方差与频率分布-中考数学复习知识讲解例题解析强化训练.doc

2012年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练方差与频率分布知识讲解 1方差的定义 在一组数据x1，x2，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差通常用“S2”表示,即S2= （x1）2+（x2）2+（xn)2 2方差的计算 （1)基本公式 S2= (x1）2+(x2）2+（xn）2 (2)简化计算公式（） S2= (x12+x22+xn2)n2，也可写成S2=（x12+x22+xn2）2，此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方 （3)简化计算公式（） S2= （x12+x22+xn2)nx2 当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组数据x1=x1a，x2=x2a，xn=xna，那么S2= （x12+x22+xn2）n2，也可写成S2=（x12+x22+xn2)2记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方 3标准差的定义和计算 方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即 S= 4方差和标准差的意义 方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况 方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小 5频率分布的意义 前面学习的平均数与方差,反映了样本和总体的两个特征：平均水平和波动大小但是在许多问题中，只知道这些还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布 6研究频率分布的一般步骤及有关概念 （1)研究样本的频率分布的一般步骤： 计算极差（最大值与最小值的差）；决定组距与组数;决定分点；列频率分布表；画出频率分布直方图 （2）频率分布的有关概念： 极差：最大值与最小值的差； 频数：落在各个小组内的数据的个数； 频率：每一小组的频数与数据总体（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率 （3)几个重要的结论: 各小组的频数之和等于数据总数； 各小组的频率之和等于1; 频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，各小长方形面积之和等于1； 各小长方形的高与该组频数成正比 例题解析 例1 甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下(单位：分） 甲组：86 82 87 85 乙组：85 81 85 89 （1）分别计算这两组数据的平均数； （2)分别计算这两组数据的方差； （3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？ 【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差 【解答】（1）甲=（6+2+7+5）+80=85，乙=（5+1+5+9）+80=85（2）S甲2= （8685）2+（8285）2+（8785）2+(8585）2=3。5，S乙2= （8585)2+（8185）2+（8585)2+（8985)2=8 （3）S乙2S甲2，甲组学习成绩较稳定 【点评】方差是反映一组数据波动大小的量例2 为了迎接全市体育中考，某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试，并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩（单位：m，精确到0.01m)作为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组含最低值,不含最高值）已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2:4:6:5：3，其中1。802。00这一小组的频数为8，请根据有关信息解答下列问题： （1）这次调查的样本容量为_，2。402.60这一小组的频率为_ （2）请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内,并说明理由; (3）样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米？ （4）请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上(包括2。00m）的约有多少人？ 【分析】样本容量是样本数据,不带单位，确定中位数时，首先将样本数据按大小排序后再求出,然后分析落在哪个小组 【解答】（1)由于1。802.00小组的频数为8，占总份数中的4份，总份数是20分，故样本容量为:8=402.402。60这个小组的频率为320=0.15 （2）由于样本容量是40，则中位数是第20人和第21人成绩的平均数，而第20人和第21人的成绩均在2。002。20这个小组，则中位数落在2。002。20这个小组 （3）因为第一组到第五组人数依次为4人，8人,12人，10人，6人,则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m （4）初中男生立定跳远成绩在2.00m以上的约有500=350（人） 【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1，掌握它是解题的关键 强化训练 一、填空题 1（2005，荆门市）已知数据：1,2,1，0,1,2，0，1，这组数据的方差为_ 2（2005，宜昌市）甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶，从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，得到它们的实际质量的方差如下表所示根据表中数据,可以认为三台包装机中，_包装机包装的茶叶质量稳定甲包装机乙包装机丙包装机方差/g2 31。96 7.96 16。32 32005年沈阳市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查，共发放1000份调查问卷,并全部收回根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后,制成表1；将消费者打算购买住房的面积的情况整理后,制成表2,并作出部分频率分布直方图(如图) 表1 被调查的消费者年收入情况年收入/万元1.21.83。05.010.0被调查的消费者数/人2005002007030 表2 被调查的消费者打算购买住房的面积的情况分组/m2频数频率40。560.50。0460。580.50。1280。5100.50.36100.5120.5120。5140.50.20140.5160。50。04合 计10001.00 注：住房面积取整数 请你根据以上信息，回答下列问题： （1)根据表1可得,被调查的消费者平均年收入为_万元;被调查的消费者年收入的中位数是_万元；在平均数,中位数这两个数中，更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平； (2）根据表2可得,打算购买100。5120.5m2房子的人数是_人；打算购买住房面积不超过100m2的消费者的人数占被调查人数的百分数是_；（3）在下图中补全这个频率分布直方图 4青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注,某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理,得到如下频率分布表和频率分布直方图分组频数频率3.954。