考研数学《概率论与数理统计》知识点总结.doc

第一章 概率论的基本概念
定义：
随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件．
事件关系：
1．AB，A发生必导致B发生．
2．AB和事件，A，B至少一个发生，AB发生．
3．AB记AB积事件，A，B同时发生，AB发生．
4．A－B差事件，A发生，B不发生，A－B发生．
5．AB=Ø，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容．
6．AB=S且AB=Ø，A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=．
事件运算：
交换律、结合律、分配率略．
德摩根律：，．
概率：
概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)．
概率性质:
1．P(Ø)=0．
2．(有限可加性)P(A1A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，Ai互不相容．
3．若AB，则P(B－A)=P(B)－P(A)．
4．对任意事件A，有．

5．P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)．
古典概型：
即等可能概型，满足：1．S包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同．
等概公式：
．
超几何分布：
，其中．
条件概率：
．
乘法定理：
．
全概率公式：
，其中为S的划分．
贝叶斯公式：
，或．
独立性：
满足P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立，简称A，B独立．
定理一：
A，B独立，则．P(B|A)=P(B)．
定理二：
A，B独立，则A与，与，与也相互独立．
第二章 随机变量及其分布
(0—1)分布：
，k=0，1 （0<p<1）．
伯努利实验：
实验只有两个可能的结果：A及．
二项式分布：
记X~b（n，p），．
n重伯努利实验：
独立且每次试验概率保持不变．其中A发生k次，即二项式分布．
泊松分布：
记X~π（λ），，．
泊松定理：
，其中．当，应用泊松定理近似效果颇佳．
随机变量分布函数：
，．
．
连续型随机变量：
，X为连续型随机变量，为X的概率密度函数，简称概率密度．
概率密度性质：
1．；2．；3．；4．，f(x)在x点连续；5．P{X=a}=0．
均匀分布：
记X~U(a，b)；；．
性质：对a≤c<c+l≤b，有

指数分布：
；．
无记忆性：
．
正态分布：
记；；．
性质：
1．f(x)关于x=μ对称，且P{μ-h<X≤μ}=P{μ<X≤μ+h}；2．有最大值f(μ)=()-1．
标准正态分布：
；．
即μ=0，σ=1时的正态分布X~N(0，1)
性质：．
正态分布的线性转化：
对有；且有．
正态分布概率转化：
；．
3σ法则：
P=Φ(1)－Φ(-1)=68.26%；P=Φ(2)－Φ(-2)=95.44%；P=Φ(3)－Φ(-3)=99.74%，P多落在(μ-3σ，μ+3σ)内．
上ɑ分位点：
对X~N(0，1)，若zα满足条件P{X>zα}=α，0<α<1，则称点zα为标准正态分布的上α分位点．
常用
上ɑ分位点：
0.001
0.005
0.01
0.025
0.05
0.10
3.090
2.576
2.326
1.960
1.645
1.282
Y服从自由度为1的χ2分布：
设X密度函数fX(x)，，若Y=X2，则
若设X~N(0，1)，则有
定理：
设X密度函数fX(x)，设g(x)处处可导且恒有g′(x)>0(或g′(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，且有

h(y)是g(x)的反函数；①若，则α=min{g(−∞)，g(+∞)}，β=max{g(−∞)，g(+∞)}；②若fX(x)在[a，b]外等于零，g(x)在[a，b]上单调，则α=min{g(a)，g(b)}，β=max{g(a)，g(b)}．
应用：
Y=aX+b~N(aμ+b，(|a|σ)2)．

