江苏省泰州市2020届高三数学下学期调研测试试题.doc

江苏省泰州市2020届高三数学下学期调研测试试题

江苏省泰州市2020届高三数学下学期调研测试试题

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- 26 -

江苏省泰州市2020届高三数学下学期调研测试试题（含解析）
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）
1.已知集合，，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用并集的定义可求得集合.
【详解】，，.
故答案为：.
【点睛】本题考查并集的计算，考查计算能力，属于基础题.
2.若实数、满足（是虚数单位），则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数相等建立方程组，求出、的值，进而可得出的值.
【详解】，，解得，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用复数相等求参数，考查计算能力，属于基础题.
3.如图是容量为的样本的频率分布直方图，则样本数据落在区间内的频数为_______．

【答案】
【解析】
【分析】
将样本数据落在区间内的频率乘以可得出结果.
【详解】由直方图可知，样本数据落在区间内的频率为，
因此，样本数据落在区间内的频数为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数，解题时要明确频率、频数与总容量之间的关系，考查计算能力，属于基础题.
4.根据如图所示的伪代码，可得输出的的值为_______．

【答案】
【解析】
【分析】
根据算法程序列举出算法的每一步，进而可得出输出的的值.
【详解】成立，，；
成立，，；
不成立，跳出循环体，输出值为.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用算法程序计算输出的值，一般要求将算法的每一步计算出来，考查计算能力，属于基础题.
5.双曲线的一条渐近线方程为，则离心率等于___.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线方程得渐近线方程，再根据条件得＝2，最后得离心率.
【详解】双曲线的渐近线方程为：，
所以，＝2，
离心率为：．
【点睛】本题考查双曲线渐近线方程以及离心率，考查基本分析求解能力，属基础题.
6.将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有、、、、、个点的正方体玩具）先后抛掷次，这两次出现向上的点数分别记为、，则的概率是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
计算出基本事件总数，列举出事件“”所包含的基本事件，然后利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.
【详解】将一颗质地均匀的骰子先后抛掷次，基本事件总数为，
其中，事件“”所包含的基本事件有：、、、、、、、、、，共种情况，
因此，所求事件的概率为.
故答案为：.
【点睛】本题考查古典概型概率的计算，考查计算能力，属于基础题.
7.在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离是它到轴距离的倍，则点的横坐标为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设点的坐标为，根据抛物线的定义可得出关于的方程，解出的值即可得解.
【详解】设点的坐标为，则，抛物线的准线方程为，
由于点到焦点的距离是它到轴距离的倍，则，解得.
因此，点的横坐标为.
故答案为：.
【点睛】本题考查抛物线上点的坐标的求解，考查了抛物线定义的应用，考查计算能力，属于基础题.
8.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关……”其大意为：“某人从距离关口三百七十八里处出发，第一天走得轻快有力，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程为前一天的一半，共走了六天到达关口……” 那么该人第一天走的路程为______________
【答案】192
【解析】
【分析】
根据题意，记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比为的等比数列，又由6天走完378里，利用求和公式即可得出．
【详解】根据题意，记每天走的路程里数为{an}，可知{an}是公比为的等比数列，
又由6天走完378里，
则S6378，
解可得：a1＝192，
即该人第一天走的路程为192里．
故答案为192里．
【点睛】本题考查了等比数列求和公式的应用，考查了推理能力与计算能力，注重了数学文化的考查，属于基础题．
9.若定义在上的奇函数满足，，则的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
利用函数的周期性和奇偶性分别求出、、的值，进而可得出结果.
【详解】由于定义在上的奇函数满足，则该函数是周期为的周期函数，且，
则，，，
又，，则，
因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的周期性和奇偶性求函数值，考查计算能力，属于中等题.
10.将半径为的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，若圆锥的体积为，则_______．
【答案】
【解析】
【分析】
设圆锥的底面半径为，根据半圆弧长等于圆锥底面圆的周长可得出与的等量关系，并求出圆锥的高，得出圆锥的体积，由此可求得的值.
【详解】设圆锥的底面半径为，由于半圆弧长等于圆锥底面圆的周长，则，，
圆锥的高为，
则圆锥的体积为，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查由圆锥的体积求参数，考查计算能力，属于中等题.
11.若函数只有一个零点，则实数的取值范围为_______.
【答案】
【解析】
【分析】
分、、三种情况讨论，结合函数只有一个零点得出关于实数的不等式（组），即可求得实数的取值范围.
【详解】函数的零点为.
①当时，函数在区间上无零点，
则函数在区间上有零点，可得，解得，此时；
②当时，函数在区间上有零点，
则函数在区间上无零点，则，解得，此时；
③当时，函数在区间上的零点为，不合乎题意.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数，解答的关键就是对参数进行分类讨论，考查运算求解能力，属于中等题.
12.在平面直角坐标系中，已知点、在圆上，且满足，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】
【分析】
求得，设点、，设，可得出，然后利用三角恒等变换思想结合正弦函数有界性可求得的最小值.
【详解】由题意可得、，，
所以，，，，
设点、，
设，则，
所以，，
为锐角，且，
因此，的最小值.
故答案为：.
【点睛】本题考查代数式最值的计算，考查了平面向量数量积的应用，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
13.在锐角中，点、、分别在边、、上，若，，且，，则实数的值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
将表示为，由题意得知与不垂直，由可得出，进而可求得实数的值.
【详解】如下图所示：

