垂直于弦的直径-优秀教案.doc

24．1．2 垂直于圆的直径
授课题目：垂直于圆的直径 课型：新授课
授课对象：九年级学生 授课学时：1课时 （45分钟）
参考教材：义务教育课程标准实验教材书数学九年级上册（人民教育出版社）
一、教材分析
1、作为《圆》这章的第一个重要性质，它研究的是垂直于弦的直径和这弦的关系。
2、该性质是圆的轴对称性的演绎，也是今后证明圆中线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时为后面圆的计算和作图提供了方法和依据，所以它在教材中处于非常重要的作用。
二、教学目标
1、知识目标：
（1）充分认识圆的轴对称性。
（2）利用轴对称探索垂直于弦的直径的有关性质，掌握垂径定理。
（3）运用垂径定理进行简单的证明、计算和作图。
2、能力目标：
让学生经历“实验—观察—猜想—验证—归纳”的研究过程，培养学生动
手实践、观察分析、归纳问题和解决问题的能力。
让每个学生动手、动口、动眼、动脑，培养学生直觉思维能力。
3、情感目标：
通过实验操作探索数学规律，激发学生的好奇心和求知欲，同时
培养学生勇于探索的精神。
三、教学关键
圆的轴对称性的理解
四、教学重点
垂直于弦的直径的性质及其应用。
五、教学难点
1、垂径定理的证明。
2、垂径定理的题设与结论的区分。
六、教学辅助
多媒体、可折叠的圆形纸板。
七、教学方法
本节课采用的教学方法是“主体探究式”。整堂课充分发挥教师的主导作用和学生的主体作用，注重学生探究能力的培养，鼓励学生认真观察、大胆猜想、小心求证。令学生参与到“实验--观察--猜想--验证--归纳”的活动中，与教师共同探究新知识最后得出定理。学生不再是知识的接受者，而是知识的发现者，是学习的主人。
八、教学过程：
教学环节
创设情境
回顾旧识
引入新课
揭示课题
师生互动
探求新知
概念辨析
运用新知
拓展升华
快速判定
归纳小结
分层作业
教学时间
3分钟
5分钟
9分钟
20分钟
4分钟
4分钟
教学环节
教师活动
学生活动
设计目的
情
景
创
设

情景创设（1分钟）

情景问题：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（ppt）
把一些实际问题转化为数学问题
思考：若用直角三角形解决，那么E是否为AB中点？

从实际出发，充分发现问题的存在，再带着问题去思考它们之间的关系，有助于定理的得出。

回
顾
旧
识

回顾旧识（2分钟）
我们已经学习过对称的有关概念，下面复习两道问题
1）什么是轴对称图形？
2）我们学习过的轴对称图形有哪些？
（电脑上直观的动画演示，运用几何画板演示沿上述图形对称轴对折图形的动画）
学生观察一些图形：
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。
如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形。
通过复习，强化学生本节课所需要的相关知识，为学生自主探索垂径定理做奠基。

引
入
新
课

引入新课（4分钟）
问：（1）我们所学的圆是不是轴对称图形？
（2）如果是，它的对称轴是什么？
拿出一张圆形纸片，沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？：
（1）圆是轴对称图形。
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）
（3）圆的对称轴有无穷多条

实验：把圆形纸片沿着圆的任意一条直径对折，重复做几次
观察：两部分重合，发现得出圆的对称性的结论
培养学生的动手能力，观察能力，通过比较，运用旧知识探索新问题
揭
示
课
题

揭示课题（1分钟）
电脑上用几何画板上作图：
（1）做一圆
(2) 在圆上任意作一条弦 AB；
(3) 过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E。

（板书课题：垂直于弦的直径）

在圆形纸片上作一条弦AB，过圆心作AB的垂线的直径CD且交AB于E

师
生
互
动
师生互动（4分钟）
运用几何画板展示直径与弦垂直相交时圆的翻折动画让学生观察，讨论
（1）图中圆可能会有哪些等量关系？
（2）弦AB与直径CD除垂直外还有什么性质？

实验：将圆沿直径CD对折
观察：图形重合部分，思考图中的等量关系
猜想： AE=EB、
弧AC=弧CB、
弧AD=弧DB
(电脑显示))垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧？

引导学生通过“实验--观察--猜想”，获得感性认识，猜测出垂直于弦的直径的性质
探
求
新
知
探求新知（5分钟）
提问：这个结论是同学们通过演示观察猜想出来的，结论是否正确还要从理论上证明它，下面我们试着来证明它
已知：CD是⊙O的直径，AB是弦，AB⊥CD
证明：AE=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB

（<板书及电脑显示>垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
<进一步也可推知>垂径定理的逆定理：平分弦的直径垂直于弦，并且垂直于弦所对的两条弧）

