基于动力学平均场的光晶格超冷原子量子模拟.pdf

国防科技大学建校 70 周年专题基于动力学平均场的光晶格超冷原子量子模拟*谭辉1)曹睿1)李永强1)2)1)(国防科技大学理学院,长沙410073)2)(国防科技大学,极端条件物理与应用湖南省重点实验室,长沙410073)(2023年 4月 29 日收到;2023年 6月 17 日收到修改稿)随着原子冷却技术与光晶格技术的发展,光晶格与超冷原子气体组成的量子系统已经成为量子模拟中的有力工具.光晶格纯净和高度可控的性质赋予其强大的调控能力,如今,人们可以模拟更复杂和有趣的物理现象,从而加深对量子多体物理的认识.本文综述了近年来本课题组利用玻色动力学平均场理论对强关联区间的光晶格玻色体系进行的一系列研究,包括多组分玻色体系、高轨道玻色体系以及存在长程相互作用的体系等.通过玻色动力学平均场理论的计算,揭示了从弱相互作用区间到强相互作用区间出现的丰富物理现象,包括不同磁序的量子相、多步凝聚、超固体相以及高轨道体系中的自旋-角动量耦合和阻挫效应.关键词：冷原子量子模拟,玻色动力学平均场理论,量子相变PACS：37.10.JkDOI:10.7498/aps.72.202307011引言量子模拟简而言之就是利用其他可控的量子多体系统对真实复杂量子系统进行实验或理论研究的一种方法1.光晶格中的超冷原子气体由于系统参数可控和成熟的实验技术,已经成为了一个完善的量子模拟实验平台2,3.光晶格通常是由相干激光束形成的,通过控制激光的数目和角度来实现不同维度46和不同结构711的周期性晶格结构,从而模拟固体中的晶格.在光晶格中,人们可以自由调节晶格深度6,可以研究晶格无序性,还可以设计出有等效磁场的系统,其磁场强度可以达到目前固体物理实验室中最大磁场的数百倍12.除此之外,人们可以精确控制激光的相对相位,实现可编程的连续可调晶格系统,这些实验技术大大拓展了光晶格的调控和模拟能力13,14.中性原子在激光的交变电场中被极化,从而受到偶极力被陷俘在这样的周期性光晶格中15.根据激光波长的不同,光晶格中的原子被陷俘在波结或波腹,这种相干激光束产生的周期性晶格势会产生一系列布洛赫能带.一般而言,原子在转移到光学晶格之前就被冷却到了足够低的温度,因此在绝热地装载在光晶格后只有最低的布洛赫带被填充,当晶格势足够深时,该体系可以用一个简单的单能带紧束缚模型描述16,该模型主要包含原子在格点上的相互作用以及在格点间的跃迁振幅,通过调节晶格深度或者通过费什巴赫(Feshbach)共振1719改变跃迁振幅与原子间相互作用的比值大小可以观察到丰富的量子相.1995 年,玻色-爱因斯坦凝聚首次在实验中被观察到20,21,六年后 Greiner 研究组6成功将原子装载在光晶格中并观察到了著名的莫特绝缘相,莫特绝缘相是一个典型的强关联相,由于原子间的相互作用非常强,原子局域在各个格点上,每个格点上的粒子数都是整数.这一想法最开始来自 Jaksch和他的同事22,他们提出光晶格中的原子可以模*国家自然科学基金(批准号:12074431,12374252)和湖南省杰出青年科学基金(批准号:2021JJ10044)资助的课题.通信作者.E-mail:li_2023中国物理学会ChinesePhysicalSocietyhttp:/物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-1拟固体材料中的电子行为,并模拟哈伯德模型.在Greiner 等的实验之后,利用光晶格中的超冷原子进行量子模拟的实验和理论研究如雨后春笋般大量涌现.基于光晶格中超冷原子的量子模拟也成为了现代物理中不可或缺的一部分2331.随着实验技术的发展,人们开始对自旋玻色体系进行研究32,这里的自旋可以是原子不同的超精细态,也可以是不同种类的原子.在这样的体系中,自旋关联起着重要作用,并且会带来不同于标量玻色子体系的物理现象.在最近的实验中,旋量超冷玻色体系已经被实现了3337,并出现了非常广泛的研究,如自旋混合38,39、自旋波40,41、自旋动力学4246、自旋图案4749以及相变5052.