四川省邻水实验学校2021届高三数学下学期3月开学考试试题-理.doc

四川省邻水实验学校2021届高三数学下学期3月开学考试试题 理

四川省邻水实验学校2021届高三数学下学期3月开学考试试题 理

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四川省邻水实验学校2021届高三数学下学期3月开学考试试题 理
一、选择题：本题共12题，每小题5分，共60分。
1.已知集合，，且，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知i是虚数单位，，则（ ）
A. 1 B. 2 C. i D. 2i
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.若双曲线的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的渐近线方程是（ ）
A. B. C. D.
5.函数（其中常数e=2.71828……是一个无理数）的图像为（ ）
A. B.
C. D.
6.执行图中所示程序框图，若输入，则输出结果为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
7.如图,在△ABC中,点D在线段BC上,且若则（ ）
A. B. C. 2 D.
8.已知，点C在圆上运动，△ABC的面积的最小值为，则实数m的值为（ ）
A．或 B．或 C. 或 D．或
9.正方形的四个顶点分别在抛物线和上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD中，则质点落在图中阴影区域的概率是 ( )

A. B. C. D.
10.已知函数的图象过点，且在上单调，把f(x)的图象向右平移个单位之后与原来的图象重合，当且时，，则( )
A. B. C. －1 D. 1
11.已知正三棱锥P﹣ABC的底面边长为3，侧棱长为，且三棱锥的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）
A. 20π B. 16π C. 12π D.
12.已知函数（为自然对数的底），若方程有且仅有四个不同的解，则实数的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4题，每小题5分，共20分。
13.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，，，当n=_______时，有最小值.
14.甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．
15.已知双曲线的右焦点为F，以F为圆心，焦距为半径的圆交y轴正半轴于点M，线段FM交双曲线于点P，且，则双曲线的离心率为________.
16.已知函数，函数，（），若对任意，总存在，使得成立，则a的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、（12分）已知的内角的对边分别为且.
(1)求；
(2)若的面积为,,求的周长.

18、（12分）为了了解邻水实验学校初中生周末运动时间，随机调查了3000名学生，统计了他们的周末运动时间，制成如下的频率分布表：
周末运动时间（分钟）

人数

（1）从周末运动时间在的学生中抽取3人，在的学生中抽取2人，现从这5人中随机推荐2人参加体能测试，记推荐的2人中来自的人数为X，求X的分布列和数学期望；
（2）由频率分布表可认为：周末运动时间服从正态分布，其中为周末运动时间的平均数近似为样本的标准差s，并已求得. 可以用该样本的频率估计总体的概率，现从扬州市所有高中生中随机抽取名学生，记周末运动时间在之外的人数为Y，求（精确到）；
参考数据1：当时，
.
参考数据2：

19、（12分）如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点．

（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．

20、（12分）在平面直角坐标系中，已知动点P满足.
（1）求动点P的轨迹E的方程；
（2）过点F的直线与E交于两点，记直线的斜率分别为，求证：为定值.

21、（12分）已知函数.
(1)若函数在区间(2,)内单调递增,求的取值范围；
(2)设,()是函数的两个极值点,证明： 恒成立.

请考生在第22/23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑。
22、（10分）在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C的极坐标方程为．
（1）写出曲线C的直角坐标方程与直线l的极坐标方程；
（2）若直线与曲线C交于点A（不同于原点），与直线l交于点B，求的值．

23、（10分）已知函数．
（1）求不等式解集；
（2）若关于x的不等式有解，求实数m的取值范围．

参考答案
1.答案：(1)由题设得.
由正弦定理得
∵∴,

所以或.
当,(舍)
故,
解得.
(2),从而.
由余弦定理得

.
解得.
∴.
故三角形的周长为.
解析：
2. 答案：解：（1）随机变量X的可能取值为，
，
X
0
1
2
P

所以
（2）
又，
所以
所以或，
所以，
所以

解析：
3.答案：（1）证明：如图，取中点，连接及．

∵分别为和的中点，
∴且，且，
∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴平面．
（2）如下图，以D为坐标原点，方向为x轴正方向，为y轴正方向，以垂直x轴，y轴方向为z轴建立空间直角坐标系，

∵且，
设，则，，
则，，
由图易知平面的法向量为，
设平面的法向量为，所以，
取，则．
∴，
∴二面角的正弦值为．

解析：
4.答案：（1）设，则，由知，化简得：，
即动点P的轨迹E方程为
（2）设过点的直线为：，
由得，
，
，
将代入得
故为定值
解析：
5.答案：(1)解：的定义域为,,
若满足题意,只要在恒成立即可,
即恒成立,又,所以,
(2)证明：,则的定义域为,,若有两个极值点,
则方程的判别式,
得,
所以,
设,其中,由得,
又,所以在区间内单调递增,在区间内单调递减,即的最大值为,从而恒成立
解析：
6.答案：（1）∵，∴，
∴曲线C的直角坐标方程为，即，
∵直线l的普通方程为，
∴直线l的极坐标方程为．
（2）将代入直线l的极坐标方程得，∴．
将代入曲线C的极坐标方程得，∴，∴．

解析：
7.答案：（1），
当时，，解得，故无解；
当时，，解得，∴；
当时，，解得，∴，
∴不等式解集为．
（2）依题意得，
∴，解得或，
∴m的取值范围为．