§4.常见的数学建模方法(1)---数据拟合(曲线拟合)法.ppt

4.常见的数学建模方法常见的数学建模方法(1)-数据拟合（曲线拟合）法数据拟合（曲线拟合）法在建立数学模型时在建立数学模型时,实际问题有时仅给出一组数据实际问题有时仅给出一组数据.处理这类问题的处理这类问题的较较简简单单易易行行的的方方法法是是通通过过数数据据拟拟合合法法求求得得“最最佳佳”的的近近似似函函数数式式-经经验验公公式式.从从几几何何上上看看就就是是找找一一条条“最最佳佳”的的曲曲线线,使使之之和和给给定定的的数数据点靠得最近据点靠得最近,即进行即进行曲线拟合曲线拟合.根据一组数据来确定其经验公式根据一组数据来确定其经验公式,一般可一般可分为三步进行分为三步进行:（1 1）决定经验公式的形式）决定经验公式的形式 .根据所描绘的系统固有的特点根据所描绘的系统固有的特点,参照参照 已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的形式已知数据的图形和特点或者它应服从的规律来决定经验公式的形式.这一步是关键的一步这一步是关键的一步.（2 2）决定经验公式中的待定参数）决定经验公式中的待定参数 .一般可用线性情况下的一般可用线性情况下的最小二最小二 乘法乘法 .它误差较小它误差较小,适用于测定数据比较精确的情况适用于测定数据比较精确的情况.在使用在使用最小二最小二 乘法乘法 时时,如遇到数学模型是非线性经验公式时其中参数的待定如遇到数学模型是非线性经验公式时其中参数的待定,通通 常是尝试能否经适当的变量替换常是尝试能否经适当的变量替换 ,将之化为线性模型来计算将之化为线性模型来计算 .（3 3）进行模型检验）进行模型检验 .求得确定的经验公式后求得确定的经验公式后,将实际测定值与用公将实际测定值与用公式算出的理论值进行比较式算出的理论值进行比较.线线性性模模型型下下的的最最小小二二乘乘法法法法则则是是：如如果果一一组组数数据据为为：（xi,yi）,(i=0,n)，它服从它服从线性函数线性函数y=kx+b模型模型,则则在决定经验公式的形式时在决定经验公式的形式时,大致思路是大致思路是:a)利用所研究系统的有关问题在理论上已有的结论利用所研究系统的有关问题在理论上已有的结论,来来确定经确定经验公式的形式验公式的形式.b)在无现成理论情况下在无现成理论情况下,最简单的处理手段是用描图的方法最简单的处理手段是用描图的方法,将将数据点连成光滑曲线数据点连成光滑曲线,把它与已知函数曲线进行比较把它与已知函数曲线进行比较,找出与之比找出与之比较接近的曲线较接近的曲线.c)如要考虑所建立的模型必要的逻辑性与理论价值如要考虑所建立的模型必要的逻辑性与理论价值,可利用合适可利用合适的数学方法的数学方法,对所研究系统的有关问题进行对所研究系统的有关问题进行定量化的机理分析定量化的机理分析,导出较为严密的数学公式导出较为严密的数学公式.实实例例1.找找出出基基于于下下列列数数据据的的铜铜棒棒长长度度l与与温温度度t之之间间关关系系的的经经验验公公式式.温度温度t(0C)20405060对应长度对应长度l(mm)1000.21000.651000.901001.05建建模模过过程程:利利用用已已有有的的物物理理学学固固体体热热胀胀冷冷缩缩定定律律:l=l0(1+at)作作为为该该组组数数据据应应服服从从的的数数学学模模型型，如如记记l-1000=l,l01000=b,al0=k,则有则有 l=b+kt.可以算得：可以算得：根据最小二乘法公式，根据最小二乘法公式，可得：可得：l=999.804（1+0.0000212t）.最后检验该模型最后检验该模型(经验公式经验公式):tl(测定值测定值)l*(计算值计算值)v=l-l*v2201000.221000.228+0.0080.000064401000.651000.652+0.0020.00004501000.91000.864-0.0360.001296601001.051001.074+0.0240.000576残差的平方和为残差的平方和为:v2=0.00194,这个结果应该说是较好的这个结果应该说是较好的.实实例例2.找找出出基基于于下下列列数数据据的的油油的的粘粘度度y与与温温度度x之之间间关关系系的的经经验验公式公式.建模过程建模过程:无现成机理明确的公式无现成机理明确的公式,使用描点比较法使用描点比较法 ：可以认为该光滑曲线相似于一条双曲线可以认为该光滑曲线相似于一条双曲线,故设其数学模型为故设其数学模型为y=axb(b0).为了将它化为线性模型为了将它化为线性模型,两边取对数，再作两边取对数，再作变量替换变量替换：Y=lny,X=lnx,即得线性模型：即得线性模型：Y=A+bX,其中其中A=lna,而而(X,Y)的数据为的数据为:（lnxi,lnyi）,(i=1,8).