这些实验为研究自旋关联凝聚体中的量子现象提供了新的路径,也激起了对光晶格中旋量玻色气体的进一步研究5358.此外,研究表明:在外加磁场下,体系基态的简并被打破,自旋相互作用与原子间短程相互作用的竞争会引起丰富的强关联量子相31,32,59,60.除了原子间的短程相互作用,长程相互作用也是强关联体系中的一个重要组成部分,具有长程相互作用的体系倾向于形成新的量子相61.长程相互作用通常出现在材料科学中,并与短程相互作用竞争导致空间调制相的出现62.在光晶格超冷原子体系中有两种方式可以带来长程相互作用:一是利用超冷原子间的偶极力61;二是将原子与高精细腔耦合,腔场自洽地将所有原子耦合在一起,可以等效地认为原子间具有长程相互作用6366.偶极玻色-爱因斯坦凝聚体67、极性分子68和耦合到光学腔63,69的玻色-爱因斯坦凝聚体的实验实现,为具有长程相互作用的量子气体的研究开辟了新的道路,也为研究具有新奇性质的量子相提供了更多的途径.此外,轨道自由度也是量子材料中重要的组成部分,其与自旋自由度、电荷自由度等一起构成了量子材料的物理特性.对于轨道自由度的研究,极大地丰富了人们对于基础物理机制的认知.在冷原子量子模拟中,这种高轨道原子系统具有的空间各向异性,带来了丰富的物理现象7079.在实验方面,随着技术的不断提高,高轨道冷原子的相关实验也取得了丰硕的成果.最早在实验室观测到 p 能带现象是 2007 年由 Bloch 研究组80实现的,之后汉堡大学的 Hemmerich 小组81,82利用二分晶格px+ipy(bipartitelattice)实现了正方晶格的 p 轨道玻色凝聚,并观测到 p 能带玻色系统中存在 的手征超流.近年来,随着实验技术的不断提高,三角晶格、六角晶格的 p 轨道玻色系统和高轨道费米系统83,84也已经被实现,并观察到了非常有趣的物理现象75,8589.总的来说,光晶格中的超冷原子为量子多体问题的模拟提供了理想的平台,在凝聚态物理、统计物理、量子化学、高能量物理等领域中都起着重要作用90.第 2 部分详细介绍玻色动力学平均场理论,该理论对于研究高维强关联体系是非常有效的.第 3,4,5 部分分别介绍了我们近几年在旋量玻色体系、存在长程相互作用体系、高轨道玻色体系的研究.最后是总结和展望.2玻色动力学平均场理论在多体系统中,由于粒子间复杂的相互作用,整个体系是密切关联在一起的,因此理论求解是非常困难的.要处理多体系统,只能采取近似处理、数值求解的方法.目前研究多体系统的方法有平均场理论、密度矩阵重整化群、量子蒙特卡罗方法、动力学平均场理论(dynamicalmean-fieldtheory,DMFT)、精确对角化等.本文主要介绍玻色动力学平均场理论(Bosonicdynamicalmean-fieldtheory,BDMFT).动力学平均场理论的研究始于 1989 年,Vollh-ardt 和 Metzner91研究发现无穷维度下 Fermion-Hubbard 模型可以进行简化.同年,Hartmann92,93指出在无穷维下关联将变得局域,动量将不再重要,这种局域的关联具有动力学属性,任何非局域的关联效应都可以用一个静态的平均场描述.之后,1991 年,Jani94利用动力学干涉势近似理论给出了无穷维下 Hubbard 模型的格林函数和自能的泛函方程.在此基础上,Georges 与 Kotliar95利用 Anderson 杂质模型将 DMFT 的自洽方程推广到了 Hubbard 模型,DMFT 的基本框架构建完成.从 1989 年开始,到 1991 年结束,短短三年的时间,动力学平均场理论就建立完成,动力学平均场理论被广泛地用于材料计算、多体系统等,拓展了数值求解物理问题的计算方法,是处理多体问题的一种高效的计算手段.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-2动力学平均场的核心思想是无穷维极限下系统的局域性.