四川省成都市实验外国语学校2020届高三数学模拟考试试题文.doc

四川省成都市实验外国语学校2020届高三数学模拟考试试题文四川省成都市实验外国语学校2020届高三数学模拟考试试题文年级：姓名：- 23 -四川省成都市实验外国语学校2020届高三数学模拟考试试题（三）文（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，则为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求函数的定义域化简集合的表示，求函数的值域化简集合的表示，最后利用交集的定义进行求解即可.【详解】因为，所以.故选：C【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了求函数的定义域和值域，考查了数学运算能力.2.若复数z满足，则z的虚部为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】计算，利用复数除法运算得到答案.【详解】，故，故虚部为.故选：A.【点睛】本题考查了复数的模，复数的除法，复数的虚部，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.3.在平面直角坐标系中，已知角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先由角的终边过点，求出，再由二倍角公式，即可得出结果.【详解】解：因为角的顶点在坐标原点，始边与轴正半轴重合，终边经过点，所以，因此.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于基础题.4.周易是我国古代典籍，用“卦”描述了天地世间万象变化如图是一个八卦图，包含乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑八卦（每一卦由三个爻组成，其中“”表示一个阳爻，“”表示一个阴爻）若从含有两个及以上阳爻的卦中任取两卦，这两卦的六个爻中都恰有两个阳爻的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】基本事件总数为个，都恰有两个阳爻包含的基本事件个数为个，由此求出概率.【详解】解：由图可知，含有两个及以上阳爻的卦有巽、离、兑、乾四卦，取出两卦的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（巽，乾），（离，兑），（离，乾），（兑，乾）共个，其中符合条件的基本事件有（巽，离），（巽，兑），（离，兑）共个，所以，所求的概率.故选：B.【点睛】本题渗透传统文化，考查概率、计数原理等基本知识，考查抽象概括能力和应用意识，属于基础题5.下列判断正确的是（ ）A. 两圆锥曲线的离心率分别为，则“”是“两圆锥曲线均为椭圆”的充要条件B. 命题“若，则.”的否命题为“若，则.”C. 若命题“”为假命题，则命题“”是假命题D. 命题“，.的否定是“，.”【答案】D【解析】【分析】对于，取特值：，可知不正确；对于，只否定了结论，没有否定条件，故不正确；对于，命题与命题一个为真命题、一个为假命题时，可得命题“”是真命题，所以不正确；对于，根据命题的否定的概念，可知正确.【详解】对于，若两圆锥曲线均为椭圆，则，所以，所以“”是“两圆锥曲线均为椭圆”的必要条件，取，满足，此时一个圆锥曲线为椭圆，一个圆锥曲线为双曲线，所以“”不是“两圆锥曲线均为椭圆”的充分条件，故不正确；对于，命题“若，则.”的否命题为“若，则” ，故不正确；对于，若命题“”为假命题，则与至少有一个为假命题，当为假命题， 为真命题时，“”为真命题，故不正确；对于，命题“，.的否定是“，.”是正确的，故正确.故选：D.【点睛】本题考查了充要条件，考查了椭圆和双曲线的离心率，考查了命题的真假判断，考查了否命题和命题的否定，属于基础题.6.函数的部分图象大致是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后利用特殊点的函数值的符号进行排除即可.【详解】由题知,函数的定义域为,关于原点对称,且,所以是奇函数,所以排除C,D;又,所以排除A,故选：B.【点睛】本题主要考查函数图像的判断与识别，结合函数的奇偶性与特殊值的符号进行排除即可解决，属于中等题.7.在中，角，的对边分别是，且，则角的大小为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用正弦定理化边为角可得，再进一步化简求出即可得出角A【详解】，由正弦定理可得，即.，.，.选A【点睛】本题主要考查正弦定理及三角恒等变换，属中等难度题8.设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是( )A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】D【解析】【分析】利用线面平行的性质，面面垂直的性质与判定，即可得出结论【详解】解：由，是两条不同的直线，是两个不同的平面，知：在 中，若，则与相交、平行或异面，故错误；在中，若，则与平行或异面，故错误；在中，若，则与相交、平行或，故错误；在中，若，则由面面垂直的判断定理得，故正确故选：【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题9.若实数x，y满足约束条件，则的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解，即可求得目标函数的最值，得到答案.【详解】由题意，作出约束条件所表示的平面区域，如图所示，又由目标函数表示可行域内点与定点的连线的斜率，因为点恰好在直线上，结合图象，可得当点在线段时，能使得目标函数取得最大值，又由直线的斜率为1，所以最大值为.故选：A.