四川省成都市实验外国语学校2020届高三数学模拟考试试题文.doc

四川省成都市实验外国语学校2020届高三数学模拟考试试题文

四川省成都市实验外国语学校2020届高三数学模拟考试试题文

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四川省成都市实验外国语学校2020届高三数学模拟考试试题（三）文（含解析）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.已知集合，，则为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求函数的定义域化简集合的表示，
求函数的值域化简集合的表示，最后利用交集的定义进行求解即可.
【详解】因为，，
所以.
故选：C
【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了求函数的定义域和值域，考查了数学运算能力.
2.若复数z满足，则z的虚部为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
计算，利用复数除法运算得到答案.
【详解】，故，故虚部为.
故选：A.
【点睛】本题考查了复数的模，复数的除法，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
3.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.
【详解】解：因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，
所以，
因此.
故选：B
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于基础题.
4.《周易》是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化．如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）．若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率.
【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，
取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个，
所以，所求的概率.
故选：B.
【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题．
5.下列判断正确的是（ ）
A. 两圆锥曲线的离心率分别为，，则“”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件
B. 命题“若，则.”的否命题为“若，则.”
C. 若命题“”为假命题，则命题“”是假命题
D. 命题“，."的否定是“，.”
【答案】D
【解析】
【分析】
对于，取特值：，，可知不正确；对于，只否定了结论，没有否定条件，故不正确；对于，命题与命题一个为真命题、一个为假命题时，可得命题“”是真命题，所以不正确；对于，根据命题的否定的概念，可知正确.
【详解】对于，若两圆锥曲线均为椭圆，则，，所以，所以“”是“两圆锥曲线均为椭圆”的必要条件，取，满足，
此时一个圆锥曲线为椭圆，一个圆锥曲线为双曲线，所以“”不是“两圆锥曲线均为椭圆”的充分条件，故不正确；
对于，命题“若，则.”的否命题为“若，则” ，故不正确；
对于，若命题“”为假命题，则与至少有一个为假命题，当为假命题， 为真命题时，“”为真命题，故不正确；
对于，命题“，."的否定是“，.”是正确的，故正确.
故选：D.
【点睛】本题考查了充要条件，考查了椭圆和双曲线的离心率，考查了命题的真假判断，考查了否命题和命题的否定，属于基础题.
6.函数的部分图象大致是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可.
【详解】由题知,函数的定义域为,关于原点对称,
且,
所以是奇函数,所以排除C,D;
又∵,所以排除A,
故选：B.
【点睛】本题主要考查函数图像的判断与识别，结合函数的奇偶性与特殊值的符号进行排除即可解决，属于中等题.
7.在中，角，，的对边分别是，，，且，则角的大小为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先利用正弦定理化边为角可得，再进一步化简求出即可得出角A．
【详解】∵，
由正弦定理可得，即.∵，∴.∵，∴.选A．
【点睛】本题主要考查正弦定理及三角恒等变换，属中等难度题．
8.设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，，则
C. 若，，，则 D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】
利用线面平行的性质，面面垂直的性质与判定，即可得出结论．
【详解】解：由，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，知：
在 中，若，，则与相交、平行或异面，故错误；
在中，若，，，则与平行或异面，故错误；
在中，若，，，则与相交、平行或，故错误；
在中，若，，，则由面面垂直的判断定理得，故正确．
故选：．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
9.若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】
作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求得目标函数的最值，得到答案.
【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，
又由目标函数表示可行域内点与定点的连线的斜率，
因为点恰好在直线上，
结合图象，可得当点在线段时，能使得目标函数取得最大值，
又由直线的斜率为1，所以最大值为.
故选：A.