在无穷维度下,自能是严格局域的,系统的空间涨落被冻结,只剩下了局域的量子涨落,此时就可以将多体系统解耦成单体问题,因此动力学平均场理论是一种考虑了局部量子涨落的数值方法,如图 196所示.在无穷维度下自能是严格局域的,因此动力学平均场理论对于低维度问题的计算误差比较大,但随着研究发现,二维、三维的多体系统中动力学平均场理论的结果也令人满意9799.因此,动力学平均场理论是计算二维及以上维度强关联、弱耦合区间的一个主要方法.Boson reservoir(normal)Boson reservoir(BEC)TimeCorrelated latticebosons图1玻色动力学平均场示意图.通过与普通玻色子热库和玻色-爱因斯坦凝聚热库耦合96,多体格点问题退化为一个单格点问题Fig.1.Schematic picture of BDMFT.In BDMFT,themany-body lattice problem is reduced to a single latticeproblemcouplingwithnormalBosonicreservoirandreser-voirofBose-Einsteincondensate(BEC)96.考虑一个一般的 Bose-Hubbard 模型,其哈密顿量可写为H=i,j,(tbi,bj,+H.c.)+12i,U ni,(ni,)i,ni,(1),bi,(bi,)ni,bi,bi,ti,jU其中 表示不同组分的玻色子,是格点 i 上 n 组分玻色子的产生(湮灭)算符,是格点 i 处 n 组分玻色子的粒子数算符,为跃迁振幅,表示最近邻格点,和 分别是相互作用和化学势,为克罗内克符号.在巨正则系综下,可以把系统的配分函数写为96,100,101Z=Db,beSb,b,(2)Db,b=i,dbi,dbi,bi,式中,此处的 是一个复数场.对应的作用量可写为S b,b=0d(i,bi,()bi,()+H()=0di,bi,()()bi,()i,j,t(bi,()bj,()+c.c.)+12i,Uni,()(ni,(),(3)=ittH()=1/(kBT)kBS0SS(0)S0i=0式中,是根据时间 定义的虚时;为虚时下的体系哈密顿量;,其中 为玻尔兹曼常数,T 为体系的温度.可以将作用量分成 3 个部分 ,和 ,其中,是只有格点 的有效作用量,即S0=0db0,()()b0,()+12,Un0,()(n0,();(4)Si=0 是仅包含了 格点与其周围格点的跃迁过程的作用量,S=0di,t(b0,()bi,()+c.c.)0dS();(5)S(0)i=0最后的 则包含了所有跟 格点无关的项,S(0)=0di=0,bi,()()bi,()i,j,t(bi,()bj,()+c.c.)+12i=0,Uni,()(ni,(),(6)式中的 是除了 0 格点外所有的最近邻的求和符号.因此,可以将系统的配分函数写成Z=Db0,b0,eS0(D(0)b0,b0,eSeS(0).(7)S(0)考虑到,描述的系综平均值可以写成A0=1Z(0)D(0)b0,b0,AeS(0),(8)物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-3代入(7)式,配分函数被写成Z=Db0,b0,eS0Z(0)eS0,(9)eS0i,()=bi,()0将 展开到二阶,引入超流序参量 和连通格林函数G(0)i,j(1,2)=bi(1)bi(1)0bi(1)bi(1)0(bj(2)bj(2)0bj(2)bj(2)0)T,(10)最终可以将配分函数写成Z=Z(0)Db0,b0,eS0exp0di,tb0,()i,()+b0,(),i()+0d1d2i,j,ttG(0)i,j(1,2).