2520。044.254.5560.124。554。85254。855.150.045.155.4521。00合计 请你根据给出的图表回答: (1）填写频率分布表中未完成部分的数据 （2）在这个问题中，总体是_，样本容量是_ （3)在频率分布直方图中，梯形ABCD的面积是_（4）请你用样本估计总体，可以得到哪些信息（写一条即可）：_ 5甲,乙两种产品进行对比试验，得知乙产品比甲产品的性能更稳定，如果甲，乙两种产品抽样数据的方差分别是S甲2与S乙2，则它们的方差的大小关系是_ 6已知：一组数据1，x，1，2，0的平均数是0，这组数据的方差是_ 7若样本数据1，2，3，2的平均数是a,中位数是b，众数是c，则数据a，b，c的标准差是_ 8若已知一组数据：x1，x2，xn的平均数为x，方差为S2，那么另一组数据：3x12,3x22,3xn2的平均数为_,方差为_ 二、选择题 9在一次射击练习中,甲,乙两人前5次射击的成绩分别为（单位:环)甲：10 8 10 10 7 乙：7 10 9 9 10 则这次练习中,甲，乙两人方差的大小是（ ） AS甲2S乙2 BS甲2乙组成绩的众数；两组成绩的中位数均为80,但成绩80的人数甲组比乙组多,从中位数来看,甲组成绩总体比乙组好；成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好其中正确的共有（ )分数5060708090100人数甲组251013146乙组441621212 A2种 B3种 C4种 D5种 16(2005，盐城市）如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数， 那么这组数据的（ ） A平均数和方差都不变 B平均数不变，方差改变 C平均数改变,方差不变 D平均和方差都改变 三、解答题 17某校初三（1)班，三（2）班各有49名学生，两班一次数学测验中的成绩统计如下表：班 级平均分众数中位数标准差初三（1)班79708719.8初三(2）班7970795。2 (1）请你对下面的一段话给予简要分析： 初三（1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分,得70分的人最多,我得了85分，在班上可算上游！”（2）请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议 18武汉市教育局在中学开展的“创新素质实践行”中，进行了小论文的评比各校交论文的时间为5月1日至30日，评委会把各校交的论文的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图,已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4:6：4：1，第二组的频数为18请回答下列问题： (1）本次活动共有多少篇论文参加评比？ (2）哪组上交的论文数量最多？有多少篇?(3）经过评比，第四组和第六组分别有20篇，4篇论文获奖,问这两组哪组获奖率较高？ 19（2008，金华)九(3）班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛活动，老师将对学生的成绩按10分的组距分段,统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表,并绘制频数的分布直方图 九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布表分数段/分49。559。559。569.569。579.579。589。589。599。5组中值/分54。564.574.584。594.5频数a910145频率0.0500。2250。2500。350b (1）频数分布表中a=_，b=_; （2）把频数分布直方图补充完整;（3）学校设定成绩在695分以上的学生将获得一等奖或二等奖，一等奖奖励作业本15本及奖金50元，二等奖奖励作业本10本及奖金30元已知这部分学生共获得作业本335本，请你求出他们共获得的奖金 九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布直方图 20甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图628所示 （1）请填写下表:平均数方差中位数命中8环以上次数甲7 1.2 1乙5.4 （2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析 从平均数和方差相结合看； 从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）; 从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些）;从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力）21在“315”消费者权益日的活动中，对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度(以下称：用户满意度），分为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次为1分，2分，3分，4分 (1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数为_分；乙商品的用户满意度分数的众数为_分 （2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均分（精确到0。01） （3）请你根据所学统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高,并简要说明理由参考答案 1 2乙 3（1）2。39；1。8；中位数 （2）240；52 （3）略 4(1)第二列从上至下两空分别填15,50；第三列从上至下两空分别填0。5，0。3 （2）500名学生的视力情况；50 （3）0.8 (4)该校初中毕业年级学生视力在4.554.85的人数最多，约250人；或该校初中毕业年级学生视力在5.15以上的与视力在4。25以下的人数基本相等，各有20人左右 5S乙2S甲2 62 70 832 9S2 9A 10B 11C 12A 13A 14C 15D 16C 17（1）从平均数，众数和中位数角度分析； (2)平均分，众数均相同,但三（1)班的成绩中位数高，表示三（1)班成绩比三（2）班好，但三（2）班标准差比三（1)班小,表示三（2)班学生成绩较整齐 18(1）本次活动共有120篇文章参评 (2）第四组上交的论文数量最多,有36篇 (3)第六组获奖率最高 19（1）2 0。125 （2)图略 (3）由题中表得，有29名同学获得一等奖或二等奖 设有x名同学获得一等奖,则有（29x）名同学获得二等奖，根据题意得 15x+10（29x）=335 解得x=9 50x+30（29x）=1050， 所以他们得到的奖金是1050元 20(1)如下表:平均数方差中位数命中8环以上次数甲7 1.2 7 1乙 75。4 7。5 3 （2）平均数相同,S甲2S乙2， 甲成绩比乙稳定 平均数相同，甲的中位数乙的中位数 乙的成绩比甲好些 平均数相同,命中9环以上的次数甲比乙少 乙的成绩比甲好些 甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力 21(1)3 3 （2)甲商场抽查用户数为: 500+1000+2000+1000=4500（户）， 乙商场抽查用户数为： 100+900+2200+1300=4500（户) 所以甲商场满意度分数的平均值 =2。78（分） 乙商场满意度分数的平均值 =3。04（分） 答：甲，乙两商场用户满意度分数的平均值分别为2.78分，3.04分 (3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高（或较满意和很满意的人数较多），所以乙商场的用户满意度较多