探索：
证明：连结OA、OB，则OA＝OB，又OE⊥AB
∴△OAE≌△OBE
则AE=BE
∴CD所在的直线垂直平分弦AB
当把⊙O沿着直径CD折叠时， A点和B点重合
所以E=EB、弧AC=弧CB、弧AD=弧DB
让学生自主探究，大胆求证猜想发展思维能力，归纳结果
概
念
辨
析
概念辨析（2分钟）
（电脑显示）练习1 AE=EB吗？

（1） （2） （3）
注意：直径，垂直于弦，缺一不可！
图（1）直径不垂直弦
图（2）垂直弦的不是直径
图（3）AB为弦，CD为直径，AB⊥CD满足垂径定理
运用定理变式练习揭示定理本质属性，强调垂径定理两个条件
运
用
新
知
运用新知（18分钟）
练习1：（5分钟）
一条排水管的截面如图所示。已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16。求截面圆心O到水面的距离。
在学生发表见解的情况下总结归纳：（1）圆中有关弦、半径的计算问题通常利用垂径定理来解决。（2）重要的辅助线：过圆心做弦的垂线构造直角三角形，结合垂径定理与解直角三角形的有关知识解题。
总结口诀：半径半弦弦心距，化为勾股最容易，另外加上弓形高，Ｒｔ三角形少不了

学生总结归纳解题思路，在练习本作，电脑显示
解：:作OC⊥AB于C,
由垂径定理得:
AC=BC= AB= ×16=8
由勾股定理得:

答:截面圆心O到水面的距离为6.

这是一道计算题，是垂径定理的简单应用，可调动学生积极性，让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，使其更深入地掌握定理的内涵，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。

练习2（5分钟）
（情景问题）赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？

（练习本做、电脑显示）
解：如图，设半径为R

在Ｒt⊿AOD中，由勾股定理，得

解得 R≈27.9（m）
答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m

练习上一结束后，返回情景问题，解决这道之前不能完成的题目，体会成功的乐趣，发展思维能力，富有成就感。
练习3：（3分钟）
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。
求证：AC＝BD。

注意：作辅助线
（学生识图、练习本做、电脑显示）
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E，则AE＝BE，CE＝DE。
AE－CE＝BE－DE。
所以，AC＝BD

这是证明线段相等的变式题，增强学生的识图能力，揭示解决问题的方法——过圆心向弦做垂线，利用垂径定理来解决一系列类似问题。

练习4（5分钟）
出示分层训练：
１．如图1，已知AB、CD是圆O的两条弦，OE、OF分别为AB、CD的弦心距，如果AB=CD，则可得出什么结论（至少写出两个）？并证明。
２．已知如图2：在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足。求证：四边形ADOE为正方形。
３．如图3，不过圆心的直线L交⊙O 于CD，AB是⊙O 直径。AE、BF分别垂直于L ，垂足是E、F。
⑴求证：CE=DF
⑵若AB与CD相交，⑴的结论还成立吗？
图1 图2 图3
全班同学分层完成，每组同学完成自己题目后可做高一层的题目
调整难度和梯度，让所有学生均有所收获，让学生充分认识到垂径定理是证明线段相等的依据。

拓展升华（3分钟）
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换或交换一条，命题是真命题吗？
（1）过圆心 （2）垂直于弦 （3）平分弦
（4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论

学生自主探证
通过问题，引导学生拓展思维，发现新目标
快
速
判
断
快速判断（1分钟）
（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧………………………………………..( )
（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心………………………………..( )
（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分……………………………………...( )
（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两
条弦………………………………………( )
（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（ ）

巩固拓展知识
归
纳
小
结
归纳小结(3分钟)
由学生小结，电脑显示
知识总结：
这节课我们主要学习了两个问题：一是圆的轴对称性（学生回答），它是理解和证明定理的关键；二是垂径定理（学生回答），它是这节课的重点要求大家分清楚定理的条件和结论，并熟练掌握定理的简单应用，还推知它的里定理。另外它的其他推论级应用我们下节课探讨。
讲评总结：
1学习垂径定理后，你认为应该注意哪些问题？
2应用垂径定理如何添辅助线？垂径定理有哪些应用
3这节课的学习你有什么疑问？
4这节课的学习方式拟喜欢吗？你有什么好的建议？
讲评回答
回顾这节课的内容，加深学生对知识的印象，反馈学生这节课收获节疑问，使教学效果得到提高
分
层
作
业
分层作业（1分钟）
1、.必做题:习题24.1—1,7,8
2.、选做题:习题24.1—13

作业题分层给出，调动学生学习积极性，提高学生思维的广度，培养学生良好的学习习惯及思维品质，让学有余力的学生进一步的提高
九、板书设计

（1）圆是轴对称图形。
（2）对称轴是过圆点的直线（或任何一条直径所在的直线）
（3）圆的对称轴有无穷多条
24.1.2 垂直于

垂径定理：
垂径定理逆定理：

弦的直径
垂径定理证明：
方法归纳：
技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线。
重要思路：
（由）垂径定理——构造Rt△——（结合）勾股定理——建立方程
构造Rt△的“七字口诀”：半径半弦弦心距

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