(11)(i=0)观察(11)式的形式,可以定义一个有效的杂质格点 的配分函数ZimpZZ(0)=Db0,b0,eSimp,(12)其中杂质格点的作用量可写成Simp=0d1d2(b0(1)b0(1)TG10,(1 2)(b0(2)b0(2)+0d12Un0()(n0()i,t(b0()i,()+c.c.),(13)(13)式中引入了 Weiss 格林函数,有G10,(1 2)=(1z)+G(0)i,j,(14)zt zt其中,是泡利矩阵.由于考虑的是高维情况,为了使得此时动能不发散,需要对跃迁项做变换,z 是配位数96,97,102.其原因是在计算最近邻跃迁的过程中,会多出一个配位数 z,因此在无穷维度下,会出现动能发散的情况,故需要在此处进行一个修正.上面的这种将杂质格点从整个多体系统中解耦出来,变成一个杂质格点与热浴耦合的方法,被称为“空腔方法”96,97,103.在松原频率的表象下,Weiss 格林函数可写成G10,(in)=(inz+)tti,jG(0)i,j(in),(15)n=2n/其中,是松原频率.Weiss 格林函数满足 Dyson 方程:G10,=imp(in)+G1lat(in),(16)imp式中,是杂质格点的自能;杂质格点的格林函G1lat(in)数 满足G1lat(in)=k1inz+imp(in)k,(17)k(k,in)imp(in)impG10,(in)impG10,(in)其中,是色散关系.在这里,近似认为自能是个局域的量,即 .这个近似在系统处于无穷维度时是严格成立的,在高维下基本符合.但这种近似无法处理由空间关联所带来的物理现象,对于长程相互作用、自旋液体等物理问题无法得到很好的结果.现在,和 互相包含了对方,DMFT 的自洽回路已形成.给 Weiss格林函数一个试探值,就可以求解作用量(13)式,之后就可求出自能 等物理量,利用 Dyson 方程(16),可以得到新的 ,构成一个自洽回路.在上面的自洽过程中,求解作用量是非常困难的,因此比较好的方法是将作用量映射到可以求解的模型上.这个可解的模型要能够较为完美地描述杂质格点与环境的物理状态,对于杂质格点不仅要物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-4考虑到单格点,还需要考虑到其和环境的关联,Georges 和 Kotliar95提出 Anderson 杂质模型的映射方法是现在 DMFT 广泛使用的方法.Anderson杂质模型哈密顿量可写为103,104HA=zt(b+H.c.)+12U n(n)n+ll al al+l,(V,l alb+W,l alb+H.c.),(18)allV,lW,ll,Vl,Wl(18)式中,相互作用部分和化学势直接从 Hubbard 模型中得到.玻色-爱因斯坦凝聚的玻色子热库由超流序参量 描述,普通玻色子的热库由一定数目的轨道表示,其中 和 为轨道的产生算符和能量.杂质格点通过正常跃迁振幅 和反常跃迁振幅 与轨道耦合起来,因此 也被称为 Anderson 参数.哈密顿量(18)的作用量分别有杂质部分作用量Sloc=0db()()b()zt()b()+c.c.)+,U2n()(n()(19)和轨道部分作用量SO=0dlal()(l+)al()+Vlal()b()+al()b()+Wlal()b()+al()b().(20)将轨道部分积出去,Anderson 杂质模型的有效作用量可以写成Seff=0d1d2,b(1)(1z)+,(1,2)b(2)+0d,12Un()(n()zt(b()()+c.c.),(21)其中,引入了南部表象b()=(b()b(),b()=(b()b(),(22)以及杂质函数矩阵,(1,2)=(1,(1,2)2,(1,2)(2,)(1,2)(1,)(1,2).(23)通过对比相互作用量,在松原频率表象下,有(in)=tti,jG0i,j(in),(24)此时杂质函数为1(in)l(V,lV,ll in+W,lW,ll+in),2(in)l(V,lW,ll in+W,lV,ll+in).因此,可以得到 Weiss 格林函数新的表达方式如下:G1(in)=(inz+),(in).(25)对于 Anderson 杂质模型,可以利用数值的方式求解这个单体哈密顿量.