初中数学定理、公式汇编2.doc

个人收集整理 勿做商业用途 初中数学定理、公式汇编第一篇 数与代数第一节 数与式一、 实数1. 实数的分类：整数（包括：正整数、0、负整数)和分数（包括：有限小数和无限环循小数)都是有理数。如: 3,，0。231，0。737373，等；无限不环循小数叫做无理数. 如:，0。1010010001（两个1之间依次多1个0）等。有理数和无理数统称为实数。2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。3. 绝对值:在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作a。正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨_丨=；丨3。14丨=3.14。4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数,叫做互为相反数。a的相反数是a，0的相反数是0。 5. 有效数字：一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止,所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字.如：0.05972精确到0.001得0。060，结果有两个有效数字6,0。6. 科学记数法：把一个数写成a10n的形式（其中1a0时, y 随x的增大而增大(直线从左向右上升）；当k0时，y随x的增大而减小(直线从左向右下降）。特别:当b=0时，y=kx_又叫做正比例函数（y与x成正比例）,图象必过原点；一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数y=kx的图象沿y轴向上(b0）或向下(b0)平移的到一条直线,三。反比例函数1。定义:_的函数成为反比例函数2。图象和性质： 利用画函数图象的方法,可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=具有如下的性质（见下表）当k0时，函数的图象在第一、三象限,在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而减小；当k0时，函数的图象在第二、四象限,在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而增大 四。二次函数1.定义：_的函数称为二次函数。2.图象和性质:函数的图象是对称轴平行于y 轴的抛物线;开口方向：当a0时，抛物线开口向上,当a0时，抛物线开口向下；对称轴：过点（且平行于y轴的直线；顶点坐标（；增减性：当a0时,如果，则y随x的增大而减小，如果,则y随x的增大而增大；当a0时，如果，则y随x的增大而增大,如果，则y随x的增大而减小；3图象的平移:将二次函数y=ax2 (a0)的图象进行平移，可得到y=ax2c,y=a(xh）2，y=a(xh)2k的图象 将y=ax2的图象向上(c0）或向下（c 0)平移c|个单位，即可得到y=ax2c的图象其顶点是(0,c)形状、对称轴、开口方向与抛物线y=ax2相同 将y=ax2的图象向左（h0）或向右(h0）平移|h个单位，即可得到y=a(xh)2的图象其顶点是(h,0），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同 将y=ax2的图象向左（h0）或向右（h0）平移h|个单位，再向上（k0)或向下(k0）平移|k|个单位，即可得到y=a(xh)2 +k的图象,其顶点是（h，k），对称轴是直线x=h，形状、开口方向与抛物线y=ax2相同4. 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系:（1）一元二次方程就是二次函数当函数y的值为0时的情况 (2）当二次函数的图象与 x轴有两个交点时，则一元二次方程有两个不相等的实数根；当二次函数的图象与x轴有一个交点时,则一元二次方程ax2bxc0有两个相等的实数根；当二次函数yax2+ bx+c的图象与 x轴没有交点时，则一元二次方程没有实数根第二篇 空间与图形第一节 图形的认识一、点线面二、角1。角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。三、相交线与平行线1。余角、补角、对顶角(相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等； 对顶角相等. 2.垂直（1)垂线的性质：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；直线外一点有与直线上各点连结的所有线段中,垂线段最短；（2）线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线;（3）线段垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线； 3。平行（1）平行线的定义:在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线；(2）平行线的性质 ：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补(3）平行线的判定： 同位角相等,两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行;（4）平行的性质：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线.四、三角形1。三角形的有关概念。2。三角形的有关性质：三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于；三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和;三角形的三条角平分线交于一点（内心)；三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）；三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边,并且等于第三边的一半；3。全等三角形（1）定义:两个能够重合的三角形是全等三角形。(2）性质：全等三角形的对应边相等,对应角相等。（3）三角形全等的条件：_边角边（SAS）_角边角（ASA）_角角边（AAS）_边边边（SSS)_斜边、直角边（HL）4.等腰三角形（1）等腰三角形的性质:等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）;等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）（2）等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）;5。直角三角形（1)直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互为余角;直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半；（2)直角三角形的判定：有两个角互余的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长a、b 、c有下面关系，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。6。三角函数：在RtABC中，C=，SinA=,cosA=， tanA=；sinA=cosB; 0sinA1，0cosA0。A越大,A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小。特殊角的三角函数值：度数三角函数SinCostan1五、四边形1.多边形(1）多边形的内角和定理:n边形的内角和等于（n3，n是正整数）；（2)多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于。2平行四边形平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形,它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等角相等和直线平行的根据之一（1）平行四边形的定义。两组对边分别平行的四边形是平行四边形。（2)两条平行线间的距离：两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线间的距离两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相等（3） 平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行;平行四边形的两组对边分别相等;平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分（4）平行四边形的判定: 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形3.矩形(1） 定义:_叫做矩形.（2) 矩形的性质:（除具有平行四边形所有性质外）矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；（3）矩形的判定：有三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形;4.菱形(1）定义：_叫做菱形。