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2022届高考数学一轮复习 第四章 4.7 解三角形应用举例学案

2022届高考数学一轮复习 第四章 4.7 解三角形应用举例学案

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第七节　解三角形应用举例

【知识重温】
一、必记5个知识点
1．仰角和俯角
与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线①________时叫仰角，目标视线在水平视线②________时叫俯角．(如图所示)

2．方位角
一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角，如方位角45°，是指③__________________，即东北方向．
3．方向角

相对于某一正方向的角(如图)
(1)北偏东α：指从正北方向顺时针旋转α到达目标方向．
(2)东北方向：指北偏东45°或东偏北45° .
(3)其他方向角类似．

4．坡角
坡面与④________的夹角．(如图所示)
5．坡比
坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i＝＝tan α(i为坡比，α为坡角)．
二、必明1个易误点
　易混淆方位角与方向角概念：方位角是指北方向与目标方向线按顺时针之间的夹角，而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)俯角是铅垂线与视线所成的角，其范围为.(　　)
(2)若点P在点Q的北偏东44°，则点Q在点P的东偏北46°.(　　)
(3)方位角大小的范围是[0，π)，方向角大小的范围是.(　　)
二、教材改编
2．[必修5·P15练习 T1改编]从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β的关系为(　　)
A．α>β B．α＝β
C．α＋β＝90° D．α＋β＝180°
3．[必修5·P11例1改编]如图所示，

设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离为(　　)
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m

三、易错易混
4．一船向正北航行，看见正西方向相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这艘船的速度是每小时(　　)
A．5海里 B．5海里
C．10海里 D．10海里
5．若点A在点C的北偏东30°，点B在点C的南偏东60°，且AC＝BC，则点A在点B的________方向上．

　测量距离问题[自主练透型]
1.

如图所示，A，B两点在一条河的两岸，测量者在A的同侧，且B点不可到达，为了测出AB的距离，在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出∠ACB＝α，∠CAB＝β，在△ABC中，运用正弦定理就可求出AB.若测出AC＝60 m，∠BAC＝75°，∠BCA＝45°，则A，B两点间的距离为________m.

2．如图所示，要测量一水塘两侧A，B两点间的距离，其方法为：先选定适当的位置C，用经纬仪测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离．即AB＝.
若测得CA＝400 m，CB＝600 m，∠ACB＝60°，则A，B两点的距离为________ m.

　悟·技法
　测量问题中距离问题的解法
(1)选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题．
(2)根据已知条件，选择正弦定理或者余弦定理求解.
考点二　测量高度问题[互动讲练型]
[例1]　[2021·开封市高三模拟考试]国庆阅兵式上举行升国旗仪式，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，某同学在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，第一排和最后一排的距离为24.5米，则旗杆的高度约为 (　　)

A．17米 B．22米
C．30米 D．35米
悟·技法
求解高度问题应注意的3个问题
(1)在处理有关高度问题时，要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)、方向(位)角(它是在水平面上所成的角)是关键．
(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．
(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题.
[变式练]——(着眼于举一反三)

1．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，在A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

考点三　测量角度问题[互动讲练型]
[例2]　

[2021·武汉市武昌区调研]如图一艘海轮从A处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，以C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔时，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔时，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是(　　)
A．6海里 B．6海里
C．8海里 D．8海里

悟·技法
求解角度问题应注意
(1)明确方位角的含义；
(2)分析题意，分清已知与所求，再根据题意正确画出示意图，这是最关键、最重要的一步；
(3)将实际问题转化为可用数学方法解决的问题后，注意正、余弦定理的“联袂”使用.
[变式练]——(着眼于举一反三)

2．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile的水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察艇以每小时14 n mile的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，求红方侦察艇所需的时间和角α的正弦值．

考点四　正(余)弦定理在平面几何中的应用
[互动讲练型]
[例3]　[2020·江苏卷]在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝3，c＝，B＝45°.