【点睛】本题主要考查了线性规划的应用，其中解答中准确作出约束条件所表示的平面区域，结合图象确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合思想，以及运算能力.10.定义在上偶函数满足，且在1，0上单调递减，设，则、，大小关系是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由可求函数周期2，利用周期及偶函数可转化为在1，0上的函数值，利用单调性比较大小.【详解】偶函数满足，函数的周期为2.由于，.且函数在1，0上单调递减，.【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性及偶函数的性质，属于中档题.11.已知双曲线的左、右焦点分别为,是右支上的一点，与轴交于点 ，的内切圆在边上的切点为，若，则的离心率是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质，圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合离心率公式即可得到所求的值【详解】设的内切圆在边上的切点为，在上的切点为则，由双曲线的对称性可得：由双曲线的定义可得解得又，即有则离心率故选【点睛】本题考查了双曲线的离心率，结合了三角形内切球，由切线长定理和双曲线定义求出的值是本题的关键，综合性较强12.已知函数，其导函数为，则 的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】首先根据题意得到，为偶函数，再计算即可.【详解】因为，所以.又因，所以为偶函数. 所以.故选：C【点睛】本题主要考查求导公式，同时考查了函数的奇偶性，属于简单题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知向量，则向量在向量方向上的投影为_.【答案】【解析】【分析】根据，得在上的投影为，求出，代入投影的公式计算即可【详解】向量，在方向上的投影为，故答案为：【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标运算及几何意义，属于基础题14.函数f(x)x33ax23(a2)x1有极大值又有极小值，则a的范围是 【答案】【解析】【分析】将原问题转化为二次函数有两个不相等的实数根的问题，然后求解的取值范围即可.【详解】由题意可得：，若函数有极大值又有极小值，则一元二次方程有两个不同的实数根，即：，整理可得：整理可得：，据此可知的取值范围是或.【点睛】(1)可导函数yf(x)在点x0处取得极值的充要条件是f(x0)0，且在x0左侧与右侧f(x)的符号不同(2)若f(x)在(a，b)内有极值，那么f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值15.已知函数，其图象与直线的两个相邻交点的距离等于，则的单调递增区间为_【答案】【解析】函数，因为的图象与直线的两个相邻交点的距离等于，函数的周期，所以，所以，因为，解得，即函数的单调增区间为，故答案为. 16.已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：.已知点，则_；设点，则的值为_.【答案】 (1). 4 (2). 2【解析】【分析】（1）根据直线的方程，求出点，再利用焦半径公式，即可得答案；（2）根据，再利用抛物线的定义，即可得答案；【详解】（1），直线的方程为，与联立得：，解得：或，；（2）设准线与轴的交点为，于，故答案为：.【点睛】本题考查抛物线中线段比例的新定义题、抛物线的焦半径，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.设等差数列的前n项的和为，且，求：（1）求的通项公式；（2）求数列的前14项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由已知条件列出关于的方程组，求出可得到；（2）由通项公式先判断数列中项的正负，然后再化简数列中的项，即可求出结果.【详解】解：（1）设等差数列的公差为d，依题意得，解得，；（2），由得， .【点睛】此题考查等差数列的基本量计算，考查计算能力，属于基础题.18.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制如图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列. （1）求的值；（2）分析人员对100名调查对象性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列列联表，并判断是否有的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额与年龄进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程.已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少.（同一组数据用该区间的中点值代替）列联表 男性女性合计消费金额消费金额合计临界值表：0.0500.0100.0013.8416.63510.828，其中【答案】（1），（2）详见解析（3）395元【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图可得，结合可得的值. （2）根据表格数据可得，再根据临界值表可得有的把握认为消费金额与性别有关.（3）由频率分布直方图可得调查对象的周平均消费，从而得到，利用线性回归方程可计算年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额.【详解】（1）由频率分布直方图可知，由中间三组的人数成等差数列可知，可解得，（2）周平均消费不低于300元的频率为，因此100人中，周平均消费不低于300元的人数为人.所以列联表为男性女性合计消费金额204060消费金额251540合计4555100所以有的把握认为消费金额与性别有关.