用用 最小二乘法最小二乘法 算得：算得：a=17.2463,b=-0.6048.由此最后可得到由此最后可得到油的粘度油的粘度 y与温度与温度 x之间依赖关系的数学模型为之间依赖关系的数学模型为:检验该模型检验该模型(经验公式经验公式):y=17.2463x-0.6048.iy(测定值测定值)y*(计算值计算值)v=y-y*v214.244.28+0.040.001622.922.82-0.100.0132.202.200041.811.85+0.040.001651.611.62+0.010.000161.431.45+0.020.000471.321.320081.251.22-0.030.0009残差的平方和为残差的平方和为:v2=0.0146,这个结果应该说也是较好的这个结果应该说也是较好的.说说明明:该例中的变变量量替替换换方法运用,使得线性模型的最小二乘法公式应用范围大大扩大.常见的非线性模型的变换方式非线性模型的变换方式如下表所列:曲线曲线变换变换变换后的线性表示式变换后的线性表示式幂函数幂函数y=axbx=lnx,y=lny y=lna+bx指数函数指数函数y=aebxx=x,y=lnyy=lna+bx双曲函数双曲函数y=x/(ax+b)x=1/x,y=1/y y=a+bx对数函数对数函数y=a+blnxx=lnx,y=y y=a+bx指数函数指数函数y=aeb/xx=1/x,y=lny y=lna+bxS型型函函数数y=1/(a+be-x)x=e-x,y=1/y y=a+bx实例实例.找出基于下列数据的美国马萨诸塞州生产量、劳动力和投资之间变化的经找出基于下列数据的美国马萨诸塞州生产量、劳动力和投资之间变化的经济增长模型（道格拉斯济增长模型（道格拉斯Douglas生产函数模型生产函数模型）实实例例3.某研究所为了研究三种肥料氮,磷,钾对于土豆和生菜的作用,分别对每种作物进行了三组试验.实验数据如下列表格所示,其中ha表示公顷,t表示吨,kg表示千克.试建立反映施肥量与产量关系的数学模型.氮施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据施肥量03467101135202259336404471产量15.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.75施肥量04998147196294391489587685产量6.399.4812.4614.3317.1021.9422.6421.3422.0724.53磷施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据钾施肥量(公斤/公顷)与土豆产量（吨/公顷）关系的实验数据施肥量04793140186279372465558651产量18.9827.3534.8638.5238.4437.7338.4343.8742.7746.22氮施肥量(公斤/公顷)与生菜产量（吨/公顷）关系的实验数据施肥量0285684112168224280336392产量11.0212.7014.5616.2717.7522.5921.6319.3416.1214.11磷施肥量(公斤/公顷)与生菜产量（吨/公顷）关系的实验数据施肥量024497398147196245294342产量33.4632.4736.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.73钾施肥量(公斤/公顷)与生菜产量（吨/公顷）关系的实验数据施肥量04793140186279372465558651产量15.7516.7616.8916.2417.5619.2017.9715.8420.1119.401.1.磷施肥量磷施肥量 x关于土豆产量关于土豆产量 y的情况的情况.描描点点图图为为:可选择可选择作为经验公式作为经验公式 .为了运用线性模型的最小二乘为了运用线性模型的最小二乘法公式法公式,令令最终的数学模型是最终的数学模型是:根根据据这这个个模模型型,可可以以得得到到土土豆豆的的最最高高极极限限产产量量是是43吨吨.这这个个结结论论从从定定性性角角度度看看,与与农农业业资资料料的的结结论论是是一一致致的的,即即在在一一定定的的范范围围内内磷磷施施肥肥量量可可以以使使土土豆豆产产量量增增长长,但但过过多多地地施施磷磷肥肥对对土土豆豆产产量量不不起起作作用用.在这一点上在这一点上,该模型是经得起实际检验的该模型是经得起实际检验的.得得y=a+bx.由此可算得由此可算得:a=0.0232,b=0.0073.2.2.磷施肥量磷施肥量 x关于生菜产量关于生菜产量 y的情况的情况.