解三角形知识点及题型总结.doc

基础强化（8）——解三角形
1、①三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°-(A+B)；
②. 三角形三边关系：a+b>c; a-b<c
③.锐角三角形性质：若A>B>C则
2、三角形中的基本关系：

3、正弦定理：在中，、、分别为角、、的对边，为的外接圆的半径，则有．
4、正弦定理的变形公式：
①化角为边：，，；
②化边为角：，，；
③；
④=2R
5、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角. ②已知两角和其中一边的对角，求其他边角.(对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解的情况（一解、两解、三解）)
6、三角形面积公式：．=2R2sinAsinBsinC==
7、余弦定理：在中，有，，
．
8、余弦定理的推论：，，．
9、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和夹角，求其余的量。②已知三边求角
10、三角形的五心：
垂心——三角形的三边上的高相交于一点
重心——三角形三条中线的相交于一点
外心——三角形三边垂直平分线相交于一点
内心——三角形三内角的平分线相交于一点
旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点
11.仰角与俯角，方向角与方位角
题型一：求解斜三角形中的基本元素
指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．
例1. （1）在中，已知，，cm，解三角形．

（2）在．

（3）在．

（4）在△ABC中，已知，，，求和．

（5）在△ABC中，已知三边长，，，求三角形的最大内角．

1 .在中，，，，则 ．
2.在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．

题型二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．
例2．（1）在中，，则此三角形一定是（ ）
A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
（2）在中，若，则此三角形必是（ ）
A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形
（3）设的内角的对边分别为，若,则的形状是
A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.锐角三角形
1、在中，若则的形状是( )
A．直角三角形 B．等边三角形 C．不能确定 D．等腰三角形
2．在中，若, 则的形状为
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定
题型三：与面积有关问题
例3、已知向量 设函数 若函数的图象与的图象关于坐标原点对称．
(1)求函数在区间上的最大值，并求出此时x的值；
(2)在中，分别是角的对边，A为锐角，若
的面积为 求边a的长．

1.、在中，内角的对边分别为 已知
(1)求的值；(2)若 求的面积.

2.已知的周长为，且．
（I）求边的长；
（II）若的面积为，求角的度数．

题型之四：三角形中求值问题
1. 在中，所对的边长分别为，
设满足条件和，求和的值．

2．在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，，求的值。

3．在中，内角对边的边长分别是，已知，．
（Ⅰ）若的面积等于，求；
（Ⅱ）若，求的面积．

题型五：解三角形中的最值问题
例5. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，
（1） 求△ABC周长的取值范围
（2） 求△ABC面积的取值范围

1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 .
1）求角B的大小；(2)若，求b的取值范围

2．△在内角的对边分别为,已知.
(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,求△面积的最大值.

3.已知分别为的三个内角的对边，=2，且，则面积的最大值为 .

4. 设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=2bsinA.
（Ⅰ）求B的大小；（Ⅱ）求cosA+sinC的取值范围.

5.的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。

题型六：图形中的解三角形
例6. 如图，在中，是边上的点，且
，则的值为
A. B. C. D.
1.如图中,已知点在边上, ,
，则的长为___ __.
图1
A
B
C
D
题型七：正余弦定理解三角形的实际应用
（一）测量问题
1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。

（二）遇险问题
西
北
南
东
A
B
C
30°
15°
图2
2.某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北。若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？

（三）追击问题
3.如图3，甲船在A处，乙船在A处的南偏东45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，应沿什么方向，用多少h能尽快追上乙船？
图3
A
B
C
北
45°
15°