第三章 多维随机变量及其分布
二维随机变量的分布函数：
分布函数(联合分布函数)：，记作：．
．
F（x，y）性质：
1．F（x，y）是x和y的不减函数，即x2>x1时，F（x2，y）≥F（x1，y）；y2>y1时，F（x，y2）≥F（x，y1）．
2．0≤F（x，y）≤1且F（−∞，y）=0，F（x，−∞）=0，F（−∞，−∞）=0，F（+∞，+∞）=1．
3．F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续．
4．对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2>x1，y2>y1，有P{x1<X≤x2，y1<Y≤y2}≥0．
离散型（X，Y）：
，，．
连续型（X，Y）：
．
f(x，y)性质：
1．f(x，y)≥0．
2．．
3．．
4．若f(x，y)在点(x，y)连续，则有．
n维：
n维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质与二维类似．
边缘分布：
Fx(x)，Fy(y)依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和Y的边缘分布函数，FX(x)=F(x，∞)，FY(y)=F(∞，y)．
离散型：
和分别为（X，Y）关于X和Y的边缘分布律，记，．
连续型：
，为（X，Y）关于X和Y的边缘密度函数，记，．
二维正态分布：
．
记(X，Y)~
N(μ1，μ2，σ12，σ22，ρ)
，．，．
离散型条件分布律：
．
．
连续型条件分布：
条件概率密度：

条件分布函数：

含义：当时，．
均匀分布：
若，则称(X，Y)在G上服从均匀分布．
独立定义：
若P{X≤x，Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}，即F(x，y)=Fx(x)Fy(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的．
独立条件或可等价为：连续型：f(x，y)=fx(x)fy(y)；离散型：P{X=xi，Y=yj}=P{X=xi}P{Y=yj}．
正态独立：
对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互对立的充要条件是：参数ρ=0．
n维延伸：
上述概念可推广至n维随机变量，要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1~n-1元)的．
定理：
设（X1，X2，…，Xm）和（Y1，Y2，…，Yn）相互独立，则Xi和Yj相互独立．又若h，g是连续函数，则h（X1，X2，…，Xm）和g（Y1，Y2，…，Yn）相互独立．
Z=X+Y
分布：
若连续型(X，Y)概率密度为f(x，y)，则Z=X+Y为连续型且其概率密度为
或．
fX和fY的卷积公式：
记，其中除继上述条件，且X和Y相互独立，边缘密度分别为fX(x)和fY(y)．
正态卷积：
若X和Y相互独立且X~N(μ1，σ12)，记Y~N(μ2，σ22)，则对Z=X+Y有Z~N(μ1+μ2，σ12+σ22)．
1．上述结论可推广至n个独立正态随机变量．2．有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布．
伽马分布：
记，
，．
，其中．
若X和Y独立且X~Γ(α，θ)，记Y~Γ(β，θ)，则有X+Y~Γ(α+β，θ)．可推广到n个独立Γ分布变量之和．
：
，若X和Y相互独立，则有．
分布：
，若X和Y相互独立，则有．
大小分布：
若X和Y相互独立，且有M=max{X，Y}及N=min{X，Y}，则M的分布函数：Fmax(z)=FX(z)FY(z)，N的分布函数：Fmin(z)=1－[1－FX(z)][1－FY(z)]，以上结果可推广到n个独立随机变量的情况．

第四章 随机变量的数字特征
数学期望：
简称期望或均值，记为E(X)；离散型：．连续型：．
定理：
设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数)．
1．若X是离散型，且分布律为P{X=xk}=pk，则：
．
2．若X是连续型，概率密度为f(x)，则：
．
定理推广：
设Z是随机变量X，Y的函数：Z=g(X，Y)(g是连续函数)．
1．离散型：分布律为P{X=xi，Y=yj}=pij，则：
．
2．连续型：
期望性质：
设C是常数，X和Y是随机变量，则：
1．E(C)=C．2．E(CX)=CE(X)．3．E(X+Y)=E(X)+E(Y)．

