北京理工大学随机信号分析实验报告.doc

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本科实验报告

实验名称： 随机信号分析实验

课程名称：
随机信号分析
实验时间：

任课教师：

实验地点：

实验教师：

实验类型：
□ 原理验证
■ 综合设计
□ 自主创新
学生姓名：

学号/班级：

组 号：

学 院：

同组搭档：

专 业：

成 绩：

实验一 随机序列的产生及数字特征估计
一、 实验目的
1、学习和掌握随机数的产生方法。
2、实现随机序列的数字特征估计。
二、 实验原理
1、随机数的产生
随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。
在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。
(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：

序列为产生的(0，1)均匀分布随机数。
下面给出了上式的3组常用参数：
1、，周期；
2、（IBM 随机数发生器）周期；
3、（ran0）周期；
由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。
定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有

由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。
2、MATLAB 中产生随机序列的函数
（1）(0，1)均匀分布的随机序列
函数：rand
用法：x = rand(m,n)
功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。
（2）正态分布的随机序列
函数：randn
用法：x = randn(m,n)
功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。
（3）其他分布的随机序列
MATLAB 上还提供了其他多种分布的随机数的产生函数，下表列出了部分函数。
MATLAB 中产生随机数的一些函数

3、随机序列的数字特征估计
对于遍历过程，可以通过随机序列的一条样本函数来获得该过程的统计特性。这里我们假定随机序列 X (n)为遍历过程，样本函数为x(n)，其中n=0,1,2，…，N-1。那么，X (n)的均值、方差和自相关函数的估计为

利用MATLAB 的统计分析函数可以分析随机序列的数字特征。
（1）均值函数
函数：mean
用法：m = mean(x)
功能：返回按上面第一式估计X (n)的均值，其中x 为样本序列x(n)。
（2）方差函数
函数：var
用法：sigma2 = var(x)
功能：返回按上面第二式估计X (n)的方差，其中x 为样本序列x(n)，这一估计为无偏估计。
（3）互相关函数
函数：xcorr
用法：c = xcorr(x,y)
c = xcorr(x)
c = xcorr(x,y,'opition')
c = xcorr(x,'opition')
功能：xcorr(x,y)计算 X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算 X (n)的自相关。
option 选项可以设定为：
'biased' 有偏估计，即

'unbiased' 无偏估计，即按上面第三式估计。
'coeff' m = 0 时的相关函数值归一化为1。
'none' 不做归一化处理。
三、实验内容
1、采用线性同余法产生均匀分布随机数1000 个，计算该序列均值和方差与理论值之间的误差大小。改变样本个数重新计算。
线性同余法的公式如下：

实验代码：
Num=input('Num=');
N=2^31;
k=2^16+3;
Y=zeros(1,num);
X=zeros(1,num);
Y(1)=1;
for i=2:num
Y(i)=mod(k*Y(i-1),N);
end
X=Y/N;

a=0;
b=1;
m0=(a+b)/2;
sigma0=(b-a)^2/12;
m=mean(X);
sigma=var(X);

delta_m=abs(m-m0);
delta_sigma=abs(sigma-sigma0);

plot(X,'k');
xlabel('n');
ylabel('X(n)');
delta_m
delta_sigma
axis tight
实验结果：
A、 Num=1000 delta_=0.0110 delta_sigma=0.0011

B、 Num=5000 delta_m =2.6620e-04 delta_sigma =0.0020

实验结果分析：样本值越大，实际值越接近理论值，误差越小。
2、参数为的指数分布的分布函数为

利用反函数法产生参数为0.5 的指数分布随机数1000 个，测试其方差和相关函数。
实验代码：
R=rand(1,1000);
lambda=0.5;
X=-log(1-R)/lambda;
DX=var(X);
[Rm,m]=xcorr(X);
subplot(211);
plot(X,'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');axis tight;
subplot(212);
plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight;
实验结果：

DX =4.1201

实验结果分析：
方差的理论值应为1/(0.5^2)=4，实际值为4.1201，与其基本一致，有一定偏差。
3、产生一组N(1,4)分布的高斯随机数（1000个样本），估计该序列的均值、方差和相关函数。
产生高斯分布的随机数可使用函数normrnd，
实验代码：
X=normrnd(1,2,[1,1000]);
Mx=mean(X);Dx=var(X);
[Rm,m]=xcorr(X);
subplot(211);
plot(X,'k');xlabel('n');ylabel('X(n)');axis tight;
subplot(212);
plot(m,Rm,'k');xlabel('m');ylabel('R(m)');axis tight;
Mx
Dx
实验结果：