【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，其中解答中准确作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及运算能力.
10.定义在上偶函数满足，且在[－1，0]上单调递减，设，，，则、，大小关系是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由可求函数周期2，利用周期及偶函数可转化为在[－1，0]上的函数值，利用单调性比较大小.
【详解】∵偶函数满足，∴函数的周期为2.
由于，
，
，
.且函数在[－1，0]上单调递减，∴.
【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性及偶函数的性质，属于中档题.
11.已知双曲线的左、右焦点分别为,是右支上的一点，与轴交于点 ，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由双曲线的定义和内切圆的切线性质，圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求的值
【详解】设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为
则，

由双曲线的对称性可得：

由双曲线的定义可得

解得
又，即有
则离心率
故选
【点睛】本题考查了双曲线的离心率，结合了三角形内切球，由切线长定理和双曲线定义求出的值是本题的关键，综合性较强
12.已知函数，其导函数为，则 的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】
首先根据题意得到，为偶函数，再计算即可.
【详解】因为，，
所以.
又因，

所以为偶函数.
所以.
故选：C
【点睛】本题主要考查求导公式，同时考查了函数的奇偶性，属于简单题.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量，则向量在向量方向上的投影为____________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据，，得在上的投影为，，求出，代入投影的公式计算即可．
【详解】向量，，，，
在方向上的投影为，．
故答案为：．
【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题．
14.函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋1有极大值又有极小值，则a的范围是 ．
【答案】
【解析】
【分析】
将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解的取值范围即可.
【详解】由题意可得：，
若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程有两个不同的实数根，
即：，整理可得：整理可得：，
据此可知的取值范围是或.
【点睛】(1)可导函数y＝f(x)在点x0处取得极值的充要条件是f′(x0)＝0，且在x0左侧与右侧f′(x)的符号不同．
(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．
15.已知函数，其图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间为______________．
【答案】
【解析】
函数，因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于π，函数的周期，所以，所以，因为，解得，，即函数的单调增区间为，故答案为.
16.已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.已知点，则______；设点，则的值为____.
【答案】 (1). 4 (2). 2
【解析】
【分析】
（1）根据直线的方程，求出点，再利用焦半径公式，即可得答案；
（2）根据，再利用抛物线的定义，即可得答案；
【详解】（1），，，
直线的方程为，与联立得：，
解得：或，
，；
（2）设准线与轴的交点为，于，

，
故答案为：.

【点睛】本题考查抛物线中线段比例的新定义题、抛物线的焦半径，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.设等差数列的前n项的和为，且，，求：
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前14项和.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由已知条件列出关于的方程组，求出可得到；
（2）由通项公式先判断数列中项的正负，然后再化简数列中的项，即可求出结果.
【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，依题意得，
解得，
∴；
（2）∵，
∴由得，
∴

.
【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题.
18.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列.

（1）求的值；
（2）分析人员对100名调查对象性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？
（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）
列联表

男性
女性
合计
消费金额

消费金额

合计

临界值表：

0.050
0.010
0.001

3.841
6.635
10.828

，其中
【答案】（1），（2）详见解析（3）395元
【解析】
【分析】
（1）根据频率分布直方图可得，结合可得的值.
（2）根据表格数据可得，再根据临界值表可得有的把握认为消费金额与性别有关.
（3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额.
【详解】（1）由频率分布直方图可知，，
由中间三组的人数成等差数列可知，
可解得，
（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.
所以列联表为

男性
女性
合计
消费金额
20
40
60
消费金额
25
15
40
合计
45
55
100

所以有的把握认为消费金额与性别有关.
（3）调查对象的周平均消费为
，
由题意，∴
.
∴该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元.
【点睛】（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是；
（2）两类变量是否相关，应先计算值，再与临界值比较后可判断是否相关.
（3）线性回归方程对应的直线必经过.
19.如图1，在平行四边形中，，，，为边的中点，以为折痕将折起，使点到达的位置，得到图2几何体．

