方差与频率分布-中考数学复习知识讲解例题解析强化训练.doc

2012年中考数学复习教材回归知识讲解+例题解析+强化训练
方差与频率分布
◆知识讲解
1．方差的定义
在一组数据x1，x2，…，xn中，各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．通常用“S2”表示,即S2= ［（x1－）2+（x2－）2+…+（xn－)2］．
2．方差的计算
（1)基本公式
S2= [(x1－）2+(x2－）2+…+（xn－）2］
(2)简化计算公式（Ⅰ）
S2= [(x12+x22+…+xn2)－n2]，也可写成S2=（x12+x22+…+xn2）－2，此公式的记忆方法是：方差等于原数据平方的平均数减去平均数的平方．
（3)简化计算公式（Ⅱ）
S2= [（x`12+x`22+…+x`n2)－nx`2］．
当一组数据中的数据较大时，可以依照简化平均数的计算方法，将每个数据同时减去一个与它们的平均数接近的常数a，得到一组数据x`1=x1－a，x`2=x2－a，…x`n=xn－a，那么S2= ［（x`12+x`22+…+x`n2）－n`2］，也可写成S2=（x`12+x`22+…+x`n2)－`2．记忆方法是：方差等于新数据平方的平均数减去新数据平均数的平方．
3．标准差的定义和计算
方差的算术平方根叫做这组数据的标准差，用“S”表示，即
S==
4．方差和标准差的意义
方差和标准差都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小，我们所研究的权是这两组数据的个数相等、平均数相等或比较接近时的情况．
方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小．
5．频率分布的意义
前面学习的平均数与方差,反映了样本和总体的两个特征：平均水平和波动大小．但是在许多问题中，只知道这些还不够，还需要知道样本中数据在各个小范围所占的比例的大小，这就需要研究如何对一组数据进行整理,以便得到它的频率分布．
6．研究频率分布的一般步骤及有关概念
（1)研究样本的频率分布的一般步骤：
①计算极差（最大值与最小值的差）；②决定组距与组数;③决定分点；④列频率分布表；⑤画出频率分布直方图．
（2）频率分布的有关概念：
①极差：最大值与最小值的差；
②频数：落在各个小组内的数据的个数；
③频率：每一小组的频数与数据总体（样本容量n）的比值叫做这一小组的频率．
（3)几个重要的结论:
①各小组的频数之和等于数据总数；
②各小组的频率之和等于1;
③频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，各小长方形面积之和等于1；
④各小长方形的高与该组频数成正比．
◆例题解析
例1 甲、乙两个学习小组各4名学生的数学测验成绩如下(单位：分）
甲组：86 82 87 85 乙组：85 81 85 89
（1）分别计算这两组数据的平均数；
（2)分别计算这两组数据的方差；
（3）哪个学习小组学生的成绩比较整齐？
【分析】应用平均数计算公式和方差的计算公式求平均数和方差．
【解答】（1）甲=（6+2+7+5）+80=85，乙=（5+1+5+9）+80=85．
（2）S甲2= [（86－85）2+（82－85）2+（87－85）2+(85－85）2]=3。5，S乙2
= ［（85－85)2+（81－85）2+（85－85)2+（89－85)2]=8．
（3）∵S乙2>S甲2，∴甲组学习成绩较稳定．
【点评】方差是反映一组数据波动大小的量．
例2 为了迎接全市体育中考，某中学对全校初三男生进行了立定跳远项目测试，并从参加测试的500名男生中随机抽取了部分男生的测试成绩（单位：m，精确到0.01m)作为样本进行分析，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组含最低值,不含最高值）．已知图中从左到右每个小长方形的高比依次为2:4:6:5：3，其中1。80～2。00这一小组的频数为8，请根据有关信息解答下列问题：