在动力学平均场方法中,这种求解 Anderson 杂质模型所用不同的数值手段就叫做杂质求解器.常用的杂质求解器有精确对角化105,106、量子蒙特卡罗方法107、数值重整化群108等.对应于不同的物理系统,杂质求解器的选取非常重要.通过杂质求解器求解 Anderson 杂质模型,就可以得到哈密顿量的本征态和本征能量,以及超物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-5流序参量等物理量.在 Lehmann 表象下,可以用本征态和本征能量表示局域格林函数G1imp,(in)=1Zmnm|b|nn|b|meEn eEmEn Em+in+,G2imp,(in)=1Zmnm|b|nn|b|meEn eEmEn Em+in+,(26)|mEm其中,为本征态,为对应的能量.因此,系统的自能可以写成imp(iwn)lat(iwn)=iwnz+G1imp(iwn),(27)imp(iwn)lat(iwn)此处,考虑了自能近似,即认为自能是局域的,因此满足 .由 Dyson 方程(16),能够得到格点格林函数为Glat(k,in)=1/(inz+imp(in)k).(28)现在,利用 Anderson 杂质模型构造的动力学平均场方法的自洽循环便完成了.利用 Anderson杂质模型,成功绕开求解作用量来实现动力学平均场的自洽过程.在 Anderson 杂质模型中,动力学平均场的循环为:先给出 Anderson 参数的试探值,利用杂质求解器求解 Anderson 杂质模型哈密顿量,便能够得到系统的本征态和本征能量,进一步可以求得自能、超流序参量等物理量,然后利用(28)式求得新的格点格林函数.利用新求得的格点格林函数,可以得到新的 Anderson 参量,然后再重新循环上述过程,直到满足自洽条件,输出最终所求系统的物理量,如图 2 所示.ij,=iij虽然用 Anderson 杂质模型可以很好地求解动力学平均场,但在真实的实验中,由于外场或人工规范场,冷原子系统并不是各向同性的.因此,需要对现在的动力学平均场理论进行进一步拓展.类似于费米系统的实空间动力学平均场理论109,110,我们发展了实空间玻色动力学平均场理论(RBDMFT).在实空间玻色子动力学平均场理论中,虽然自能是局域的,但各个空间位置的自能是不同的,即.因此,利用实空间动力学平均场理论,可以求解各向异性的 Hubbard 模型,并得到较好的结果.3光晶格中多组分玻色子体系的磁性研究3.1 三维光晶格中自旋-1 超冷玻色气体的磁性相变研究随着超冷原子气体在光晶格中的实现,理论研究也变得非常广泛,量子蒙特卡罗方法和密度重整化群理论可以在一维情形下进行研究5356,而在三维体系中,对强关联量子相的研究一般都是通过晶格规范理论预测111,强耦合极限下的有效自旋模型112,113以及静态平均场理论114118等方法.而超越了静态平均场理论,从弱耦合到强耦合极限下的量子多体相图还几乎没有人研究.因此本课题组利用玻色动力学平均场理论研究了自旋-1 玻色体系中的量子相变119.在适当的晶格深度下,自旋-1的玻色子体系可以用紧束缚近似下的玻色-哈伯德模型描述:H=tij,(bi,bj,+bj,bi,)+12U0i ni(ni 1)+12U2i(S2i 2 ni)i ni,(29)bi,(bi,)mF=ni=ni,ni,bi,bi,这里 是格点 i 上超精细态 的产生(湮灭)算符;,其中 是格点格林函数自能超流序参量杂质函数杂质求解器Anderson参量,Anderson杂质模型哈密顿量图2Anderson 杂质模型下动力学平均场方法的自洽循环示意图.