，，，，
，
是锐角三角形，则与不垂直，即，
，，
则，
即，
，，因此，.
故答案为：.
【点睛】本题考查利用平面向量数量积求参数，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.
14.在中，点在边上，且满足，，则的取值范围为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
作出图形，由得出，利用正弦定理和三角恒等变换思想得出，然后利用不等式的性质和基本不等式可求得的取值范围.
【详解】如下图所示：

，，
，，，且为锐角，
在中，，
另一方面，
当且仅当时，等号成立，
因此，的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题考查三角形中边长比值的取值范围的计算，考查了正弦定理、两角和与差的正弦公式以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中等题.
二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15.如图，在三棱锥中，平面，，点、、分別是、、的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用中位线的性质得出，然后利用线面平行的判定定理可证得平面；
（2）证明出，，利用线面垂直的判定定理可证得平面，再利用面面垂直的判定定理可得出平面平面．
【详解】（1）在中，因为、分别是、中点，所以，
因为平面，平面，所以平面；
（2）因为平面，平面，所以，
在中，因为，是的中点，所以，
因为，所以，
又因为，平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
【点睛】本题考查线面平行和面面垂直的证明，考查推理能力，属于中等题.
16.已知函数，．
（1）求函数的最大值，并写出相应的的取值集合；
（2）若，，求的值．
【答案】（1）的最大值为，此时的取值集合为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用三角恒等变换思想化简函数的解析式为，可得出函数的最大值，解方程可得出对应的的取值集合；
（2）由得出，利用同角三角函数的基本关系求得的值，然后利用两角和的正弦公式可求得的值.
【详解】（1）因为
，
当，即时，函数取最大值，
所以函数的最大值为，此时的取值集合为；
（2）因为，则，即，
因为，所以，
则，
所以.
【点睛】本题考查正弦型函数最值的求解，同时也考查了利用两角和的正弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.
17.某温泉度假村拟以泉眼为圆心建造一个半径为米的圆形温泉池，如图所示，、是圆上关于直径对称的两点，以为圆心，为半径的圆与圆的弦、分别交于点、，其中四边形为温泉区，I、II区域为池外休息区，III、IV区域为池内休息区，设．