（1）这次调查的样本容量为______，2。40～2.60这一小组的频率为_____．
（2）请指出样本成绩的中位数落在哪一小组内,并说明理由;
(3）样本中男生立定跳远的人均成绩不低于多少米？
（4）请估计该校初三男生立定跳远成绩在2.00m以上(包括2。00m）的约有多少人？
【分析】样本容量是样本数据,不带单位，确定中位数时，首先将样本数据按大小排序后再求出,然后分析落在哪个小组．
【解答】（1)由于1。80～2.00小组的频数为8，占总份数中的4份，总份数是20分，故样本容量为:8÷=40．2.40～2。60这个小组的频率为3÷20=0.15．
（2）由于样本容量是40，则中位数是第20人和第21人成绩的平均数，而第20人和第21人的成绩均在2。00～2。20这个小组，则中位数落在2。00～2。20这个小组．
（3）因为第一组到第五组人数依次为4人，8人,12人，10人，6人,则可求得样本中男生立定跳远的人均成绩不低于2.03m．
（4）初中男生立定跳远成绩在2.00m以上的约有×500=350（人）．
【点评】频率分布直方图中各小组频率之和为1，掌握它是解题的关键．

◆强化训练
一、填空题
1．（2005，荆门市）已知数据：1,2,1，0,－1,－2，0，－1，这组数据的方差为______．
2．（2005，宜昌市）甲、乙、丙三台包装机同时分装质量为400g的茶叶，从它们各自分装的茶叶中分别随机抽取了10盒，得到它们的实际质量的方差如下表所示．根据表中数据,可以认为三台包装机中，______包装机包装的茶叶质量稳定．

甲包装机
乙包装机
丙包装机
方差/g2
31。96
7.96
16。32
3．2005年沈阳市春季房交会期间，某公司对参加本次房交会的消费者进行了随机的问卷调查，共发放1000份调查问卷,并全部收回．根据调查问卷，将消费者年收入情况整理后,制成表1；将消费者打算购买住房的面积的情况整理后,制成表2,并作出部分频率分布直方图(如图)．
表1 被调查的消费者年收入情况
年收入/万元
1.2
1.8
3。0
5.0
10.0
被调查的消费者数/人
200
500
200
70
30
表2 被调查的消费者打算购买住房的面积的情况
分组/m2
频数
频率
40。5~60.5

0。04
60。5～80.5

0。12
80。5~100.5

0.36
100.5～120.5

120。5～140.5

0.20
140.5～160。5

0。04
合 计
1000
1.00
注：住房面积取整数
请你根据以上信息，回答下列问题：
（1)根据表1可得,被调查的消费者平均年收入为______万元;被调查的消费者年收入的中位数是______万元；在平均数,中位数这两个数中，更能反映出被调查的消费者年收入的一般水平；
(2）根据表2可得,打算购买100。5～120.5m2房子的人数是_____人；打算购买住房面积不超过100m2的消费者的人数占被调查人数的百分数是____；
（3）在下图中补全这个频率分布直方图．

4．青少年视力水平的下降已经引起全社会的关注,某校为了了解初中毕业年级500名学生的视力情况，从中抽查了一部分学生视力，通过数据处理,得到如下频率分布表和频率分布直方图．
分组
频数
频率
3.95~4。25
2
0。04
4.25~4.55
6
0.12
4。55~4。85
25

4。85～5.15

0.04
5.15~5.45
2
1。00
合计

请你根据给出的图表回答:
(1）填写频率分布表中未完成部分的数据．
（2）在这个问题中，总体是________，样本容量是________．
（3)在频率分布直方图中，梯形ABCD的面积是______．
（4）请你用样本估计总体，可以得到哪些信息（写一条即可）：________．

