考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料.doc

78B持之以恒，厚积薄发
第四章 不定积分

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第一节 不定积分的概念与性质
一、原函数的定义
原函数:若对于，有或，称为在区间内的原函数。

原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若在上连续，则必存在，使得当时，。
【例1】设是在上的一个原函数，则在上（ ）
（A） 可导 （B）连续
（C）存在原函数 （D）是初等函数
【答案】（C）

【例2】（92二）若的导函数是，则有一个原函数为
（A） . （B）.
（C）. （D）.
【答案】（B）

二、不定积分的定义
不定积分：在区间内，的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分，
记为：，即
计算方法：求函数的不定积分，只要求得它的一个原函数，加上任意常数即可。

不定积分的几何意义：一个原函数对应于一条积分曲线；不定积分对应于积分曲线簇——无穷多条积分曲线，被积函数对应于切线的斜率——同一横坐标处切线平行。
【例3】若的导函数是,则的原函数是
【答案】

【例4】某曲线过点，且其上任一点切线之斜率为该点横坐标之2倍，求此曲线方程。
【答案】

三、不定积分的性质
（1） 或

（2） 或

（3）

（4）
【例5】（90二）设函数在上连续，则等于
（A） （B）
（C） （D）.
【答案】（B）

【例6】（89三）在下列等式中，正确的结果是（ ）
（A）. （B）.
（C）. （D）.
【答案】（C）

【例7】（95三）设，则 .
【答案】

四、基本积分表
（1）
（2）
（3）
（4） ；
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）

（12）
【例8】 求下列不定积分
（1） ； （2）；
【答案】(1)；（2）

（3） （4）；
【答案】（3）；
（4）

（5） ； （6）
【答案】（5）；
（6）；

（7）；
【答案】（7）

【例9】求下列不定积分：
（1）；（2）
【答案】（1）；
（2）

第二节 换元积分法
换元积分法是把复合函数的微分法反过来，利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。通常分为两类：第一换元积分法和第二换元积分法

一、第一换元积分法（凑微分法）
定理1（第一类换元法）：设具有原函数，可导，则有第一换元法换元公式：

应用方法：
若求，如果的形式，则可利用：
。
【例1】求下列不定积分
（1）； （2）；
【答案】（1）；（2）

（3）； （4）；
【答案】（3）； （4）

（5）； （6）；
【答案】（5）； （6）

（7）； （8）；
【答案】（7）；
（8）

（9）； （10）；
【答案】（9）；
（10）

（11）
【答案】（11）

二、第二换元积分法
定理2（第二换元积分法）
设为单调，可导且的函数，又有原函数，则：

常用第二类换元法：幂代换，三角换元

幂代换：含有，（注：都是一次的）

【例1】求下列不定积分
（1） ；
【答案】（1）

三角换元：
代换

，
辅助三角形

其它函数值

【例1】求下列不定积分
（2）
【答案】（2）

（3）；
【答案】（3）

（4）
【答案】（4）时，原式
时，原式

补 充 公 式
（13）
（14）
（15）
（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
（21）

第三节 分部积分法
分部积分公式：或

【例1】求下列不定积分
（1）； （2）；
【答案】（1）
（2）

（3）； （4）；
【答案】（3）
（4）

（5）；
【答案】（5）

【例2】求下列不定积分
（1）；
【答案】
（1）

（2）；
【答案】（2）

（3）；
【答案】（3）

第四节 有理函数的积分
一、简单有理函数的积分
方法：将有理函数化为整式加部分分式之和，再进行积分
部分分式：

【例1】求下列不定积分
（1） ；
【答案】（1）

（2） ；
【答案】（2）

（3）；
【答案】（3）

（4）
【答案】（4）

二、简单无理函数的积分
方法：利用幂代换化无理式为有理式进行积分
幂代换：1、含有，
令，
2、

【例2】 求下列不定积分
（1）
【答案】（1）

（2）
【答案】（2）

（3）（93三）
【答案】（3）

（4）
【答案】（4）

三、简单三角有理式的积分
若被积函数满足
，则令

若被积函数满足
，则令

若被积函数满足
，则令
万能公式，则，，

【例3】求下列不定积分
（1）（94一）
【答案】
（1）

（2）（96二）求
【答案】（2）

本章强化练习
一、与原函数有关的命题
1、（99三）设是连续函数，是的原函数，则
（A）当是奇函数时，必为偶函数.
（B）当是偶函数时，必为奇函数.
（C）当是周期函数时，必为周期函数.
（D）当是单调增函数时，必为单调增函数.
答案：（A）
2、（94三）已知是的一个原函数，求.
答案：

3、（96三）设，则 .
答案：

二、不定积分的计算
1、（89二）求.
答案：

2、（93一）求.
答案：

3、 （90二）计算.
答案：

4、（91二）求.
答案：

5、（01一）求
答案：

6、（03二）计算不定积分
答案：

7、（01二）求
答案：

8、 （00二）设，计算。
答案：

9、（99二） .
答案：

10、（98二） .
答案：

11、（97二） .
答案：

12、（97二）计算
答案：

13、（02三）设，求.
答案：

14、（06二）求 .
答案：

15、 （98三） .
答案： .

16、计算
答案：

17、计算
答案：

18、（95三）求不定积分.
答案：

19、求
答案：

20、设，求
答案：