Mx =0.9937 Dx = 3.8938
实验结果分析：
理论上，均值为1，方差为4。实验中的均值为0.9937，方差为3.8938。在误差允许范围内，理论值和实验值基本相同。
四、实验心得体会
本次随机信号分析实验，用于随机序列的产生和数字特征的估计，同样是用matlab的平台实现。通过这次实验，学习和掌握随机数的产生方法、实现随机序列的数字特征估计，并用matlab产生相应的图形，更直观的了解了相关的知识。本次实验的难点在于用线性同余法产生随机序列，在实际编程中需要用到一个FOR循环，起初并不熟悉其语法特征，经过反复的修改，运行成功。

实验二 随机过程的模拟与数字特征
一、实验目的
1、学习利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法。
2、熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。
二、实验原理
1、正态分布白噪声序列的产生
MATLAB 提供了许多产生各种分布白噪声序列的函数，其中产生正态分布白噪声序列的函数为randn。
函数：randn
用法：x = randn(m,n)
功能：产生m×n 的标准正态分布随机数矩阵。
如果要产生服从分布的随机序列，则可以由标准正态随机序列产生。如果N(0,1)，则。
2、相关函数估计
MATLAB 提供了函数xcorr 用于自相关函数的估计。
函数：xcorr
用法：c = xcorr(x,y)
c = xcorr(x)
c = xcorr(x,y,'opition')
c = xcorr(x,'opition')
功能：xcorr(x,y)计算X (n)与Y(n)的互相关，xcorr(x)计算X (n)的自相关。
option 选项可以设定为：
'biased' 有偏估计。
'unbiased' 无偏估计。
'coeff' m=0 时的相关函数值归一化为1。
'none' 不做归一化处理。
3、功率谱估计
MATLAB 函数periodogram 实现了周期图法的功率谱估计。
函数：periodogram
用法：[Pxx,w] = periodogram(x)
[Pxx,w] = periodogram(x,window)
[Pxx,w] = periodogram(x,window,nfft)
[Pxx,f] = periodogram(x,window,nfft,fs)
periodogram(...)
功能：实现周期图法的功率谱估计。其中：
Pxx 为输出的功率谱估计值；
f 为频率向量；
w 为归一化的频率向量；
window 代表窗函数，这种用法对数据进行了加窗，对数据加窗是为了减少功率谱估计中因为数据截断产生的截断误差，下图列出了产生常用窗函数的MATLAB函数。

nfft设定FFT算法的长度；
fs表示采样频率；
三、实验内容
1、按如下模型产生一组随机序列

其中是均值为1，方差为 4的正态分布白噪声序列。估计过程的自相关函数和功率谱。
实验代码：
y0=randn(1,500); %产生一长度为500的随机序列
y=1+2*y0;
x(1)=y(1);
n=500;
for i=2:1:n
x(i)=0.8*x(i-1)+y(i); %按题目要求产生随机序列x(n)=0.8x(n-1)+w(n)
end
subplot(311);
plot(x);
title('x(n)');
subplot(312);
c=xcorr(x); %用xcorr函数求x(n)的自相关函数
plot(c);
title('R(n)');
p=periodogram(x); %用periodogram函数求功率谱密度
subplot(313);
plot(p);
title('S(w)');
实验结果：

上图中分别为长度为500的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。
2、设信号为

其中 ，为正态分布白噪声序列，试在N =256和N=1024点时，分别产生随机序列x(n)，画出x(n)的波形并估计x(n)的相关函数和功率谱。
实验代码：
（1）、N=256时
N=256;
w=randn(1,N); %用randn函数产生一个长度为256的正态分布白噪声序列
n=1:1:N;
f1=0.05;
f2=0.12;
x=sin(2*pi*f1*n)+2*cos(2*pi*f2*n)+w(n); %产生题目所给信号
R=xcorr(x); %求x(n)的自相关函数
p=periodogram(x); %求x的功率谱
subplot(311);
plot(x);title('x(n)');
subplot(312);
plot(R);title('R(n)');
subplot(313);
plot(p);title('S(w)');
实验结果：

上图中分别为长度为256的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。
（2）、N=1024时
将上述第一行代码改为N=1024；即可。
实验结果：

上图中分别为长度为1024的样本序列、序列的自相关函数、序列的功率谱。可明显看出，功率谱集中在两个频率分量处。
四、实验心得体会
这次实验学会了在MATLAB中求解并绘制随机序列的自相关函数和功率谱密度。用MATLAB可以用具体的函数来求自相关函数和功率谱，极大的方便了学习过程。通过本次实验，学习了利用MATLAB 模拟产生随机过程的方法并且熟悉和掌握特征估计的基本方法及其MATLAB 实现。