5．甲,乙两种产品进行对比试验，得知乙产品比甲产品的性能更稳定，如果甲，乙两种产品抽样数据的方差分别是S甲2与S乙2，则它们的方差的大小关系是_______．
6．已知：一组数据－1，x，1，2，0的平均数是0，这组数据的方差是_____．
7．若样本数据1，2，3，2的平均数是a,中位数是b，众数是c，则数据a，b，c的标准差是_______．
8．若已知一组数据：x1，x2，…，xn的平均数为x，方差为S2，那么另一组数据：3x1－2,3x2－2,…,3xn－2的平均数为______,方差为______．
二、选择题
9．在一次射击练习中,甲,乙两人前5次射击的成绩分别为（单位:环)
甲：10 8 10 10 7 乙：7 10 9 9 10
则这次练习中,甲，乙两人方差的大小是（ ）
A．S甲2〉S乙2 B．S甲2<S乙2 C．S甲2=S乙2 D．无法确定
10．已知甲,乙两组数据的平均数相等,若甲组数据的方差S甲2=0。055,乙组数据的方差S乙2=0.105,则( )
A．甲组数据比乙组数据波动大 B．乙组数据比甲组数据波动大
C．甲组数据与乙组数据的波动一样大 D．甲,乙两组数据的波动大小不能比较
11．(2005，宜昌市）衡量样本和总体的波动大小的特征数是（ ）
A．平均数 B．众数 C．标准差 D．中位数
12．某少年军校准备从甲，乙，丙三位同学中选拔一人参加全市射击比赛，他们在选拔比赛中，射靶十次的平均环数是甲=乙=丙=8。3，方差分别是S甲2=1。5，S乙2=2.8，S丙2=3.2．那么，根据以上提供的信息，你认为应该推荐参加全市射击比赛的同学是（ )
A．甲 B．乙 C．丙 D．不能确定
13．（2005，广州市）甲，乙两人在相同情况下，各射靶10次，两人命中环数的平均数是甲=乙=7，方差S甲2=1。0,S乙2=1.2,则射击成绩较稳定的是（ ）
A．甲 B．乙 C．一样 D．不能确定
14．为参加电脑汉字输入比赛，甲和乙两位同学进行了6次测试，成绩如表所示：
甲和乙两位同学6次测试成绩（每分钟输入汉字个数）及部分统计数据表

第1次
第2次
第3次
第4次
第5次
第6次
平均数
方差
甲
134
137
136
136
137
136
136
1.0
乙
135
136
136
137
136
136
136

有四位同学在进一步算得乙测试成绩的方差后分别作出了以下判断，其中说法正确的是( ）
A．甲的方差大于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定
B．甲的方差小于乙的方差，所以甲的成绩比较稳定
C．乙的方差小于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定
D．乙的方差大于甲的方差，所以乙的成绩比较稳定
15．在一次科技知识竞赛中，两组学生成绩统计如下表,通过计算可知两组的方差为S甲2=172,S乙2=256．下列说法:①两组的平均数相同；②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定;③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数；④两组成绩的中位数均为80,但成绩≥80的人数甲组比乙组多,从中位数来看,甲组成绩总体比乙组好；⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多，高分段乙组成绩比甲组好．其中正确的共有（ )
分数
50
60
70
80
90
100
人
数
甲组
2
5
10
13
14
6
乙组
4
4
16
2
12
12
A．2种 B．3种 C．4种 D．5种
16．(2005，盐城市）如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数， 那么这组数据的（ ）
A．平均数和方差都不变 B．平均数不变，方差改变
C．平均数改变,方差不变 D．平均和方差都改变
三、解答题
17．某校初三（1)班，三（2）班各有49名学生，两班一次数学测验中的成绩统计如下表：
班 级
平均分
众数
中位数
标准差
初三（1)班
79
70
87
19.8
初三(2）班
79
70
79
5。2
(1）请你对下面的一段话给予简要分析：
初三（1)班的小刚回家对妈妈说：“昨天的数学测验，全班平均79分,得70分的人最多,我得了85分，在班上可算上游！”
（2）请你根据表中数据，对这两个班的测验情况进行简要分析，并提出教学建议．

18．武汉市教育局在中学开展的“创新素质实践行”中，进行了小论文的评比．各校交论文的时间为5月1日至30日，评委会把各校交的论文的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图,已知从左到右各长方形的高的比为2：3：4:6：4：1，第二组的频数为18．请回答下列问题：
(1）本次活动共有多少篇论文参加评比？
(2）哪组上交的论文数量最多？有多少篇?
(3）经过评比，第四组和第六组分别有20篇，4篇论文获奖,问这两组哪组获奖率较高？