给 Anderson 参数初值,利用杂质求解器求解Anderson 杂质模型,得到物理量和自能,通过自能得到格点格林函数,利用 Dyson 方程得到杂质函数,从而得到新的 Anderson 参量,构成自洽过程Fig.2.SchematicpictureofBDMFTloopinAndersonim-puritymodel.ForaninitialvalueofAndersonparameters,physicalquantitiesandself-energyareobtainedbysolvingthe Anderson impurity model.After obtain lattice Greenfunction through self-energy,impurity functions are at-tained.Finally,theloopiscompletebyfetchednewAnder-sonparametersfromimpurityfunctions.物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-6Sibi,Fbi,FU0U2格点 i 处 s 态的粒子数算符;为总自旋算符,是自旋-1 玻色子的自旋矩阵;是体系的化学势;此外还有最近邻格点间的跃迁振幅 t,原子间的相互作用 以及自旋相互作用 .U2/U0 01 b2 SS/3S22 bbM S1=0,2 0M=01=02=01=0 2=0,S2=0,M=0,2b1b1+b20=0对于这一哈密顿量,我们基于玻色动力学平均场理论在铁磁自旋相互作用()的情形下计算了体系的零温相图.通过定义不同的序参量如凝聚序参量 、向列序参量 、对凝聚序参量 以及局域磁化 ,我们发现体系呈现非常多不同的量子相,在格点上粒子数为奇数时,体系形成向列相绝缘体(nematicinsulator,NI),对应于 ,而在粒子数为偶数时,体系形成自旋单态绝缘相(spin-singletinsulator,SSI),对应 ,.并且随着铁磁相互作用的增强,SSI 的区域会逐渐增大,相反 NI 的区域逐渐减小直至从体系消失并伴随着新的自旋单态凝聚相(spin-singletcondensate,SSC)的出现,对应于 ,如图 3119所示.进一步地,研究了温度对体系的影响,并观察到超流体可以通过一阶(二阶)相变被加热成具有偶(奇)填充的莫特绝缘体,类似于3He 中的 Pome-ranchuk 效应.我们发现有序态(如向列绝缘相和自旋单态绝缘相)的临界温度在现有的冷却方案范围内,这表明有机会使用现有的实验技术直接观察这些相.3.2 三维光晶格中磁场下自旋-1 超冷玻色气体的相变研究mF=1研究多组分超冷原子气体的磁序和玻色-爱因斯坦凝聚体之间的联系是一个有趣的话题.对于旋量气体,理论上已经预测了多步凝聚120125,并在实验中被观察到了50,126,127.例如,对于较小的塞曼场,反铁磁相互作用定性地改变了相图并导致在超精细态 态下的凝聚128,然而对光晶格中自旋玻色气体的多步凝聚目前还没有人进行研究.因此紧接着上面的工作,本课题组基于玻色动力学平均场理论,系统地研究了该自旋-1 玻色子体系在存在外部塞曼相互作用时的性质129.体系的哈密顿量与无磁场的自旋-1 玻色子体系相比,多了线性塞曼能量 p 和二次塞曼能量 q 这两项:/0SF2.500.51.01.52.000.010.020.03NINI(=3)NI(=1)SSI(=2)2/0=0.01/0/000.51.01.52.0NI(=1)SSI(=2)SF2/0=0.300.010.020.030.040.050.06/0/02.53.000.51.01.52.00SF0.010.020.03NI(=3)NI(=1)SSI(=2)2/0=0.04/0/0SF-1.5-1.0-0.500.5SSCSSI(=2)SSI(=4)2/0=2.00.250.200.150.100.050/0U2/U0图3三维光晶格中自旋-1 超冷玻色子在不同反铁磁相互作用下的零温相图119,分别为 0.01,0.04(23Na),0.3,和 2.0.数据来源于 BDMFT(黑线),Gutwiller(红线)以及文献 117(蓝线)中的计算.