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第九章第九章相相量量法法第九章相量法第九章相量法 教学重点教学重点1.了了解解复复数数的的各各种种表表达达式式和和相相互互转转换换关关系系，掌掌握握复复数数的的四四则运算。则运算。2.掌掌握握正正弦弦量量的的复复数数表表示示法法，以以及及复复数数(相相量量)形形式式的的欧欧姆姆定律。定律。3.掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。掌握运用相量法分析计算阻抗串、并联的正弦交流电路。教学难点教学难点1掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。掌握复数的四则运算以及各种表达式之间的相互转换。2掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。掌握运用相量法分析计算正弦交流电路。学时分配学时分配序号序号内内容容学时学时1第一节复数的概念第一节复数的概念12第二节复数的四则运算第二节复数的四则运算13第三节正弦量的复数表示法第三节正弦量的复数表示法14第四节复数形式的欧姆定律第四节复数形式的欧姆定律25第五节第五节复阻抗的连接复阻抗的连接26本章小结本章小结17本章总学时本章总学时8第九章相量法第九章相量法第一节复数的概念第一节复数的概念第二节复数的四则运算第二节复数的四则运算第三节正弦量的复数表示法第三节正弦量的复数表示法第四节复数形式的欧姆定律第四节复数形式的欧姆定律第五节复阻抗的连接第五节复阻抗的连接本章小结本章小结第一节复数的概念第一节复数的概念一、虚数单位一、虚数单位二、复数的表达式二、复数的表达式一、虚数单位一、虚数单位图图9-1在复平面上表示复数在复平面上表示复数参参见见图图9-1给给出出的的直直角角坐坐标标系系复复数数平平面面。在在这这个个复复数数平平面面上定义上定义虚数单位虚数单位为为即即j2=1，j3=j，j4=1。虚数单位虚数单位j又叫做又叫做90 旋转因子旋转因子。二、复数的表达式二、复数的表达式图图9-1在复平面上表示复数在复平面上表示复数一个复数一个复数Z 有以下四种表达式。有以下四种表达式。1直角坐标式直角坐标式(代数式代数式)Z=a+jb式中，式中，a 叫做复数叫做复数Z 的的实部实部，b 叫做复数叫做复数Z 的的虚部虚部。在在直直角角坐坐标标系系中中，以以横横坐坐标标为为实实数数轴轴，纵纵坐坐标标为为虚虚数数轴轴，这这样样构构成成的的平平面面叫叫做做复复平平面面。任任意意一一个个复复数数都都可可以以在在复复平平面面上上表表示示出出来来。例例如如复复数数A=3+j2在在复复平平面上的表示面上的表示如图如图9-1所示。所示。图图 9-1在复平面上表示复数在复平面上表示复数2三角函数式三角函数式在图在图9-1中，复数中，复数Z 与与x 轴的夹角为轴的夹角为，因此可以写成，因此可以写成Z=a+jb=|Z|(cos jsin)式中式中|Z|叫做复数叫做复数Z 的的模模，又称为，又称为Z 的的绝对值绝对值，也可用，也可用r 表示，表示，即即 叫作复数叫作复数Z 的的辐角辐角，从图，从图9-1中可以看出中可以看出复数复数Z 的实部的实部a、虚部、虚部b 与模与模|Z|构成一个直角三角形。构成一个直角三角形。3指数式指数式利利用用欧欧拉拉公公式式，可可以以把把三三角角函函数数式式的的复复数数改改写写成成指指数数式式，即即Z=|Z|(cos jsin)=|Z|ej 4极坐标式极坐标式(相量式相量式)复数的指数式还可以改写成极坐标式，即复数的指数式还可以改写成极坐标式，即Z=|Z|/以以上上这这四四种种表表达达式式是是可可以以相相互互转转换换的的，即即可可以以从从任任一一个个式式子导出其他三种式子。子导出其他三种式子。【例例9-1】将下列复数改写成极坐标式：将下列复数改写成极坐标式：(1)Z1=2；(2)Z2=j5；(3)Z3=j9；(4)Z4=10；(5)Z5=3 j4；(6)Z6=8 j6(7)Z7=6 j8；(8)Z8=8 j6。(2)Z2=j5=5/90(j代代表表90 旋旋转转因因子子，即即将将“5”逆逆时时针针旋旋90)(3)Z3=j9=9/90(j代代表表 90 旋旋转转因因子子，即即将将“9”作顺作顺时针旋转时针旋转90)(4)Z4=10=10/180 或或10/180(“”号代表号代表 180)(1)Z1=2=2/0 解解：利利用用关关系系式式Z=a+jb=|Z|/，=arctan，计算如下：，计算如下：(5)Z5=3+j4=5/53.1(6)Z6=8 j6=10/36.9(7)Z7=6+j8=(6 j8)=(10/53.1)=10/18053.1=10/126.9(8)Z8=8 j6=(8+j6)=(10/36.9)=10/180+36.9=10/143.1。