19．（2008，金华)九(3）班学生参加学校组织的“绿色奥运”知识竞赛活动，老师将对学生的成绩按10分的组距分段,统计每个分数段出现的频数，填入频数分布表,并绘制频数的分布直方图．
九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布表
分数段/分
49。5~59。5
59。5～69.5
69。5～79.5
79。5~89。5
89。5~99。5
组中值/分
54。5
64.5
74.5
84。5
94.5
频数
a
9
10
14
5
频率
0.050
0。225
0。250
0。350
b
(1）频数分布表中a=_____，b=___;
（2）把频数分布直方图补充完整;
（3）学校设定成绩在69．5分以上的学生将获得一等奖或二等奖，一等奖奖励作业本15本及奖金50元，二等奖奖励作业本10本及奖金30元．已知这部分学生共获得作业本335本，请你求出他们共获得的奖金．

九（3）班“绿色奥运”知识竞赛成绩频数分布直方图

20．甲、乙两人在相同条件下各射靶10次,每次射靶的成绩情况如图6－28所示．
（1）请填写下表:

平均数
方差
中位数
命中8环以上次数
甲
7
1.2

1
乙

5.4

（2）请从下列四个不同的角度对这次测试结果进行分析．
①从平均数和方差相结合看；
②从平均数和中位数相结合看（分析谁的成绩好些）;
③从平均数和命中9环以上的次数相结合看(分析谁的成绩好些）;
④从折线图上两人射击命中环数的走势看(分析谁更有潜力）．

21．在“3．15”消费者权益日的活动中，对甲、乙两家商场售后服务的满意度进行了抽查．如图反映了被抽查用户对两家商场售后服务的满意程度(以下称：用户满意度），分为很不满意，不满意，较满意，很满意四个等级，并依次为1分，2分，3分，4分．

(1）请问：甲商场的用户满意度分数的众数为_____分；乙商品的用户满意度分数的众数为_______分．
（2）分别求出甲、乙两商场的用户满意度分数的平均分．（精确到0。01）
（3）请你根据所学统计知识，判断哪家商场的用户满意度较高,并简要说明理由．

参考答案
1． 2．乙
3．（1）2。39；1。8；中位数 （2）240；52％ （3）略
4．(1)第二列从上至下两空分别填15,50；第三列从上至下两空分别填0。5，0。3 （2）500名学生的视力情况；50 （3）0.8 (4)该校初中毕业年级学生视力在4.55～4.85的人数最多，约250人；或该校初中毕业年级学生视力在5.15以上的与视力在4。25以下的人数基本相等，各有20人左右
5．S乙2〈S甲2 6．2 7．0 8．3－2 9S2
9．A 10．B 11．C 12．A 13．A 14．C 15．D 16．C
17．（1）从平均数，众数和中位数角度分析；
(2)平均分，众数均相同,但三（1)班的成绩中位数高，表示三（1)班成绩比三（2）班好，但三（2）班标准差比三（1)班小,表示三（2)班学生成绩较整齐．
18．(1）本次活动共有120篇文章参评
(2）第四组上交的论文数量最多,有36篇
(3)第六组获奖率最高．
19．（1）2 0。125 （2)图略
(3）由题中表得，有29名同学获得一等奖或二等奖．
设有x名同学获得一等奖,则有（29－x）名同学获得二等奖，根据题意得
15x+10（29－x）=335．
解得x=9．
∴50x+30（29－x）=1050，
所以他们得到的奖金是1050元．
20．(1)如下表:

平均数
方差
中位数
命中8环以上次数
甲
7
1.2
7
1
乙
7
5。4
7。5
3
（2）①∵平均数相同,S甲2〈S乙2，
∴甲成绩比乙稳定．
②∵平均数相同，甲的中位数<乙的中位数．
∴乙的成绩比甲好些．
③∵平均数相同,命中9环以上的次数甲比乙少．
∴乙的成绩比甲好些．
④甲成绩在平均数上下波动，而乙处于上升势头，从第4次以后就没有比甲少的情况发生，乙较有潜力．
21．(1)3 3
（2)甲商场抽查用户数为:
500+1000+2000+1000=4500（户），
乙商场抽查用户数为：
100+900+2200+1300=4500（户)．
所以甲商场满意度分数的平均值
=≈2。78（分）．
乙商场满意度分数的平均值
=≈3。04（分）
答：甲，乙两商场用户满意度分数的平均值分别为2.78分，3.04分．
(3）因为乙商场用户满意度分数的平均值较高（或较满意和很满意的人数较多），所以乙商场的用户满意度较多．