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“胡不归模型”——中考最值专题(一)
“胡不归模型”——中考最值专题(一)

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“胡不归模型"——中考最值专题（一）

【教学重难点】

1．“胡不归”之情景再现，模型识别

2．本质：“两定一动"型 —— 系数不为 1 的最值问题处理

3．三步处理：①作角；②作垂线；③计算

【模块一 模型识别】

从前，有一个小伙子在外地学徒,当他获悉在家的老父亲病危的消息后，便立即启程赶路．由于思乡

心切，他只考虑了两点之间线段最短的原理，所以选择了全是沙砾地带的直线路径 A→ B（如图所示)，而忽视了走折线虽然路程多但速度快的实际情况,当他气喘吁吁地赶到家时，老人刚刚咽了气，小伙子失

声痛哭．邻居劝慰小伙子时告诉说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？···"．这个古老的传说，引起了人们的思索，小伙子能否提前到家？倘若可以，他应该选择一条怎样的路线呢？这就是风靡千百年的“胡不归问题"．

法国著名数学家费马 （ Fermat ，1601－ 1665），他在与数学家笛卡尔讨论光的折射现象时，偶然发现，如果把胡不归故事中的小伙子看作“光粒子”，然后，根据光的折射定律建立数学模型，就可以非常巧妙

地解决“胡不归”问题．费马解决“胡不归"问题的过程，告诉我们许多科学领域都是互相渗透、互为辅成的．我们应该多多涉猎各方面知识，才能最大限度提升自我,走向成功．

B

模型识别:

沙 砾 地 带
问题本质:

操作步骤：
A
高速公路
C

D

【模块二 几何类型·选择题 & B 填】

【例 1】

1．( 2012 ·崇安模拟）如图， △ ABC 在平面直角坐标系中,
AB =AC,A（ 0，

2 2 ）， C（1，0）, D 为射线 AO 上一点，一动点
P 从 A 出发，运动路径

为 A→ D→ C，点 P 在 AD 上的运动速度是在
CD 上的 3 倍，要使整个过程运

动时间最少,则点
D 的坐标应为（

)

A。
B.
（0，
2
）
C.
（0，
2
）

D .
（0，
2
）

(0， 2)

2

3

4

2．（ 2015 ·无锡二模） 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC 上有一动点 P,BC=6 ， ∠ ABC=150°,则 PA+PB +PD 的最小值为 __________ ．

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【模块三 A20 圆综合】

【例 2】( 2015·内江）如图，在 △ACE 中， CA=CE， CAE=30°，⊙ O 经过点 C，且圆的直径 AB 在线段 AE 上．

（ 1)试说明 CE 是⊙ O 的切线；

（ 2）若 △ ACE 中 AE 边上的高为 h，试用含 h 的代数式表示⊙ O 的直径 AB；
( 3）设点 D 是线段 AC 上任意一点(不含端点）,连接 OD，当 1 CD+OD 的最小值为 6 时,求⊙ O 的 AB
2

的长．

【模块三 二次函数综合·压轴】
【例 3】（ 2014·成都改编)如图，已知抛物线y
k
2）( x 4） （k 为常数， k〉0）与 x 轴从左至右依次交

（ x

8

于点 A、B，与 y 轴交于点 C，经过点 B 的直线 y
3 x
b 与抛物线的另一个交点为 D．

3

（ 1）若点 D 的横坐标为－
5，求抛物线的函数关系式；

（ 2）在（ 1）的条件下，设
F 为线段 BD 上一点(不含端点）,连接
AF ，一动点 M 从点 A 出发，沿线段

AF 以每秒 1 个单位的速度运动到
F,再沿线段
FD 以每秒
2 个单位的速度运动到 D 后停止，当点 F 的坐

标为多少时，点 M 在整个运动过程中用时最少？

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【例 4】（ 2015·日照改编）如图,抛物线
1
2
与直线

1

y
x mx n
y
x
3
交于
、
B
两点，交
x
轴

2

A

2

于 D 、C 两点，连接 AC 、BC，已知 A（ 0， 3）， C（3， 0）．

（ 1）抛物线的函数关系式为 ____________________ , tan∠ BAC=__________ ；

（ 2）设 E 为线段 AC 上一点（不含端点），连接 DE,一动点 M 从点 D 出发，沿线段 DE 以每秒一个单位

的速度运动到 E 点,再沿线段 EA 以每秒 2 个单位的速度运动到点 A 后停止，当点 E 的坐标是多少时,点 M 在整个运动过程中用时最少？

2
【例 5】( 2016·徐州改编）如图,在平面直角坐标系中，二次函数 y=ax +bx+c 的图像经过点 A(－ 1，0）,B( 0，－ 3 ）， C（2， 0），其中对称轴与 x 轴交于点 D．（ 1）求二次函数的表达式及其顶点坐标；

（ 2）若 P 为 y 轴上的一个动点，连接 PD，则 1 PB PD 的最小值为 __________ ．
2

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【例 6】（ 2016·随州改编）已知抛物线
y a （x 3)（ x
，与 x 轴从左至右依次相交于
A、B 两点，

1）（a 0）

与 y 轴交于点 C，经过点 A 的直线 y
3x b 与抛物线的另一个交点为
D．

（ 1）若点 D 的横坐标为 2，则抛物线的函数关系式为
____________________;

（ 2)在（ 1）的条件下，设点 E 是线段 AD 上一点（不含端点），连接
BE，一动点 Q 从点 B 出发，沿线

段 BE 以每秒 1 个单位的速度运动到点
E，再沿线段 ED 以每秒 2 3 个单位运动到点 D 停止，问当点 E 的

3

坐标为多少时,点 Q 运动的时间最少？

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