变量都是互不相关的。高斯白噪声高斯白噪声11统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37白噪声的功率谱和自相关函数白噪声的功率谱和自相关函数高斯白噪声高斯白噪声12统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37 如如果果白白噪噪声声又又是是高高斯斯分分布布的的，我我们们就就称称之之为为高高斯斯白噪声。白噪声。高高斯斯白白噪噪声声在在任任意意两两个个不不同同时时刻刻上上的的取取值值之之间间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。应应当当指指出出，我我们们所所定定义义的的这这种种理理想想化化的的白白噪噪声声在在实实际际中中是是不不存存在在的的。但但是是，如如果果噪噪声声的的功功率率谱谱均均匀匀分分布布的的频频率率范范围围远远远远大大于于通通信信系系统统的的工工作作频频带带，我们就可以把它视为白噪声。我们就可以把它视为白噪声。高斯白噪声高斯白噪声功率谱功率谱角度角度概率分概率分布角度布角度13统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37随机过程通过线性系统只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。随随机机信信号号通通过过线线性性系系统统的的分分析析，完完全全是是建建立立在在确确知知信信号通过线性系统的分析原理的基础之上的。号通过线性系统的分析原理的基础之上的。我我们们知知道道，线线性性系系统统的的响响应应v vo o(t)(t)等等于于输输入入信信号号v vi i(t)(t)与系统的单位冲激响应与系统的单位冲激响应h(t)h(t)的卷积，即的卷积，即若若则有则有14统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则若输入信号有界且线性系统是物理可实现的，则或或 如如果果把把vi(t)看看作作是是输输入入随随机机过过程程的的一一个个样样本本，则则vo(t)可可看看作作是是输输出出随随机机过过程程的的一一个个样样本本。显显然然，输输入入过过程程i(t)的的每每个个样样本本与与输输出出过过程程o(t)的的相相应应样样本本之之间间都满足上式的关系。都满足上式的关系。这样，就整个过程而言，便有这样，就整个过程而言，便有随机过程通过线性系统15统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37思考：u平稳随机过程通过线形系统时，系统输出平稳随机过程通过线形系统时，系统输出数学期望和输入数学期望之间有什么关系数学期望和输入数学期望之间有什么关系？16统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37假定输入假定输入i(t)是平稳随机过程，是平稳随机过程，则可以分析系统的输则可以分析系统的输出过程出过程o(t)的统计特性。的统计特性。随机过程通过线性系统1.输出过程输出过程o(t)的数学期望的数学期望由由此此可可见见,输输出出过过程程的的数数学学期期望望等等于于输输入入过过程程的的数数学学期望与直流传递函数期望与直流传递函数H(0)的乘积，且与的乘积，且与t无关。无关。17统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37思考：u平稳随机过程通过线形系统时，系统输出平稳随机过程通过线形系统时，系统输出自相关函数是否与时间起点有关？自相关函数是否与时间起点有关？18统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37可可见见,o(t)的的自自相相关关函函数数只只依依赖赖时时间间间间隔隔而而与与时时间间起起点点t1无无关关。由由以以上上输输出出过过程程的的数数学学期期望望和和自自相相关关函函数数证证明明，若若线线性性系系统统的的输输入入过过程程是是平平稳稳的的，那那么么输输出出过程也是平稳的。过程也是平稳的。2.输出过程输出过程o(t)的自相关函数的自相关函数 随机过程通过线性系统19统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37思考：u平稳随机过程通过线形系统时，系统输出平稳随机过程通过线形系统时，系统输出功率谱密度和输入功率谱密度之间有什么功率谱密度和输入功率谱密度之间有什么关系？关系？20统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:373.输出过程输出过程o(t)的功率谱密度的功率谱密度可见，系系统统输输出出功功率率谱谱密密度度是是输输入入功功率率谱谱密密度度Pi()与与系统功率传输函数系统功率传输函数|H()|2的乘积。的乘积。随机过程通过线性系统21统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37从原理上看，在已知输入过程分布的情况从原理上看，在已知输入过程分布的情况总可以确定输出过程的分布。