（2）菱形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）菱形的四边相等；菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；(3）菱形的判定：四边相等的四边形是菱形;对角线互相垂直的平行四边形是菱形。5。正方形(1）定义:_叫做正方形.(2）正方形的性质：正方形的四边相等;正方形的四个角都是直角;正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角；(3）正方形的判定：有一个角是直角的菱形是正方形；有一组邻边相等的矩形是正方形。6。等腰梯形（1） 等腰梯形的性质：等腰梯形同一底边上的两个内角相等等腰梯形的两条对角线相等。（2)等腰梯形的判定：同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；两条对角线相等的梯形是等腰梯形。六、圆1.圆有关的概念： （1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径 (2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角 （3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角 （4）弧:圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧 （5）弦:连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径2.圆的有关的性质:（1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等；(2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧；（3)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数；（4）圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半(5)圆内接四边形:顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形圆内接四边形对角互补. (6）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角,反过来，的圆周角所对的弦是直径；(7)切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（8）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；（9)切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线的夹角；3三角形的内心和外心 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆 (2）三角形的外心:三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心 （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心4.点与圆的位置关系：点在圆外,点在圆上,点在圆内,设圆的半径为r，点到圆心的距离为d,则点在圆外dr点在圆上d=r点在圆内dr5直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高 设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则直线与圆相交dr，直线与圆相切d=r，直线与圆相离dr6.圆与圆的位置关系3设两圆的圆心距为d，两圆的半径分别为R和r，则 两圆外离dR+r; 两圆外切d=Rr； 两圆相交RrdR+r（Rr） 两圆内切d=Rr（Rr） 两圆内含dRr（Rr）7.圆有关的计算：(1）弧长计算公式：（R为圆的半径,n是弧所对的圆心角的度数，为弧长）（2）扇形面积:或（R为半径，n是扇形所对的圆心角的度数，为扇形的弧长） （3）圆锥:_.七、尺规作图(基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段,作一个角等于已知角；作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；八、视图与投影1视图：主视图、左视图、俯视图2基本几何体的三视图画法：（1)观察方向：正面、侧面、上面(2）视图特点：长对正，高平齐，宽相等（3）要注意实线与虚线的用法3。平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影4。中心投影：光线可以看成是从一点发出的,像这样的光线形成的投影称为中心投影第二节 图形与变换一。图形的轴对称1。轴对称的基本性质:对应点所连的线段被对称轴平分；2。等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形；二.图形的平移1、平移的概念:在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移,平移不改变图形的形状和大小注:(1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种,本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换(2）图形的平移有两个要素:一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的依据（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据2平移的基本性质:由平移的基本概念知，经过平移,图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移,对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等注：(1）要注意正确找出“对应线段,对应角”，从而正确表达基本性质的特征（2）“对应点所连的线段平行且相等，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据三.图形的旋转1。图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；2。中心对称图形:_3。平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数)、圆是中心对称图形；四。图形的相似1.比例的基本性质：如果,则，如果，则2。相似三角形的判定： 两组角对应相等；两边对应成比例且夹角对应相等；三边对应成比例3。相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等；相似三角形的对应边成比例；相似三角形的周长之比等于相似比；相似三角形的面积比等于相似比的平方；4。图形的位似与图形相似的关系:两个图形相似不一定是位似图形,两个位似图形一定是相似图形；第三篇 概率与统计一统计1.数据收集方法、数据的表示方法:统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图。2.总体与样本:所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体数目叫做样本容量。3.众数与中位数众数：在一组数据中，出现次数最多的数(有时不止一个)，叫做这组数据的众数。中位数：将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数.4。频率分布直方图把一组数分成若干个小组,组距=(最大值最小值）组数(求组数时,用收尾法取整数），这时，落在某小组内的数据的个数叫做这组的频数，每一小组的频数与数据总个数的比值叫做这一小组的频率（).因此, 各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1。在频率分布直方图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率.5.平均数的两个公式 n个数、, 的平均数为：； 如果在n个数中，出现次、出现次， 出现次，并且+=n，则，这时也叫加权平均数，其中，叫做权。6。极差、方差与标准差计算公式：(1）极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差=最大值-最小值；(2)方差：=（3)标准差:=二、概率 1.不可能事件、必然事件和随机事件_是不可能事件。_是必然事件._是随机事件. 2。等可能事件的概率:一般地，_那么事件A发生的概率为P（A）=。3.在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率;大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值.4频数、频率、概率：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小5概率的性质：P(必然事件）= 1,P（不可能事件)= 0，0P（不确定事件)16。频率、概率的区别与联系：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率，我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率