描点图为描点图为:由描点图可知由描点图可知,在模型建立中应注意以下两个因素在模型建立中应注意以下两个因素:1)1)当磷肥施肥量为零时当磷肥施肥量为零时,生菜产量并非为零生菜产量并非为零,这说明土壤中原来就这说明土壤中原来就含有一定量的磷肥成分含有一定量的磷肥成分;(2)(2)实验数据说明实验数据说明,磷肥施肥量再多不会引起产量明显下降磷肥施肥量再多不会引起产量明显下降,而使生而使生菜产量趋于一个渐近值菜产量趋于一个渐近值,即极限产量即极限产量.考虑到上面一些分析考虑到上面一些分析,可采用双曲线模型可采用双曲线模型:这里这里a为生菜极限产量数为生菜极限产量数.为了利用线性模型的为了利用线性模型的最小二乘法最小二乘法 ,令令X=1/(1+x),Y=y,k=y0a,化为线性函数模型化为线性函数模型:Y=a+kX.根据最小二乘法计算公式和统计数据根据最小二乘法计算公式和统计数据,先算得先算得a和和k,然后再算出然后再算出y0.X11/501/991/1481/1971/2951/3921/4901/5881/686Y6.399.4812.4614.3317.121.9422.6421.3422.0724.53相应的统计数据为相应的统计数据为:在建立曲线拟合法的数学模型时在建立曲线拟合法的数学模型时,如果能尽量做一些定量如果能尽量做一些定量化的机理分析化的机理分析,然后运用数学手段推导出合理的数学模型然后运用数学手段推导出合理的数学模型,则建模的效果会则建模的效果会更好一些更好一些.实实例例4.利利用用例例3的的资资料料,建建立立土土豆豆产产量量y和和生生菜菜产产量量y依依赖赖于于氮氮施肥量施肥量x的数学的数学模型模型,并由此求出氮和磷的最佳施肥数量并由此求出氮和磷的最佳施肥数量.(氮氮肥肥价价格格350元元/吨吨,土土豆豆价价格格0.8元元/公公斤斤,生生菜菜价价格格0.2元元/公斤公斤)建模假设建模假设:根据所给的数据和实际经验根据所给的数据和实际经验,当施肥量合适时当施肥量合适时,土豆产土豆产量量和生菜产量随氮施肥量的增加而增加和生菜产量随氮施肥量的增加而增加,但是氮施肥量的过量会造成但是氮施肥量的过量会造成土豆产量和生菜产量的下降土豆产量和生菜产量的下降.如设如设 xm为达到土豆或生菜最高产量为达到土豆或生菜最高产量时的施肥量时的施肥量 ,现在现在假定假定 边际产量边际产量yx与与xmx成正比成正比(Nicklas和和 Miller理论理论 ).模型建立模型建立:模型求解模型求解:y=ax2+bx+c其中其中c=y(0)=15.18(或或11.02).令令x=x,y=(y-c)/x,可以化为线性模型：可以化为线性模型：y=ax+b.根根据据所所给给数数据据,运运用用线线性性模模型型的的最最小小二二乘乘法法公公式式,得得土土豆豆产产量量y依依赖于氮施肥赖于氮施肥量量x的数学模型的数学模型:y=-0.00034x2+0.197x+15.18;生菜产量生菜产量y依赖于氮施肥量依赖于氮施肥量x的数学模型的数学模型:y=-0.00024x2+0.101x+11.02.模模型型分分析析与与模模型型决决策策:当当下下列列关关系系y(x0)=Tx/Ty(Tx,Ty分分别别为为氮氮肥肥和和生生产产作作物物的的价价格格)成成立立时时,投投入入一一吨吨肥肥料料得得到到的的效效益益最最大大,此此时的施肥量即为最佳施肥量时的施肥量即为最佳施肥量;这是因为：这是因为：利润利润S(x)=土豆收益土豆收益-氮肥支出氮肥支出=y(x)Ty-x xTx,当当 S(x)=0时，利润最大时，利润最大,即即 ：y(x)Ty-Tx=0，解得解得 y(x0)=Tx/Ty。由土豆产量由土豆产量 y依赖于氮施肥量依赖于氮施肥量 x的数学模型的数学模型 0.1970.00068x0=350/0.8对土豆的最佳氮施肥量对土豆的最佳氮施肥量 x0=290.57kg/ha.由生菜产量由生菜产量y依赖于氮施肥量依赖于氮施肥量x的数学模型的数学模型0.1010.00048x=350/0.2对生菜的最佳氮施肥量对生菜的最佳氮施肥量x0=203.57kg/ha.实例实例5.利用例利用例3的资料的资料,建立生菜产量建立生菜产量y依赖于磷施肥量依赖于磷施肥量x的数的数学模型学模型.建模假设建模假设:经过查阅农业资料经过查阅农业资料,有关文献中的米采利希理论认为有关文献中的米采利希理论认为,只增加某种养分时只增加某种养分时,引起产量的增加与该种养分供应充足时达到的引起产量的增加与该种养分供应充足时达到的最高产量和现在产量之差相关最高产量和现在产量之差相关.现在现在 ,假定边际产量假定边际产量dy/dx与与 ymy成正比成正比(ym:极限产量极限产量)模型建立模型建立:模型求解模型求解:这这是是一一个个非非线线性性模模型型,无无论论使使用用怎怎样样的的变变换换,都都不不能能化化为为线线性性模模型型.