（1）当时，求池内休息区的总面积（III和IV两个部分面积的和）；
（2）当池内休息区的总面积最大时，求的长．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）计算出、的长，利用三角形的面积公式可求得III和IV两个部分面积的和；
（2）将、用含的代数式表示出来，可得出池内休息区的总面积关于的函数表达式，令，利用导数求出的最大值，并求出对应的的值，由此可求得的长.
【详解】（1）在中，因为，，所以，，
所以池内休息区总面积；
（2）在中，因为，，
所以，，
，由，得，
则池内休息区总面积，；
设，，
因为，
又，所以，使得，
则当时，在上单调增，
当时，在上单调递减，
即是极大值，也是最大值，所以，此时．
【点睛】本题考查导数的实际应用，涉及三角函数的应用，解答的关键就是求出函数解析式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
18.如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左顶点为，过点的直线与椭圆交于轴上方一点，以为边作矩形，其中直线过原点．当点为椭圆的上顶点时，的面积为，且．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）求矩形面积的最大值；
（3）矩形能否为正方形？请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）为正方形，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出椭圆的标准方程；
（2）设直线的方程为，其中，将直线的方程与椭圆的方程联立，求出点的坐标，利用两点间的距离公式求出，并求出，可得出四边形的面积关于的表达式，然后利用基本不等式可求得的最大值；
（3）由四边形为正方形得出，可得出，构造函数，利用零点存在定理来说明函数在时有零点，进而说明四边形能成为正方形.
【详解】（1）由题意：，解得，，
所以椭圆的标准方程为；
（2）显然直线的斜率存在，设为且，则直线的方程为，即，
联立得，
解得，，所以，
直线的方程为，即，所以，
所以矩形面积，
所以当且仅当时，矩形面积取最大值为；
（3）若矩形为正方形，则，即，则，
令，
因为，，又的图象不间断，
所以有零点，所以存在矩形为正方形.
【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了四边形面积最值的计算，以及动点问题的求解，考查运算求解能力，属于中等题.
19.定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”．
（1）判断函数是否为“函数”，并说明理由；
（2）若函数是“函数”，求实数的取值范围；
（3）已知，，、，求证：当，且时，函数是“函数”．
【答案】（1）是“函数”，理由见解析；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用导数求出函数的极大值，结合题中定义判断即可；
（2）分和两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用题中定义得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围；
（3）求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，设函数的极值点分别为、，可知、是方程的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数的极大值为负数，由此可证得结论.
【详解】（1）函数是“函数”，理由如下：
因为，则，
当时，；当时，，
所以函数的极大值，故函数是“函数”；
（2）函数的定义域为，.
当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意；
当时，当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以函数的极大值为，
易知，解得，
因此，实数的取值范围是；
（3） ，因为，，则，
所以有两个不等实根，设为、，
因为，所以，，不妨设，
当时，，则函数单调递增；
当时，，则函数单调递减.
所以函数的极大值为，
由得，
因为，，
所以
．
所以函数是“函数”．
【点睛】本题考查函数的新定义“函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
20.已知数列、、满足，．
（1）若数列是等比数列，试判断数列是否为等比数列，并说明理由；
（2）若恰好是一个等差数列的前项和，求证：数列是等差数列；
（3）若数列是各项均为正数的等比数列，数列是等差数列，求证：数列是等差数列．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）见解析；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）设等比数列的公比为，分和两种情况讨论，结合等比数列的定义判断即可；
（2）设是公差为的等差数列的前项和，推导出，由推导出，进而可证得结论成立；
（3）利用数列是等差数列结合推导出，再结合数列是等比数列，推导出，由数列是等差数列得出，推导出，并将代入化简得，从而可证明出数列是等差数列.
【详解】（1）设等比数列的公比为，则，
当时，，数列不是等比数列；
当时，因为，所以，所以数列是等比数列；
（2）因为恰好是一个等差数列的前项和，设这个等差数列为，公差为，
因，所以，
两式相减得，
因为，
所以，
所以数列是等差数列；
（3）因为数列是等差数列，所以，
又因为，所以，
即 ，则，
又因为数列是等比数列，所以，则，
即，
因为数列各项均为正数，所以，
则，即，
又因为数列是等差数列，所以，
即，化简得，
将代入得，化简得，
所以数列是等差数列．
【点睛】本题考查等差数列和等比数列证明，考查了等差、等比中项法以及等差、等比数列定义的应用，考查推理能力，属于中等题.
21.已知列向量在矩阵对应的变换下得到列向量，求．
【答案】
【解析】
【分析】
利用列出方程组求出、的值，求出矩阵的逆矩阵，利用矩阵的乘法可求得矩阵.
【详解】因为，所以，解得，
设，则，
即，解得， 所以，
所以.
【点睛】本题考查矩阵的变换，同时也考查了逆矩阵的求解以及矩阵乘法的应用，考查计算能力，属于中等题.
22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，点为曲线上任一点，求点到直线距离的最大值．
【答案】
【解析】
【分析】
将直线的极坐标方程化为普通方程，设点，利用点到直线的距离公式结合正弦型函数的有界性可求得点到直线距离的最大值．
【详解】由题：直线方程即为，
由，得直线的直角坐标方程为，
设点的坐标为，
点到直线的距离，
当，即时，取得最大值，
此时点的坐标为.
【点睛】本题考查利用椭圆的参数方程求点到直线距离的最值，同时也考查了三角恒等变换思想的应用，考查计算能力，属于中等题.
23.已知实数、、满足，，，，求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】
利用柯西不等式证明出，由此可证明出.
【详解】由柯西不等式，得
，
所以．
【点睛】本题考查利用柯西不等式证明不等式，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查推理能力，属于中等题.
【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
24.如图，在多面体中，平面平面，四边形是边长为的正方形，是等腰直角三角形，且，平面，．