总可以确定输出过程的分布。其中一个十分有用的情形是：其中一个十分有用的情形是：如果线性系统的输入如果线性系统的输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极因为从积分原理来看，上式可表示为一个和式的极限，即限，即4.输出过程o(t)的概率分布随机过程通过线性系统22统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37 由由于于i(t)已已假假设设是是高高斯斯型型的的，所所以以，在在任任一一时时刻刻的的每每项项 都都是是一一个个高高斯斯随随机机变变量量。因因此此，输输出出过过程程在在任任一一时时刻刻得得到到的的每每一一随随机机变变量量，都都是无限多个高斯随机变量之和。是无限多个高斯随机变量之和。由由概概率率论论得得知知，这这个个“和和”的的随随机机变变量量也也是是高高斯斯随随机机变变量量。这这就就证证明明，高高斯斯过过程程经经过过线线性性系系统统后后其其输输出过程仍为高斯过程。出过程仍为高斯过程。更更一一般般地地说说，高高斯斯过过程程经经线线性性变变换换后后的的过过程程仍仍为为高高斯斯过过程程。但但要要注注意意，由由于于线线性性系系统统的的介介入入，与与输输入入高斯过程相比，高斯过程相比，输出过程的数字特征已经改变了输出过程的数字特征已经改变了。随机过程通过线性系统23统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u例例 均值为均值为0，自相关函数为，自相关函数为 的高斯过程，的高斯过程，通过通过 （A、B为常数）的网络，为常数）的网络，试求：试求：u（1）输出过程的一维概率密度函数；）输出过程的一维概率密度函数；u（2）输入过程的一维概率密度函数；）输入过程的一维概率密度函数；u（3）输出过程的噪声功率。）输出过程的噪声功率。24统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u（1）输入过程）输入过程 均值为均值为0，所，所以是宽平稳随机过程，它的总平均功率，即方差以是宽平稳随机过程，它的总平均功率，即方差 ，所以可以直接写出，所以可以直接写出 的一维概率密度函数的一维概率密度函数为为（2）因为）因为为高斯过程，所以为高斯过程，所以也是高斯过程。则也是高斯过程。则其中，均值其中，均值 方差方差25统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u这样随机过程这样随机过程 的一维概率密度函数为的一维概率密度函数为（3）的噪声功率的噪声功率 26统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37随机过程通过乘法器 u在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘在通信系统中，经常进行乘法运算，所以乘法器在通信系统中应用非常广泛，下面我们法器在通信系统中应用非常广泛，下面我们计算平稳随机过程通过乘法器后，输出过程计算平稳随机过程通过乘法器后，输出过程的功率谱密度。的功率谱密度。u 思考：平稳随机过程通过乘思考：平稳随机过程通过乘法器后，输出过程是否仍是法器后，输出过程是否仍是平稳随机过程呢？平稳随机过程呢？27统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37图图2-102-10平稳随机过程通过乘法器平稳随机过程通过乘法器28统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u设一平稳随机过程设一平稳随机过程 和正弦波信号和正弦波信号 同时通过乘法器，则其输出响应为同时通过乘法器，则其输出响应为 u首先计算输出过程的自相关函数。由自相关首先计算输出过程的自相关函数。由自相关函数的定义得函数的定义得 29统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:3730统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u上式中，上式中，是输入是输入平稳随机过程的自相关函数，它只与时间平稳随机过程的自相关函数，它只与时间间隔间隔 有关。但由上式可知有关。但由上式可知 是时间是时间t t的函数，故乘法器的输出过程不是的函数，故乘法器的输出过程不是平稳随机过程。平稳随机过程。31统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u为了求输出过程的功率谱，上式中第一项可为了求输出过程的功率谱，上式中第一项可按常规的傅里叶变换得到功率谱密度，但第按常规的傅里叶变换得到功率谱密度，但第二项却包含有二项却包含有 和和t t两种时间变量，它的功两种时间变量，它的功率谱与率谱与t t有关，这种与有关，这种与t t有关的动态谱分析比有关的动态谱分析比较复杂，这里介绍一种求非平稳随机过程功较复杂，这里介绍一种求非平稳随机过程功率谱的近似方法。率谱的近似方法。