（1）证明：；
（2）当平面时，求三棱锥的体积．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
（1）由已知条件和勾股定理可得，根据折叠的不变性可得，，由线面垂直的判定和性质可得证；
（2）由线面垂直的性质可得出平面，就是三棱锥的高，再运用等体积法可得出三棱锥的体积.
【详解】（1）依题意，在中（图1），，，，
由余弦定理得，
∴，即在平行四边形中，．
以为折痕将折起，由翻折不变性得，
在几何体中，，．又，∴平面，
又平面，∴．
（2）∵平面，平面，∴．
由（1）得，同理可得平面，即平面，就是三棱锥的高．
又，，，，
∴，
，
因此，三棱锥的体积为．
【点睛】本题考查由平面图形折叠成空间几何体中的线面关系，以及三棱锥的体积的求解，属于中档题.
20.已知椭圆E的左右焦点分别是、，且经过点.
（1）求椭圆E的标准方程：
（2）设AC，BD是过椭圆E中心且相互垂直的椭圆E的两条弦，问是否存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆?若存在，求圆G的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，.
【解析】
【分析】
（1）根据椭圆的定义，求出，得到椭圆的标准方程；
（2）先分析与轴垂直时，得到圆为四边形ABCD的内切圆，再当与轴不垂直时，设BC的方程为，与椭圆联立，得到根与系数的关系，再由，得到的关系式，再分析原点到的距离为定值，再理可得，O到直线AB，直线CD，直线AD的距离都是，知存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆，并求得内切圆的方程.
【详解】（1）设椭圆E的标准方程是，
由椭圆的定义可知，，
所以，
所以，因为，所以，
故椭圆E的标准方程为.
（2）若BC与x轴垂直，则AB与x轴平行，此时四边形ABCD为正方形，
，所以圆为四边形ABCD的内切圆.
若BC与x轴不垂直，则AB与x轴不平行，
设直线BC的斜率为k，直线BC的方程为，
与椭圆E的交点为，由，
得，
所以，，
因为，所以，
即，
，
所以，
圆心O到直线BC的距离为，
同理可证圆心O到直线AB，直线CD，直线AD的距离都是，
所以四边形ABCD的内切圆G的方程为;
综上所述，存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆，
内切圆的方程为.
【点睛】本题考查了椭圆定义求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，还考查了设而不解，联立方程组，根与每每的关系等基本技巧，考查了学生的逻辑推理、直观想象与数学运算等数学核心素养，难度较大.
21.已知函数，其中，，e为自然对数的底数.
(1)若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；
(2)若，且存在两个极值点，，求证：
【答案】(1) ；(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)由已知可得 ，只需对与0的大小关系分类讨论，确定函数的单调性，从而确定函数的最小值，即可求出实数a的取值范围；
(2)根据，是的根，可得与的关系及其范围，进而可将用含有的式子表示，构造函数即可证出.
【详解】(1)若，则，
所以，
因为，，
所以当，即时，，
所以函数在上单调递增，所以，符合题意；
当，即时，时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意，
综上：实数a的取值范围为.
(2) 若，则，
所以，
因为存在两个极值点，所以，所以，
令，得，
所以是方程的两个根，
所以，，且，，
不妨设，则，
所以
，
令，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，又，
所以.
【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.
22.己知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.
（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求的值.
【答案】（1）C：；l：；（2）8.
【解析】
【分析】
直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程.
将直线的参数方程与双曲线的方程联立，利用参数的几何意义得出答案.
【详解】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），
转化为直角坐标方程为，
直线l的极坐标方程，
直角坐标方程为：.
（2）由于直线与x轴的交点坐标为，
所以直线的参数方程为(为参数)，
代入得到：，
所以：，，
则：.
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的转换，同时考查直线参数的意义，考查了学生的运算能力和转换能力，属于基础题.
23.已知，，均为正实数，求证：
（1）；
（2）若，则.
【答案】证明过程详见解析
【解析】
【分析】
⑴将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立
⑵由基本不等式可得，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果
【详解】证明：(1)要证，
可证，需证，
即证，当且仅当时，取等号，由已知，上式显然成立，
故不等式成立．
(2)因为均为正实数，
由不等式的性质知，当且仅当时，取等号，
当且仅当时 ，取等号，当且仅当时，取等号，
以上三式相加，得
所以，当且仅当时，取等号．
【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果．