实验三 随机过程通过线性系统的分析
一、实验目的
1、理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。
2、学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。
二、实验原理
1、白噪声通过线性系统
设连续线性系统的传递函数为H( )或H(s)，输入白噪声的功率谱密度为SX( )=N0/2，那么系统输出的功率谱密度为
SY ()=|H()|2 （3.1）
输出自相关函数为
RY ()=H()|2 （3.2）
输出相关系数为
（3.3）
输出相关时间为
0= （3.4）
输出平均功率为
E=H()|2 （3.5）
上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性|H()|决定，不再是常数。
2、等效噪声带宽
在实际中， 常常用一个理想系统等效代替实际系统的H()，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。
实际系统的等效噪声带宽为
=H()|2 （3.6）
或
= （3.7）
3、线性系统输出端随机过程的概率分布
（1）正态随机过程通过线性系统
若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。
（2）随机过程的正态化
随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。
三、实验内容
1、仿真一个平均功率为1的白噪声带通系统，白噪声为高斯分布，带通系统的两个截止频率分别为3kHz和4kHz，估计输出的自相关函数和功率谱密度函数。（假设采样频率为10kHz）
实验代码：
Fs=10000; %抽样频率为10kHz
x=randn(1000,1); %产生随机序列，模拟高斯白噪声

figure(1);
subplot(3,1,1);
plot(x);grid on;
xlabel('t');
subplot(3,1,2);
x_corr=xcorr(x,'unbiased'); %计算高斯白噪声的自相关函数
plot(x_corr);grid on;
subplot(3,1,3);
[Pxx,w]=periodogram(x); %计算功率谱密度
x_Px=Pxx;plot(x_Px);grid on;

figure(2);
subplot(2,1,1);
[x_pdf,x1]=ksdensity(x); %高斯白噪声一维概率密度函数
plot(x1,x_pdf);grid on;

subplot(2,1,2);
f=(0:999)/1000*Fs;
X=fft(x);
mag=abs(X); %随机序列的频谱
plot(f(1:1000/2),mag(1:1000/2)); grid on;
xlabel('f / Hz');

figure(3);
subplot(3,1,1);
[b,a]=ellip(10,0.5,50,[3000,4000]*2/Fs);
[H,w]=freqz(b,a); %带通滤波器
plot(w*Fs/(2*pi),abs(H));grid on;
xlabel('f / Hz');
ylabel( 'H(w)');
subplot(3,1,2);
y=filter(b,a,x);
[y_pdf,y1]=ksdensity(y); %滤波后的概率密度函数
plot(y1,y_pdf);grid on;
y_corr=xcorr(y,'unbiased'); %滤波后自相关函数
subplot(3,1,3);
plot(y_corr);grid on;

figure(4);
Y=fft(y);
magY=abs(Y); %随机序列滤波后频谱
subplot(2,1,1);
plot(f(1:1000/2),magY(1:1000/2));grid on;
xlabel('f / Hz');
subplot(2,1,2);
nfft=1024;
index=0:round(nfft/2-1);
ky=index.*Fs./nfft;
window=boxcar(length(y_corr));
[Pyy,fy]=periodogram(y_corr,window,nfft,Fs); %滤波后高斯白噪声功率谱
y_Py=Pyy(index+1);
plot(ky,y_Py);grid on;
实验结果：

2、设白噪声通过下图所示的RC 电路，分析输出的统计特性。

（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。
（2）采用MATLAB 模拟正态分布白噪声通过上述RC 电路，观察输入和输出的噪声波形以及输
出噪声的概率密度。
（3）模拟产生均匀分布的白噪声通过上述RC 电路，观察输入和输出的噪声波形以及输出噪声
的概率密度。
（4）改变RC 电路的参数（电路的RC 值），重做（2）和（3），与之前的结果进行比较。
（1）、由图中所示电路，根据电路分析的相关知识，可推导出
输出功率谱密度为：
相关函数为：
相关时间为：
等效噪声带宽为：
（2）、实验代码：
R=100;
C=0.01;
b=1/(R*C);
n=1:1:500;
h=b*exp(-n*b); %RC电路的冲击响应
x=randn(1,1000); %产生正态分布的白噪声
y=conv(x,h);
[fy y1]=ksdensity(y) %求输出噪声的概率密度
subplot(3,1,1);
plot(x);
title('x(n)');
subplot(3,1,2);
plot(y);
title('y(n)');
subplot(3,1,3);
plot(fy);
title('fy');
实验结果：