4．又若X和Y相互独立的，则E(XY)=E(X)E(Y)．
方差：
记D(X)或Var(X)，D(X)=Var(X)=E{[X－E(X)]2}．
标准差(均方差)：
记为σ(X)，σ(X)= ．
通式：．
，．
标准化变量：
记，其中，，称为X的标准化变量．
，．
方差性质：
设C是常数，X和Y是随机变量，则：
1．D(C)=0． 2．D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)．
3．D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E{(X－E(X))(Y－E(Y))}，若X，Y相互独立D(X+Y)=D(X)+D(Y)．
4．D(X)=0的充要条件是P{X=E(X)}=1．
正态线性变换：
若，是不全为0的常数，则．
切比雪夫不等式：
或，其中，，为任意正数．
协方差：
记．
X与Y的相关系数：
．
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)－E(X)E(Y)．
性质：
1．Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，a，b是常数．
2．Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)．
系数性质：
令e=E[(Y－(a+bX))2]，则e取最小值时有
，
其中，．
1．|ρXY|≤1．2．|ρXY|=1的充要条件是：存在常数a，b使P{Y=a+bX}=1．
|ρXY|越大e越小X和Y线性关系越明显，当|ρXY|=1时，Y=a+bX；反之亦然，当ρXY=0时，X和Y不相关．
X和Y相互对立，则X和Y不相关；但X和Y不相关，X和Y不一定相互独立．
定义：
k阶矩(k阶原点矩)：E(X k )．
n维随机变量X i的协方差矩阵：
，

=E{[Xi－E(Xi)][X j－E(X j)]}．
k+l阶混合矩：E(X kY l )．
k阶中心矩：E{[X－E(X)] k }．
k+l阶混合中心矩：
E{[X－E(X)]k[Y－E(Y)]l}．
n维正态分布：
，．
性质：
1．n维正态随机变量(X1，X2，…，X n)的每一个分量Xi (i=1，2，…，n)都是正态随机变量，反之，亦成立．
2．n维随机变量(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布的充要条件是X1，X2，…，X n的任意线性组合l1X1+l2X2+…+l n X n服从一维正态分布(其中l1，l2，…，l n不全为零)．
3．若(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布，且Y1，Y2，…，Y k是X j (j=1，2，…，n)的线性函数，则(Y1，Y2，…，Y k)也服从多维正态分布．
4．若(X1，X2，…，X n)服从n维正态分布，则“Xi 相互独立”与“Xi 两两不相关”等价．

第五章 大数定律及中心极限定理
弱大数定理：
若X1，X2，…是相互独立并服从同一分布的随机变量序列，且E(X k)=μ，则对任意ε>0有
或，．
定义：
Y1，Y2，…，Y n ，…是一个随机变量序列，a是一个常数．若对任意ε>0，有

则称序列Y1，Y2，…，Y n ，…依概率收敛于a．记

伯努利大数定理：
~
对任意ε>0有或．
其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率．
中心极限定理
定理一：
设X1,X2,…,X n ,…相互独立并服从同一分布，且E(X k)=μ，D(X k)=σ2 >0，则n→∞时有
近似的
N(0，1)或~N(0，1)或~N(μ，)．
定理二：
设X1,X2,…,X n ,…相互独立且E(X k)=μ k，D(X k)=σ k2 >0，若存在δ>0使n→∞时，
，则~N(0，1)，记．
定理三：
设，则n→∞时，(0，1)，．
第六章 样本及抽样分布
定义：
总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限．
定义：
样本：X1,X2,…,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本．
频率直方图：
图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形．
横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距Δ=大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）．
图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线．
纵坐标：频率/组距（总长度：<1/Δ；小区间长度：频率/组距）．
定义：
样本p分位数：记xp，有1．样本xi中有np个值≤xp．2．样本中有n(1－p)个值≥xp．
箱线图：
xp选择：
记．
分位数x0.5，记为Q2或M，称为样本中位数．
分位数x0.25，记为Q1，称为第一四分位数．
分位数x0.75，记为Q3，称为第三四分位数．
图形：
min Q1 M Q3 max

图形特点：M为数据中心，区间[min，Q1]，[Q1，M]，[M，Q3]，[Q3，max]数据个数各占1/4，区间越短数据密集．
四分位数间距：记IQR=Q3－Q1；若数据X<Q1－1.5IQR或X>Q3+1.5IQR，就认为X是疑似异常值．
抽样分布：
样本平均值：