体系中存在 4 种不同的相,即超流相(SF)、向列绝缘相(NI)、自旋单态绝缘相(SSI)和自旋单态凝聚相(SSC)U2/U0Fig.3.Zero-temperaturephasediagramforspin-1ultracoldbosonsina3Dcubiclattice119fordifferentantiferromagneticinteractions=0.01,0.04(23Na),0.3,and2.0,respectively,obtainedviaBDMFT(blackcircle),Gutzwiller(redcross)andinRef.117(bluedashed).Therearefourdifferentphasesinthesediagrams:superfluid(SF),nematicinsulator(NI),spin-singletinsulator(SSI)andspin-singletcondensate(SSC).物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-7H=ti,j,(bi,bj,+bj,bi,)+U02i ni(ni 1)+U22i(S2i 2 ni)+pSiz+qi,2 ni,i ni,(30)mF=1,0,1p=(E1 E1)/2q=(E1+E1 2E0)/2U0U2U2/U0 0.037U2/U0 0.7U2/U0 0.005这是由于外加磁场导致超精细态()退简并的塞曼效应,其中 ,为原子间的相互作用,为自旋相互作用.在这一体系中,塞曼相互作用与自旋相互作用的竞争会出现非常多有趣的相.对于反铁磁自旋相互作用,以23Na(52)为例,计算该体系的多体相图,体系存在向列绝缘相、铁磁相、自旋单态绝缘相和不同类型的超流相.计算表明二次塞曼项使得粒子数为偶数的区域出现了向列绝缘相,在塞曼能量非常大时,体系的莫特绝缘区完全处于向列莫特绝缘相.对于铁磁自旋相互作用的情况,以7Li(112)和87Rb(20)为例,绘制了铁磁和向列绝缘相、超流体相等相图,计算结果表明随着塞曼能量的增强,铁磁绝缘相的区域逐渐由向列绝缘相取代.此外,我们还研究了这些量子相对热涨落的稳定性,得到了有限温度下的相图.TcmF=1mF=0Tc同时,对超流体的分步凝聚进行了研究,给出了各个塞曼组分的临界凝聚温度 与纵向磁化强度的关系.有趣的是,在反铁磁相互作用下我们观察到了超精细态 组分的临界温度随着纵向磁化强度的非连续变化:随着纵向磁化强度的增加,临界温度首先降低至 0,然后逐渐增长到某一最大值后再逐渐降为 0;而对于铁磁相互作用,超精细态 的临界凝聚温度 会首先减小到某一极小值点,然后增长到某一极大值,最后减小到 0.这反映了强关联超冷玻色气体的独特性质.3.3 自旋碱金属与碱土金属混合体系的磁性研究量子磁性在固态系统中起着重要作用,揭示量子多体系统磁序背后的机制一直是理论研究和实验研究的热点.最近,超冷旋量玻色子的异核混合物已经在实验上被实现,如旋量碱金属原子的异核混合物130、旋量碱金属和碱土金属原子的混合物131,132,然而在光晶格中还没有对旋量碱金属和碱土金属原子混合体系的研究.在 3.1 节和 3.2 节中研究了自旋-1 玻色子体系的基态相图,以及该体系存在磁场时的性质.本节主要研究三维光晶格中自旋-1 碱金属原子与自旋-0 碱土金属原子混合体系的基态相图133.体系的哈密顿量由紧束缚近似下的玻色-哈伯德模型描述:H=ij,t(bi,bj,+H.c.)+i,U12bi,20bi,1bi,1bi,20+i12U1 ni,1(ni,1 1)+12U1(S2i,1 2 ni,1)+12U2 ni,2(ni,2 1)1 ni,1 2 ni,2,(31)bi,(bi,)ni,=ni,ni,=bi,bi,Si,1=bi,bi,tU1U1U2U12其中,是格点 i 处对于超精细态 s 的n 种类原子的产生(湮灭)算符.,为粒子数算符,是自旋-1 粒子的自旋算符.为常用的自旋-1 的矩阵,表示 n 种类粒子的化学势,为近邻格点间的隧穿振幅.