(1)求sin C的值；
(2)在边BC上取一点D，使得cos∠ADC＝－，求tan∠DAC的值．

悟·技法
平面几何中解三角形问题的求解思路
(1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解．
(2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果.
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2021·武昌区高三年级调研考试]在△ABC中，已知AB＝，AC＝7，D是BC边上的一点，AD＝5，DC＝3.
(1)求B；
(2)求△ABC的面积．

第七节　解三角形应用举例
【知识重温】
①上方　②下方　③北偏东45°　④水平面
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)×　(3)×
2．解析：由已知及仰角、俯角的概念画出草图，如图，则α＝β.

答案：B
3.解析：由正弦定理得＝，又由题意得∠CBA＝30°，所以AB＝＝＝50(m)．
答案：A
4．解析：如图所示，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10(海里)，
在Rt△ABC中，得AB＝5(海里)，
于是这艘船的速度是＝10(海里/时)．

答案：C
5.

解析：如图所示，∠ACB＝90°，
又AC＝BC，
∴∠CBA＝45°，
而β＝30°，
∴α＝90°－45°－30°＝15°.
∴点A在点B的北偏西15°.
答案：北偏西15°
课堂考点突破
考点一
1．解析：∠ABC＝180°－75°－45°＝60°，
所以由正弦定理得，＝，
∴AB＝＝＝20(m)．
即A，B两点间的距离为20 m.
答案：20
2．解析：在△ABC中，由余弦定理得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，
∴AB2＝4002＋6002－2×400×600cos 60°＝280 000.
∴AB＝200(m)．
即A，B两点间的距离为200 m.
答案：200
考点二
例1　解析：如图所示，依题意知∠AEC＝45°，∠ACE＝180°－60°－15°＝105°，∴∠EAC＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理＝，可得AC＝×sin 45°＝(米)，

∴在Rt△ABC中，AB＝AC·sin∠ACB＝×sin 60°＝×＝≈30(米)．
答案：C
变式练
1．解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝30°，
∠ABC＝180°－75°＝105°，故∠ACB＝45°.
又AB＝600 m，故由正弦定理得＝，
解得BC＝300(m)．
在Rt△BCD中，CD＝BC·tan 30°＝300×＝100(m)．
答案：100
考点三
例2　解析：过点C向正南方向作一条射线CD，如图所示．

由题意可知，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ACD＝110°，
所以∠ACB＝110°－65°＝45°.
AB＝24×0.5＝12(海里)．
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，所以BC＝6海里．
故选A.
答案：A
变式练
2．解析：如图，设红方侦察艇经过x小时后在C处追上蓝方的小艇，
则AC＝14x，BC＝10x，∠ABC＝120°.

根据余弦定理得(14x)2＝122＋(10x)2－240xcos 120°，
解得x＝2.故AC＝28，BC＝20.
根据正弦定理得＝，
解得sin α＝＝.
所以红方侦察艇所需要的时间为2小时，角α的正弦值为.
考点四
例3　解析：(1)在△ABC中，因为a＝3，c＝，B＝45°，
由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝9＋2－2×3×cos 45°＝5，
所以b＝.
在△ABC中，由正弦定理＝，
得＝，
所以sin C＝.
(2)在△ADC中，因为cos∠ADC＝－，所以∠ADC为钝角，
而∠ADC＋C＋∠CAD＝180°，所以C为锐角．
故cos C＝＝，则tan C＝＝.
因为cos∠ADC＝－，所以sin∠ADC＝＝，
tan∠ADC＝＝－.
从而tan∠DAC＝tan(180°－∠ADC－C)＝－tan(∠ADC＋C)＝－＝－＝.
变式练
3．解析：(1)如图，在△ADC中，由余弦定理，得cos∠ADC＝＝－，

所以∠ADC＝120°，从而∠ADB＝60°.
在△ABD中，由正弦定理＝，得sin B＝，所以B＝45°.
(2)由(1)知∠BAD＝75°，且sin 75°＝.
所以S△ABD＝AB·ADsin∠BAD＝，
S△ADC＝DA·DCsin∠ADC＝，
所以S△ABC＝S△ABD＋S△ADC＝.