样本方差：

样本标准差：

样本k阶(原点)矩：
，k≥1
样本k阶中心矩：
，k≥2
经验分布函数：
，．
表示F的一个样本X1,X2,…,X n 中不大于x的随机变量的个数．
自由度为n的χ2分布：
记χ2~χ2（n），，其中X1,X2,…,X n是来自总体N(0，1)的样本．E(χ2 )=n，D(χ2 )=2n．
χ12+χ22~χ2（n1+n2）．
．
χ2分布的分位点：
对于0<α<1，满足，则称为的上α分位点．
当n充分大时(n>40)，，其中是标准正态分布的上α分位点．
自由度为n的t分布：
记t~t (n)，，
其中X~N(0，1)，Y~χ2(n)，X，Y相互独立．

h(t)图形关于t=0对称；当n充分大时，t分布近似于N(0，1)分布．
t分布的分位点：
对于0<α<1，满足，则称为的上α分位点．
由h(t)对称性可知t1－α(n)=－t α(n)．当n>45时，t α(n)≈zα，zα是标准正态分布的上α分位点．
自由度为(n1，n2)的F分布：
记F~F(n1，n2)，，其中U~χ2(n1)，V~χ2(n2)，X，Y相互独立．1/F~F(n2，n1)

F分布的分位点：
对于0<α<1，满足，则称为的上α分位点．
重要性质：F1－α(n1，n2)=1/Fα(n1，n2)．
定理一：
设X1,X2,…,X n 是来自N(μ，σ2)的样本，则有，其中是样本均值．
定理二：
设X1,X2,…,X n 是来自N(μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为
，，则有1．；2．与相互独立．
定理三：
设X1,X2,…,X n 是来自N(μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为
，，则有．
定理四：
设X1,X2,…,X n1 与Y1,Y2,…,Y n2分别是来自N(μ1，σ12)和N(μ2，σ22)的样本，且相互独立．设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为
，，，，则有1．．
2．当σ12=σ22=σ2时，，其中，．
第七章 参数估计
定义：
估计量：，估计值：，统称为估计．
矩估计法：
令=()(k为未知数个数)联立方程组，求出估计．
设总体X均值μ及方差σ2都存在，则有
，．
最大似然估计法：
似然函数：离散：或连续：，化简可去掉与θ无关的因式项．
即为最大值，可由方程或求得．
当多个未知参数θ1，θ1，…，θk时：可由方程组
或（）求得．
最大似然估计的不变性：若u=u(θ)有单值反函数θ=θ(u)，则有，其中为最大似然估计．
截尾样本取样：
定时截尾样本：抽样n件产品，固定时间段t0内记录产品个体失效时间(0≤t1≤t2≤…≤tm≤t0)和失效产品数量．
定数截尾样本：抽样n件产品，固定失效产品数量数量m记录产品个体失效时间(0≤t1≤t2≤…≤tm)．
结尾样本最大似然估计：
定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布X~e（θ），θ即产品平均寿命．产品ti时失效概率P{t=ti}≈f(ti)d ti，寿命超过tm的概率，则，化简得，由得：，其中s(tm)=t1+t2+…+tm+(n－m)tm，称为实验总时间．
定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有s(t0)=t1+t2+…+tm+(n－m)t0，，，．
无偏性：
估计量的存在且，则称是的无偏估计量．
有效性：
与都是的无偏估计量，若，则较有效．
相合性：
设的估计量，若对于任意有，则称是的相合估计量．
置信区间：
，和分别为置信下限和置信上限，则是的一个置信水平为置信区间，称为置信水平，．
正态样本置信区间：
设X1，X2，…，Xn是来自总体X~N(μ，σ2)的样本，则有μ的置信区间：
枢轴量W W分布 a，b不等式 置信水平 置信区间