（3）、实验代码：
R=100;
C=0.01;
b=1/(R*C);
n=1:1:500;
h=b*exp(-n*b);
x=rand(1,1000); %均匀分布的白噪声
y=conv(x,h);
[fy y1]=ksdensity(y);
subplot(3,1,1);
plot(x);
title('x(n)');
subplot(3,1,2);
plot(y);
title('y(n)');
subplot(3,1,3);
plot(fy);
title('fy');
实验结果：

（4）、a、改变R、C值为：R=200，C=0.01;
实验结果：
正态分布

均匀分布

精品资料

b、改变R、C的值为：R=10，C=0.01;
实验结果：
正态分布

均匀分布

实验结果分析：
显然，系统相关时间与系统带宽成反比。
从输入及输出波形可以看出，正态随机过程通过一个线性系统后，输出仍为正态分布。而对于任意分布的白噪声，通过一个线性系统后，输出也服从正态分布。
四、实验心得体会
本次实验是关于随机信号通过线性系统的，可以看出，白噪声通过线性系统后，输出服从正态分布，从实践上验证了课本的理论，通过本次实验，理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性，并且学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。

实验四 窄带随机过程的产生及其性能测试
一、实验目的
1、基于随机过程的莱斯表达式产生窄带随机过程。
2、掌握窄带随机过程的特性，包括均值（数学期望）、方差、相关函数及功率谱密度等。
二、实验原理
1.窄带随机过程的莱斯表达式
任何一个实平稳窄带随机过程X (t)都可以表示为

上式称为莱斯表达式，根据上式可以模拟产生窄带随机过程，具体过程下图所示。

2.窄带随机过程包络与相位的概率密度
包络的概率密度为，服从瑞利分布。
相位的概率密度为，呈均匀分布。
3.窄带随机过程包络平方的概率密度
包络平方的概率密度为0，为指数概率密度函数。
三、实验内容
1、按上图所示结构框图，基于随机过程的莱斯表达式，用MATLAB产生一满足条件的窄带随机过程。
实验代码：
n=1:1:1000;
h=exp(-n);
c1=randn(1,1000);
a=conv(c1,h);
c2=randn(1,1000); %产生两个正态分布的高斯白噪声
b=conv(c2,h); %通过低通滤波器
fc=10000;
x=zeros(1,1000);
for i=1:1000 %卷积结果相加，得到窄带随机过程
x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i);
end
plot(x);
title('窄带随机过程');
实验结果：

2、画出该随机过程的若干次实现，观察其形状。
实验结果：

3、编写MATLAB程序计算该随机过程的均值函数、自相关函数、功率谱、包络、包络平方及相位的一维概率密度，画出相应的图形并给出解释。
实验代码：
n=1:1:1000;
h=exp(-n);
c1=randn(1,1000);
a=conv(c1,h);
c2=randn(1,1000);
b=conv(c2,h);
fc=10000;
x=zeros(1,1000);
for i=1:1000
x(i)=a(i)*cos(2*pi*fc*i)-b(i)*sin(2*pi*fc*i);
end
%得到窄带随机过程

m=mean(x)
figure(1)
plot(m);
title('均值') %均值函数

R=xcorr(x);
figure(2)
plot(R);
title('自相关函数') %自相关函数

[S,w]=periodogram(x);
figure(3)
plot(S);
title('功率谱密度') %功率谱密度函数

B=zeros(1,1000);
for i=1:1000
B(i)=sqrt(a(i)^2+b(i)^2);
end
[fB2 j]=ksdensity(B);
figure(4)
plot(fB2);
title('包络概率密度')

B=zeros(1,1000);
for i=1:1000
B(i)=(a(i)^2+b(i)^2);
end
[fB2 j]=ksdensity(B);
figure(5)
plot(fB2);
title('包络平方概率密度')

for i=1:1000
fai(i)=atan(b(i)/a(i));
end
[fp j]=ksdensity(fai);
figure(6);
plot(fp);
title('相位一维概率密度函数')
实验结果：
m = 0.0038

实验结果分析：
生成的两个高斯白噪声，分别通过低通滤波器得到a(t)和b(t)。用莱斯表达式的原理产生一个窄带随机过程。从上述实验结果可以看出，窄带随机过程的均值为零，包络服从瑞利分布，相位按均匀分布，而包络的平方呈指数型分布。
四、实验心得体会
这次实验描述了窄带随机过程，对于其均值、包络、包络平方、相位的分布也有了直观的表达。通过本次实验，认识了通过莱斯表达式产生窄带随机过程的方法，并且掌握窄带随机过程的特性。

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