解：利用关系式解：利用关系式Z=|Z|/=|Z|(cos+jsin )=a+jb 计算：计算：【例例9-2】将下列复数改写成代数式将下列复数改写成代数式(直角坐标式直角坐标式)：(1)Z1=20/53.1；(2)Z2=10/36.9；(3)Z3=50/120；(4)Z4=8/120。(1)Z1=20/53.1=20(cos53.1+jsin53.1)=20(0.6+j0.8)=12+j16(2)Z2=10/36.9=10(cos36.9 jsin36.9)=10(0.8 j0.6)=8 j6(3)Z3=50/120=50(cos120+jsin120)=50(0.5+j0.866)=25+j43.3(4)Z4=8/120=8(cos120 jsin120)=8(0.5 0.866)=4 j6.928第二节复数的四则运算第二节复数的四则运算设设Z1=a+jb=|Z1|/，Z2=c+jd=|Z2|/，复复数数的的运运算算规则为规则为1加减法加减法Z1 Z2=(a c)+j(b d)2乘法乘法Z1Z2=|Z1|Z2|/+3除法除法/4乘方乘方/n【例例9-3】已知已知Z1=8 j6，Z2=3 j4试求：试求：(1)Z1 Z2；(2)Z1 Z2；(3)Z1Z2；(4)Z1/Z2。解：解：(1)Z1+Z2=(8 j6)+(3+j4)=11 j2=11.18/10.3(2)Z1 Z2=(8 j6)(3 j4)=5 j10=11.18/63.4(3)Z1Z2=(10/36.9)(5/53.1)=50/16.2(4)Z1/Z2=(10/36.9)(5/53.1)=2/90 第三节正弦量的复数表示法第三节正弦量的复数表示法正正弦弦量量可可以以用用复复数数表表示示，即即可可用用最最大大值值相相量量或或有有效效值值相相量量表表示示，但但通通常常用用有有效效值值相相量量表表示示。其其表表示示方方法法是是用用正正弦弦量量的的有有效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。效值作为复数相量的模、用初相角作为复数相量的辐角。正弦正弦电流电流i=Imsin(t i)的相量表达式为的相量表达式为I/i正弦电压正弦电压u=Umsin(t u)的相量表达式为的相量表达式为=U/u【例例9-4】把正弦量把正弦量u=311sin(314t 30)V，i=4.24sin(314t 45)A用相量表示。用相量表示。解解：(1)正正弦弦电电压压u 的的有有效效值值为为U=0.7071 311=220V，初相，初相 u=30，所以它的相量为，所以它的相量为=U/u=220/30 V(2)正正弦弦电电流流I 的的有有效效值值为为I=0.7071 4.24=3A，初初相相 i=45，所以它的相量为，所以它的相量为=I/i=3/45 A解解:u=sin(t 37)V，i=5sin(t+60)A。【例例9-5】把把下下列列正正弦弦相相量量用用三三角角函函数数的的瞬瞬时时值值表表达达示示，设角频率均为设角频率均为：(1)=120/37 V；(2)=5/60 A。解：首先用复数相量表示正弦量解：首先用复数相量表示正弦量i1、i2，即，即I1=3/30 A=3(cos30+jsin30)=2.598 j1.5AI2=4/60 A=4(cos60 jsin60)=2 j3.464A然后作复数加法：然后作复数加法：I1+I2=4.598 j1.964=5/23.1 A最后将结果还原成正弦量：最后将结果还原成正弦量：i1 i2=sin(t 23.1)A【例例9-6】已知已知i1=sin(t 30)A，i2=4sin(t 60)A。试求：试求：i1 i2。第四节复数形式的欧姆定律第四节复数形式的欧姆定律一、复数形式的欧姆定律一、复数形式的欧姆定律二、电阻、电感和电容的复阻抗二、电阻、电感和电容的复阻抗一、复数形式的欧姆定律一、复数形式的欧姆定律定义定义复阻抗复阻抗为为|Z|/其中其中为阻抗大小，为阻抗大小，=u i 为为阻抗角阻抗角，即，即电压电压u与电流与电流i 的相位差的相位差。则复数形式的欧姆定律为。则复数形式的欧姆定律为图图9-2复数形式的欧姆定律复数形式的欧姆定律图图9-2所示为复数形式的欧姆定所示为复数形式的欧姆定律的示意图。律的示意图。二、电阻、电感和电容的复阻抗二、电阻、电感和电容的复阻抗1电阻电阻R 的复阻抗的复阻抗ZR=R=R/0 2电感电感L 的复阻抗的复阻抗ZL=XL/90=jXL=j L3电容电容C 的复阻抗的复阻抗ZC=XC/90=j XC=第五节复阻抗的连接第五节复阻抗的连接一、阻抗的串联一、阻抗的串联二、阻抗的并联二、阻抗的并联一、阻抗的串联一、阻抗的串联图图 9-3阻抗串联电路阻抗串联电路如图如图9-3所示阻抗串联电路。所示阻抗串联电路。