32统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u 对于非平稳随机过程，其功率谱密度可表示对于非平稳随机过程，其功率谱密度可表示为为 u u式中，式中，是输出过程自相关函数的时是输出过程自相关函数的时间平均值，所以间平均值，所以33统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u又由于又由于 u 而而 的傅里叶变换就是乘法器输的傅里叶变换就是乘法器输出响应的功率谱。即出响应的功率谱。即u 34统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u 例例 随机过程随机过程 ，这里，这里 是均值为是均值为a a、方差为、方差为 的高斯随机变量，试的高斯随机变量，试求：求：u（1 1）及及 的两个一维概率密度；的两个一维概率密度；u（2 2）X(t)X(t)是否宽平稳；是否宽平稳；u（3 3）X(t)X(t)的功率谱；的功率谱；u（4 4）X(t)X(t)的平均功率。的平均功率。35统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u解：解：u（1 1），由题意知，由题意知，是均值为是均值为a a、方差为、方差为 的高斯随机变量，的高斯随机变量，则则36统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u同理，同理，则则u（2 2）由（）由（1 1）的结果表明，）的结果表明，X(t)X(t)在在t=0t=0和和t=1t=1时均值不同，所以，其均值与时均值不同，所以，其均值与t t有关，不是常有关，不是常数。数。u下面再求的下面再求的X(t)X(t)自相关函数，即自相关函数，即37统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u可见，可见，X(t)X(t)的自相关函数是的自相关函数是t t和和 的函数。综合的函数。综合（1 1）和（）和（2 2）的结果知，）的结果知，X(t)X(t)不是宽平稳随机过程。不是宽平稳随机过程。u（3 3）为求）为求X(t)X(t)的功率谱，先对由（的功率谱，先对由（2 2）求出的自相）求出的自相关函数进行时间平均，即关函数进行时间平均，即38统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37u u然后对上结果进行傅里叶变换，求出然后对上结果进行傅里叶变换，求出X(t)X(t)的的功率谱为功率谱为u 平均功率为平均功率为39统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37例例 带带限限白白噪噪声声。试试求求功功率率谱谱密密度度为为n0/2的的白白噪噪声声通通过过理理想想矩矩形形的的低低通通滤滤波波器器后后的的功功率率谱谱密密度度、自自相相关关函函数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为数和噪声平均功率。理想低通的传输特性为可可见见，输输出出噪噪声声的的功功率率谱谱密密度度在在|H内内是是均均匀匀的的，在在此此范范围围外外则则为为零零，通通常常把把这这样样的的噪噪声声称称为为带带限限白白噪噪声。声。带限白噪声40统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37带限白噪声其自相关函数为其自相关函数为由由此此可可见见，带带限限白白噪噪声声只只有有在在=k/2fH(k=1,2,3,)上上得得到到的的随随机机变变量量才才不不相相关关。即即，如如果果对对带带限限白白噪噪声声按按抽抽样样定定理理抽抽样样的的话话，则则各各抽抽样样值值是是互互不不相相关关的随机变量。的随机变量。带限白噪声的平均功率：带限白噪声的平均功率：41统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37带限白噪声的功率谱和自相关函数带限白噪声42统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37窄带随机过程随随机机过过程程通通过过以以fc为为中中心心频频率率的的窄窄带带系系统统的的输输出出，即即是是窄窄带带随随机机过过程程。所所谓谓窄窄带带系系统统，是是指指其其通通带带宽宽度度ffc，且，且fc远离零频率的系统。远离零频率的系统。实实际际中中，大大多多数数通通信信系系统统都都是是窄窄带带型型的的，通通过过窄窄带带系系统统的的信信号号或或噪噪声声必必是是窄窄带带的的，如如果果这这时时的的信信号号或或噪噪声声又是随机的，则称它们为窄带随机过程。可表示为：又是随机的，则称它们为窄带随机过程。可表示为：43统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37窄带过程的频谱和波形示意窄带随机过程44统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:37 a(t)及及(t)分分别别是是(t)的的随随机机包包络络和和随随机机相相位位，c(t)及及s(t)分分别别称称为为(t)的的同同相相分分量量和和正正交交分分量量，它它们们也也是是随随机机过过程程，显显然然它它们们的的变变化化相相对对于于载载波波cosct的变化要缓慢得多。