考研微分方程知识归纳.doc

(完整word版)考研微分方程知识归纳
微分方程部分
重点内容
1、变量可分离的微分方程
（1）形式 或
（2）通解 或
2、齐次方程
（1）形式 或
（2）通解 （令，则，）或
（令，则，）
3、一阶线性微分方程
（1）形式
（2）通解
4、可降阶的高阶微分方程
（1），其中为已知函数
积分次可得其通解
（2）（不显含）
令，则。于是，原方程可化为
（一阶）①
设①的通解为，即
（一阶）②
由②可得通解

（3）（不显含）
令，则。于是，原方程可化为
（一阶）①
设①的通解为，即
（一阶）②
由②可得通解

5、二阶线性微分方程
（1）形式
非齐次 （1）
齐次 （2）
（2）解的结构
定理1 若为（2）的两个解，则为（2）的解。
定理2 若为（2）的两个线性无关的解，则为（2）的通解。 线性无关常数。
定理3 若为（1）的两个解，则为（2）的解。
定理4 若为（2）的解，为（1）的解，则为（1）的解。
定理5 若为（2）的通解，为（1）的一个特解解，则（1）通解为
6、二阶常系数线性微分方程
二阶常系数齐次线性微分方程
（为常数）
的通解：特征方程的判别式
（，有两相异实根）
（，有两相等实根）
（，有一对共轭复根）
二阶常系数非齐次线性微分方程
（为常数，为已知函数，称为自由项）
特解的表示：
（1）若（其中为次多项式），则可设特解

其中为（系数待定的）次多项式，
注意 当即时，也要考虑其是否为特征根！
（2）若或，则可设特解

其中为（待定）常数，
（3）若，且为

的特解，为

的特解，则为

的特解（特解的可叠加性）。
7、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程
（1）三阶
特征方程
①三个相异实根时的通解

②两个为二重实根，另一个为单实根时通解

③三个为三重实根时的通解

④一个为单实根，另两个为共轭复根时的通解

（2）四阶
特征方程
①四个相异实根时的通解

②两个为二重实根，另两个也为二重实根时的通解

③三个为三重实根，另一个为单实根时通解

④四个为四重实根时通解

⑤两个为二重实根，另两个为相异实根时的通解

⑥两个为二重实根，另两个为共轭复根时的通解

⑦两个为相异实根，另两个为共轭复根时的通解

例题选讲
例1 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为 。（2007数学二）
解 特征方程
特征根
余函数
设特解 ，代入非齐次方程可得
得通解
例2 求微分方程满足初始条件的特解。（2007数学二）
解 （可降阶，不显含）
令，则。于是，原方程可化为

变形为
（将作为的函数，这点很关键！！！）
则

即

由，得，则有，又由知，应取

解得

由，得
故方程满足初始条件的特解为

例3 在下列微分方程中，以为通解的微分方程是（ ）
A、 B、
C、 D、
（2008数学二）
解 特征根为
特征方程为，故应选D。
例4 设是区间上具有连续导数的单调增加函数，且。对任意，直线，曲线以及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周生成一旋转体，若该旋转体的侧面面积在数值上等于其体积的2倍，求函数的表达式。（2008数学二）
解 由题设，有
（旋转体侧面面积公式，要记住！）
即

方程两边对求导，得

解得
，
由，得。
所以，或。
例5设非负函数满足微分方程，当曲线过原点时，其与直线及所围成平面区域的面积为2，求绕轴旋转所得旋转体体积。（2009数学二）
解 将微分方程变形为
（不显含）（1）
注意到方程（1）为关于及的一阶线性微分方程，则

于是，有

由过原点，得，则。
又由，得，从而所求函数为

于是
。
注意 1 用公式要简便得多！（）
注意 2 可降阶的高阶微分方程07年也考到，07、09都为（不显含）型。
例6 三阶常系数齐次线性微分方程的通解为 。（2010数学二）
解 特征方程为

因式分解得

特征根为
通解为

注意 与08年类似。
例7 设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，且。已知，求函数。（2010数学二）
解

又，则

变形为
（这是关于及的一阶线性微分方程）
则

由，得，
则

于是

由，得，
所以有

注意 1 一阶线性微分方程是考试重点
注意 2 由参数方程所确定的函数的导数也是考试的重点

其中公式

可与曲率公式

联系起来记。
例8 微分方程的特解的形式为（ ）
A、 B、
C、 D、
（2011数学二）
解 特征方程为
特征为（单根）
的特解可设为，的特解可设为
于是，应选C。
注意 特解的可叠加性
例9 微分方程满足条件的解 。（2011数学二）
解

由，得，则满足条件的解
注意1 应检验是否为的解
注意2 进一步说明：一阶线性微分方程是考试重点
例10 设函数具有二阶导数，且曲线与直线相切于原点，记为曲线在点外切线的倾角，若，求的表达式。（2011数学二）
解 由，有，从而
又由，得

即
（不显含）
令，则，从而有

即
（此为关于的可分离变量的微分方程）
解得

或

即

由，得，。
于是
（此为可分离变量的微分方程）
解得

或

由，得，则

注意1 利用导数的几何意义建立微分方程
注意2 微分方程也不显含，但解法较繁

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