这样的模型这样的模型,称为称为本质非线性模型本质非线性模型.在实例在实例7之后，我们再来看如何用已知数据来算得之后，我们再来看如何用已知数据来算得ym和和k.实例实例 6.6.建立赛艇比赛成绩的模型建立赛艇比赛成绩的模型 (McMahon(McMahon 模型模型 )赛赛艇艇是是一一种种靠靠桨桨手手划划桨桨前前进进的的小小船船,分分单单人人艇艇,双双人人艇艇,四四人人艇艇,八八人人艇艇四四种种.T.A.McMahon比比较较了了各各种种赛赛艇艇19641970年年四四次次2000米米比比赛赛的的最最好好成成绩绩数数据据表表后后,认认为为比比赛赛成成绩绩与与桨桨手手数数量量之之间间存存在着某种关系在着某种关系,并建立了一个数学模型来解释这种关系并建立了一个数学模型来解释这种关系.艇种1964年成绩（分钟）1966年成绩（分钟）1968年成绩（分钟）1970年成绩（分钟)平均成绩平均成绩单人716725728717721双人687692695677688四人633642648613632八人587592582573584建模目的建模目的:寻求桨手数寻求桨手数 n n 与比赛成绩与比赛成绩 t t 之间的函数关系之间的函数关系 t=t(n)t=t(n).建模假定建模假定:（1）艇的几何形状相同，艇长）艇的几何形状相同，艇长:艇宽艇宽=l:b=constant,艇重艇重w0与桨手数与桨手数n成正比；成正比；（2）艇艇速速v=constant,阻阻力力f与与sv2成成正正比比，s为为艇艇浸浸没没部部分分面面积；积；（3）桨手体重）桨手体重w相同，划桨功率相同，划桨功率p不变，且不变，且p与与w成正比。成正比。建模过程：建模过程：总功率与阻力和速度的乘积成正比：总功率与阻力和速度的乘积成正比：。假设（假设（2）由此可得：由此可得：浸没部分面积应与艇的特征尺寸的平方成正比：浸没部分面积应与艇的特征尺寸的平方成正比：另一方面，艇的排水体积应与艇的特征尺寸的立方成正比：另一方面，艇的排水体积应与艇的特征尺寸的立方成正比：故可得：故可得：艇和桨手的总重艇和桨手的总重w=w0+nw根据根据阿基米德定律阿基米德定律：上面的上面的由于由于比赛成绩比赛成绩t（时间）与时间）与v成反比，所以成反比，所以根据以上根据以上机理分析机理分析，可以认为有，可以认为有经验公式经验公式：令令X=lnn,Y=lnt,A=lna,得得Y=A+bX.由实际数据代入由实际数据代入 最小二乘法公式最小二乘法公式 可得：可得：假设（假设（3）实例实例7.7.人口人口 Logistic Logistic 模型模型根据下面一组统计数据（根据下面一组统计数据（ti,xi）(i=1,2,n)：寻求人口数寻求人口数x随时间随时间t变化的具体数学模型。变化的具体数学模型。建模过程：建模过程：模型求解：模型求解：年份1820(t=0)1830(t=1)1840(t=2)1850(t=3)1860(t=4)1870(t=5)1880(t=6)1890(t=7)1900(t=8)1910(t=9)1920(t=10)1930(t=11)人口数9.6（十万）12.917.123.231.438.650.262.97692.0106.5 123.2建模假定建模假定（1）人口）人口x(t)关于时间关于时间t的增长率与人类生存空间容的增长率与人类生存空间容纳度成正比。（纳度成正比。（2）人口基数）人口基数x0是已知的。是已知的。这这是是一一个个本本质质非非线线性性模模型型,无无论论使使用用怎怎样样的的变变换换,都都不不能能化化为为线线性性模模型型.为为了了用用所所给给的的统统计计数数字字通通过过线线性性模模型型的的最最小小二二乘乘法法公公式式算算出出r0和和xm,可可以以利利用用建建模模过过程程中中的的式式(*)在在单单位位时时间间下下的的近近似似表表示式示式:令令可得可得:其中其中(X,Y)的统计数字为的统计数字为:由由最最小小二二乘乘法法,a=0.31,b=-0.001574.故故人人口口的的具具体体Logistic模型模型为为:X9.612.917.123.231.438.650.262.97692106.5123.2Y0.3430.3260.3570.3540.2230.3050.2530.2080.210.1560.1568这个模型求解前是：这个模型求解前是：它的近似表示式是它的近似表示式是:可用已知数据算得可用已知数据算得和和yi的拟合数据来算得的拟合数据来算得ym和和k.本本例例处处理理本本质质非非线线性性模模型型的的方方法法，也也可可用用于于实实例例5.实实例例5中中所所建建立的模型也立的模型也是是一个一个本质非线性模型本质非线性模型：