（3）调查对象的周平均消费为，由题意，.该名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为395元.【点睛】（1）频率分布直方图中，各矩形的面积之和为1，注意直方图中，各矩形的高是；（2）两类变量是否相关，应先计算值，再与临界值比较后可判断是否相关.（3）线性回归方程对应的直线必经过.19.如图1，在平行四边形中，为边的中点，以为折痕将折起，使点到达的位置，得到图2几何体（1）证明：；（2）当平面时，求三棱锥的体积【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）由已知条件和勾股定理可得，根据折叠的不变性可得，由线面垂直的判定和性质可得证；（2）由线面垂直的性质可得出平面，就是三棱锥的高，再运用等体积法可得出三棱锥的体积.【详解】（1）依题意，在中（图1），由余弦定理得，即在平行四边形中，以为折痕将折起，由翻折不变性得，在几何体中，又，平面，又平面，（2）平面，平面，由（1）得，同理可得平面，即平面，就是三棱锥的高又，因此，三棱锥的体积为【点睛】本题考查由平面图形折叠成空间几何体中的线面关系，以及三棱锥的体积的求解，属于中档题.20.已知椭圆E的左右焦点分别是、，且经过点.（1）求椭圆E的标准方程：（2）设AC，BD是过椭圆E中心且相互垂直的椭圆E的两条弦，问是否存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆?若存在，求圆G的方程，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义，求出，得到椭圆的标准方程；（2）先分析与轴垂直时，得到圆为四边形ABCD的内切圆，再当与轴不垂直时，设BC的方程为，与椭圆联立，得到根与系数的关系，再由，得到的关系式，再分析原点到的距离为定值，再理可得，O到直线AB，直线CD，直线AD的距离都是，知存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆，并求得内切圆的方程.【详解】（1）设椭圆E的标准方程是，由椭圆的定义可知，所以，所以，因为，所以，故椭圆E的标准方程为.（2）若BC与x轴垂直，则AB与x轴平行，此时四边形ABCD为正方形，所以圆为四边形ABCD的内切圆.若BC与x轴不垂直，则AB与x轴不平行，设直线BC的斜率为k，直线BC的方程为，与椭圆E的交点为，由，得，所以，因为，所以，即，所以，圆心O到直线BC的距离为，同理可证圆心O到直线AB，直线CD，直线AD的距离都是， 所以四边形ABCD的内切圆G的方程为;综上所述，存在定圆G，使得G为四边形ABCD的内切圆，内切圆的方程为.【点睛】本题考查了椭圆定义求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离，还考查了设而不解，联立方程组，根与每每的关系等基本技巧，考查了学生的逻辑推理、直观想象与数学运算等数学核心素养，难度较大.21.已知函数，其中，e为自然对数的底数.(1)若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；(2)若，且存在两个极值点，求证：【答案】(1) ；(2)见解析.【解析】【分析】(1)由已知可得 ，只需对与0的大小关系分类讨论，确定函数的单调性，从而确定函数的最小值，即可求出实数a的取值范围；(2)根据，是的根，可得与的关系及其范围，进而可将用含有的式子表示，构造函数即可证出.【详解】(1)若，则，所以，因为，所以当，即时，所以函数在上单调递增，所以，符合题意；当，即时，时，；时，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意，综上：实数a的取值范围为.(2) 若，则，所以，因为存在两个极值点，所以，所以，令，得，所以是方程的两个根，所以，且，不妨设，则，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，又，所以.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.22.己知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线C和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l交曲线C于A，B两点，交x轴于点P，求的值.【答案】（1）C：；l：；（2）8.【解析】【分析】直接利用转换关系，把参数方程、极坐标方程化为直角坐标方程.将直线的参数方程与双曲线的方程联立，利用参数的几何意义得出答案.【详解】解：（1）曲线C的参数方程为（为参数），转化为直角坐标方程为，直线l的极坐标方程，直角坐标方程为：.（2）由于直线与x轴的交点坐标为，所以直线的参数方程为(为参数)，代入得到：，所以：，则：.【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程之间的转换，同时考查直线参数的意义，考查了学生的运算能力和转换能力，属于基础题.23.已知，均为正实数，求证：（1）；（2）若，则.【答案】证明过程详见解析【解析】【分析】将求证的不等式进行化简，经历移项、提取公因式、配方后，要证明其成立只需要证明化简后的不等式成立由基本不等式可得，同理可得另外两个也是成立，结合已知条件即可求证结果【详解】证明：(1)要证，可证，需证，即证，当且仅当时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式成立(2)因为均为正实数，由不等式的性质知，当且仅当时，取等号，当且仅当时 ，取等号，当且仅当时，取等号，以上三式相加，得所以，当且仅当时，取等号【点睛】本题考查了不等式的证明问题，在求解过程中可以运用基本不等式、对要证明的不等式进行化简等方法来求证，关键是要灵活运用基本不等式等方法求证结果