的变化要缓慢得多。(t)的的统统计计特特性性可可由由a(t)，(t)或或c(t),s(t)的的统统计计特特性性确确定定。反反之之，如如果果已已知知(t)的的统统计计特特性性则则可可确确定定a(t),(t)以及以及c(t)，s(t)的统计特性。的统计特性。窄带随机过程45统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:371 同相和正交分量的统计特性同相和正交分量的统计特性 设窄带过程设窄带过程(t)是平稳高斯窄带过程，是平稳高斯窄带过程，且且 均值为零，方差为均值为零，方差为 。可可以以证证明明它它的的同同相相分分量量c(t)和和正正交交分分量量s(t)也也是是零零均均值值的的平平稳稳高高斯斯过过程程，而而且且与与(t)具具有有相相同同的的方方差。差。此此外外，在在同同一一时时刻刻上上得得到到的的c和和s是是互互不不相相关关的的或或统计独立的。统计独立的。窄带随机过程46统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:372 包络和相位的统计特性包络和相位的统计特性一一个个均均值值为为零零，方方差差为为 的的窄窄带带平平稳稳高高斯斯过过程程(t)，其其包包络络a(t)的的一一维维分分布布是是瑞瑞利利分分布布，相相位位(t)的的一一维维分分布布是是均均匀匀分分布布，并并且且就就一一维维分分布布而而言言，a(t)与与(t)是统计独立的是统计独立的，即有下式成立：窄带随机过程瑞利分布瑞利分布47统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:38正弦波加窄带高斯噪声信信号号经经过过信信道道传传输输后后总总会会受受到到噪噪声声的的干干扰扰，为为了了减减少少噪噪声声的的影影响响，通通常常在在接接收收机机前前端端设设置置一一个个带带通通滤滤波波器器，以以滤滤除除信信号号频频带带以以外外的的噪声。噪声。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。因此，带通滤波器的输出是信号与窄带噪声的混合波形。最最常常见见的的是是正正弦弦波波加加窄窄带带高高斯斯噪噪声声的的合合成成波波，这这是是通通信信系系统统中中常常会会遇遇到到的的一一种种情情况况，所所以以有有必必要要了了解解合合成成信信号号的的包包络络和和相相位位的的统统计特性。计特性。正弦波有用信号正弦波有用信号窄带高斯噪声48统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:38合成信号合成信号r(t)的包络和相位为的包络和相位为正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为正弦波加窄带高斯过程的包络概率密度函数为广义瑞利分布广义瑞利分布，莱斯（Rice）密度函数正弦波加窄带高斯噪声49统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:38上式存在两种极限情况：上式存在两种极限情况：1.当信号很小，当信号很小，A0，即信噪比，即信噪比 时，时，x值很小，有值很小，有I0(x)=1，这时合成波，这时合成波r(t)中只存中只存在窄带高斯噪声，即由莱斯分布退化为瑞利分布。在窄带高斯噪声，即由莱斯分布退化为瑞利分布。2.当当信信噪噪比比r很很大大时时，有有I0(x)，这这时时在在zA附近，附近，f(z)近似于高斯分布。近似于高斯分布。由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有由此可见，信号加噪声的合成波包络分布与信噪比有关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，关。小信噪比时，它接近于瑞利分布；大信噪比时，它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。它接近于高斯分布；在一般情况下它是莱斯分布。正弦波加窄带高斯噪声50统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:38正弦波加窄带高斯过程的包络与相位分布 f()也也与与信信噪噪比比有有关关。小小信信噪噪比比时时，f()接接近近于于均均匀匀分分布布，它它反反映映这这时时窄窄带带高高斯斯噪噪声声为为主主的的情情况况；大大信信噪噪比比时时，f()主要集中在有用信号相位附近。主要集中在有用信号相位附近。正弦波加窄带高斯噪声51统计特性和数字特征高斯随机过程 随机过程通过线性系统 窄带随机过程 随机信号分析平稳随机过程小 结 基本概念正弦波加窄带高斯噪声 电电子子技技术术系系2024/5/21 周周二二03:38小 结随机过程基本概念严平稳随机过程宽平稳随机过程各态历经性自相关函数功率谱密度函数高斯随机过程窄带随机过程正弦波+窄带随机过程随机过程通过线性系统52