（1）求异面直线和所成角的余弦值；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）利用面面垂直的性质定理证明出平面，然后以为坐标原点，为一组基底建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求出异面直线和所成角的余弦值；
（2）求出平面和的法向量，然后利用空间向量法可求出二面角的余弦值．
【详解】（1），即，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
由于四边形为边长为的正方形, 所以、、两两互相垂直．
以为坐标原点，为一组基底建立如图所示的空间直角坐标系.

平面且，
、、、、、，
，，则，
所以和所成角的余弦值为；
（2），，设平面的一个法向量为，
由，取，得，
平面的一个法向量为，，
由二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
【点睛】本题考查利用空间向量法计算异面直线所成角和二面角的余弦值，解答的关键就是建立合适的空间直角坐标系，考查计算能力，属于中等题.
25.给定个不同的数、、、、，它的某一个排列的前项和为，该排列中满足的的最大值为．记这个不同数的所有排列对应的之和为．
（1）若，求；
（2）若，.
①证明：对任意的排列，都不存在使得；
②求（用表示）．
【答案】（1）；（2）①见解析；②.
【解析】
【分析】
（1）列出、、的所有排列，求出个排列中的值，进而可求得的值；
（2）①设个不同数的某一个排列为、、、，求得为奇数，再由为偶数可得出结论；
②由题意可得出，可得出且，考虑排列的对应倒序排列，推导出，由此可得出，再由、、、、这个不同数可形成个对应组合，进而可求得的值.
【详解】（1）、、的所有排列为、、；、、；、、；、、；、、；、、.
因为，所以对应的分别为、、、、、，所以；
（2）（i）设个不同数的某一个排列为、、、，
因为，，所以为奇数，
而为偶数，所以不存在使得
（ii）因为，即，
又由（i）知不存在使得，
所以；
所以满足的最大下标即满足①，
且②，
考虑排列的对应倒序排列、、、，
①②即，，
由题意知，则；
又、、、、这个不同数共有个不同的排列，可以构成个对应组合，
且每组中，所以．
【点睛】本题考查数列中的新定义，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题.