n 个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗个复阻抗串联可以等效成一个复阻抗Z=Z1+Z2+Zn例如例如RLC 串联电路可以等效一只阻抗串联电路可以等效一只阻抗Z，根据，根据ZR=R，ZL=jXL，ZC=jXC，则，则即即Z=|Z|/其中电抗其中电抗X=XL XC，阻抗大小为，阻抗大小为 为阻抗角，代表路端电压为阻抗角，代表路端电压u 与电流与电流i 的相位差，即的相位差，即【例例9-7】在在RL 串联电路中，已知：串联电路中，已知：R=3，L=12.7mH，设外加工频电压，设外加工频电压sin(314t 30)V。试求：电阻和电感上的电压瞬时值试求：电阻和电感上的电压瞬时值uR、uL。解解：等等效效复复阻阻抗抗Z=ZR+ZL=R+jXL=R+j L=3+j4=5/53.1 ，其中，其中XL=4，正弦交流电压，正弦交流电压u 的相量为的相量为220/30 V。电路中电流相量为。电路中电流相量为/30 53.1 =44/23.1 A电阻上的电压相量和瞬时值分别为电阻上的电压相量和瞬时值分别为132/23.1 V电感上的电压相量和瞬时值分别为电感上的电压相量和瞬时值分别为176/90 23.1=176/66.9 V二、阻抗的并联二、阻抗的并联阻抗并联电路如图阻抗并联电路如图9-4所示。所示。图图9-4阻抗串联电路阻抗串联电路n 只只阻阻抗抗Z1、Z2、Zn 并并联联电电路路，对对电电源源来来说说可可以以等效为一只阻抗，即等效为一只阻抗，即即等效复阻抗即等效复阻抗Z的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。的倒数，等于各个复阻抗的倒数之和。为为便便于于表表达达阻阻抗抗并并联联电电路路，定定义义复复阻阻抗抗Z 的的倒倒数数叫叫做做复导纳复导纳，用符号，用符号Y 表示，即表示，即导纳导纳Y 的单位为西门子的单位为西门子(S)。于是有。于是有Y=Y1+Y2+Yn即几只并联导纳的等效导纳即几只并联导纳的等效导纳Y 等于所有导纳之和。等于所有导纳之和。欧姆定律的相量形式为欧姆定律的相量形式为【例例9-8】两两个个复复阻阻抗抗分分别别是是Z1=(10 j20)，Z2=(10 j10)，并并联联后后接接在在的的交交流流电电源源上上，试试求：电路中的总电流求：电路中的总电流I 和它的瞬时值表达式和它的瞬时值表达式i。解：由解：由Z1=(10+j20)可得可得由由Z2=(10 j10)可得可得即即Z1=10+j20=22.36/63.4 ，Z2=10 j10=14.14/45 由由可得并联后的等效复阻抗为可得并联后的等效复阻抗为于是总电流的相量于是总电流的相量即即I=15.6A。总电流瞬时值表达式为。总电流瞬时值表达式为本章小结本章小结本本章章学学习习了了应应用用复复数数相相量量法法表表示示正正弦弦交交流流电电压压、电电流流、阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。阻抗，并运用相量法分析计算阻抗串联与并联电路。一、复数及其运算法则一、复数及其运算法则二、正弦量的复数表示法二、正弦量的复数表示法三、欧姆定律与复阻抗三、欧姆定律与复阻抗一、复数及其运算法则一、复数及其运算法则1复数的表达式复数的表达式(1)直角坐标式直角坐标式(代数式代数式)：Z=a+jb(2)三角函数式：三角函数式：(3)指数式：指数式：Z=|Z|ej(4)极坐标式极坐标式(相量式相量式)：Z=|Z|/2复数的运算法则复数的运算法则设设Z1=a+jb=|Z1|/，Z2=c+jd=|Z1|/(1)加减法：加减法：Z1 Z2=(a c)j(b d)(2)乘法：乘法：Z1Z2=|Z1|/|Z2|/=|Z1|Z2|/(3)除法：除法：/(4)乘方：乘方：/n 二、正弦量的复数表示法二、正弦量的复数表示法正弦交流正弦交流电流电流i=Imsin(t i)的相量表达式为的相量表达式为I/i正弦交流电压正弦交流电压u=Umsin(t u)的相量表达式为的相量表达式为U/u三、欧姆定律与复阻抗三、欧姆定律与复阻抗1复数形式的欧姆定律复数形式的欧姆定律2电阻电阻R 的复阻抗的复阻抗ZR=R=R/0 3电感电感L 的复阻抗的复阻抗ZL=XL/90=j XL=j L4电容电容C 的复阻抗的复阻抗ZC=XC/90=j XC=5阻抗的串联阻抗的串联n 个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗个复阻抗串联可以等效为一只复阻抗Z=Z1+Z2+Zn6阻抗的并联阻抗的并联n 只阻抗只阻抗Z1、Z2、Zn 并联可以等效为一只复阻抗并联可以等效为一只复阻抗Z定义复阻抗定义复阻抗Z 的倒数叫做的倒数叫做复导纳复导纳，用符号，用符号Y 表示，即表示，即于是于是Y=Y1+Y2+Yn