其中zα/2为上α分位点
θ置信区间的求解：
1．先求枢轴量：即函数W=W(X1，X2，…，Xn；θ)，且函数W的分布不依赖未知参数．
如上讨论标注
2．对于给定置信水平，定出两常数a，b使P{a<W<b}=，从而得到置信区间．
(0－1)分布p的区间估计：
样本容量n>50时，
若令，，，则有置信区间(，）．
单侧置信区间：
若或，称(，)或(，)是θ的置信水平为的单侧置信区间．
正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为）

待估
其他
枢轴量W的分布
置信区间
单侧置信限
一个正态总体
μ
σ2已知

，
μ
σ2未知

，
σ2
μ未知

，
两个正态总体
μ1－μ2
σ12，σ22
已知

μ1－μ2
σ12=σ22=σ2
未知

σ12/σ22
μ1，μ2
未知

，
单个总体X~N(μ，σ2)，两个总体X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)．
第八章 假设实验
定义：
H0：原假设或零假设，为理想结果假设；H1：备择假设，原假设被拒绝后可供选择的假设．
第Ⅰ类错误：H0实际为真时，却拒绝H0．第Ⅱ类错误：H0实际为假时，却接受H0．
显著性检验：只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制，而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验．
P{当H0为真拒绝H0}≤α，α称为显著水平．拒绝域：取值拒绝H0．临界点：拒绝域边界．
双边假设检验：H0：θ=θ0，H1：θ≠θ0．右边检验：H0：θ≤θ0，H1：θ>θ0．左边检验：H0：θ≥θ0，H1：θ<θ0．
正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为α)

原假设H0
备择假设H1
检验统计量
拒绝域
1
σ2已知
μ≤μ0
μ>μ0

z≥zα
μ≥μ0
μ<μ0
z≤－zα
μ=μ0
μ≠μ0
|z|≥zα/2
2
σ2未知
μ≤μ0
μ>μ0

t≥tα(n－1)
μ≥μ0
μ<μ0
t≤－tα(n－1)
μ=μ0
μ≠μ0
|t|≥tα/2(n－1)
3
σ1，σ2
已知
μ1－μ2≤δ
μ1－μ2>δ

z≥zα
μ1－μ2≥δ
μ1－μ2<δ
z≤－zα
μ1－μ2=δ
μ1－μ2≠δ
|z|≥zα/2
4
σ12=σ22
=σ2
未知
μ1－μ2≤δ
μ1－μ2>δ

t≥tα(n1+n2－2)
μ1－μ2≥δ
μ1－μ2<δ
t≤－tα(n1+n2－2)
μ1－μ2=δ
μ1－μ2≠δ
|t|≥tα/2(n1+n2－2)
5
μ未知
σ2≤σ02
σ2>σ02

χ2≥χα2(n－1)
σ2≥σ02
σ2<σ02
χ2≤χ21－α(n－1)
σ2=σ02
σ2≠σ02
χ2≥χ2α/2(n－1)或χ2≤χ21－α/2(n－1)
6
μ1，μ2
未知
σ12≤σ22
σ12>σ22

F≥Fα(n1－1，n2－1)
σ12≥σ22
σ12<σ22
F≤F1－α(n1－1，n2－1)
σ12=σ22
σ12≠σ22
F≥Fα/2(n1－1，n2－1)或
F≤F1－α/2(n1－1，n2－1)
7
成对
数据
μD≤0
μD>0

t≥tα(n－1)
μD≥0
μD<0
t≤－tα(n－1)
μD=0
μD≠0
|t|≥tα－2(n－1)
检验方法选择：
主要是逐对比较法（成对数据）跟两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即7跟3、4的区别，成对数据指两样本X和Y之间存在一一对应关系，而3和4一般指X和Y相互对立，但针对同一实体．
关系：
置信区间与假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为1－α的置信区间与显著水平为α的接受域相同．
定义：
施行特征函数(OC函数)：β(θ)=Pθ(接受H0)．功效函数：1－β(θ)．功效：当θ*∈H1时，1－β(θ*)的值．