为自旋-1 粒子间的相互作用,为自旋相互作用,此外还有自旋-0 粒子间的相互作用 以及自旋-1 和自旋-0 粒子间的相互作用 .我们的研究主要围绕两种原子间的相互作用展开,并计算了体系的基态相图,如图 4133所示.U12U12U1U2n=1n=2U12 U1,2n=2U12/U1=2首先研究种间相互作用 对相图的影响.对于较小的种间相互作用 ,两种原子是互相混合的.但是对于较大的种间相互作用,体系会出现相分离.当种间相互作用减小时,的区域会减小,而 的区域会增大.这是因为在 的条件下,的区域更容易形成自旋单重态.对于较大的种间相互作用 ,我们观察到体系出现了相分离.这里只得到了自旋-187Rb 原子的相图.作为比较,也用 Gutzwiller 平均场理论计算了自旋-1 和自旋-0混合体系的基态相图,如图 4133中的红线所示.Gutzwiller 的计算结果是小于 BDMFT 的计算结果的,这正是由于 BDMFT 包含了量子涨落.n nRb+nSr=1nRb=nSr=0.5Mtot=0n=2为了更好地描述87Rb 和84Sr 的混合体系,我们把87Rb 当作自旋,把84Sr 当作自旋 .计算表明,系统在填充数 ()时具有非零的磁性,而在填充数 物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-8Mtot=0nSr(nRb)t1 t2U12 U1,2=0RbMISrSFRb时磁性为零,这里 表示84Sr87Rb在格点上的填充数.也就是说整个体系在格点上粒子数为 1 时处于铁磁绝缘相,在粒子填充数为 2 时处于无序绝缘相.这其中的物理规律可以通过在强相互作用下推导的玻色-玻色混合体系的有效自旋模型来理解.当格点上粒子填充数为 1 时,由于几乎相同的隧穿振幅 ,铁磁自旋耦合占据主导,因此体系表现为铁磁序.而当格点上粒子数为 2时,由于种间相互作用 ,自旋涨落被抑制,于是体系表现为无序绝缘相.在远离莫特绝缘区时,随着隧穿振幅的增大,密度涨落成为主导,系统经历量子相变进入超流相 .并且由于质量的不平衡,质量较大的 会先解除局域化(+),之后随着隧穿振幅的继续增大,两种原子都会处于非局域化的状态(2SF).此外还研究了在三维光晶格中具有反铁磁相U1/U1=0.037互作用的23Na()和84Sr 原子的混合体系.对于23Na 和84Sr 原子的混合体系,在填充数为 1 的区域是铁磁相(FM),在填充数为 2 的区域是无序相(UI).有趣的是自旋-123Na 原子在填充数为 1 和 2 的情形都展示了从向列绝缘相到极化超流相的相变,这与单独将23Na 原子放在光晶格中偶数填充的情形是不一样的.4具有长程相互作用的光晶格体系的研究4.1 偶极玻色气体中的超固态相研究为了实现由两体相互作用诱导的超固体相(su-persolid,SS),人们在极性分子68,134140、磁性16,67,141和里德伯原子142150上付出了巨大的努力,然而理论上提出的方案通常在实验上都难以实现.本课题组提出一种可行的方案,研究了二维光晶格中双00.0150.030/11.0(a)00.5/1UI(=2)FM(=1)12/1=0.22SFMISr+SFRb00/10.0150.030(c)/1UI(=2)FM(=1)12/1=0.9352SFMISr+SFRb1.40.70/100.0150.030(b)/1UI(=2)FM(=1)12/1=0.52SFMISr+SFRb0.61.200/10.0150.030/1FM(=2)FM(=1)12/1=21.40.7(d)SFU1/U1=0.0046U12/U1=0.2,0.5,0.935U12/U1=2t t1 0.97t20U2/U1=1.26图4三维光晶格中由 BDMFT 计算得到的自旋-187Rb()和自旋-084Sr 异核玻色子混合体系在不同种间相互作用 和 2 下的基态相图133.格点上粒子填充数为 1 时,系统处在铁磁绝缘相.格点上粒子填充数为 2时,体系为无序绝缘相.此外随着隧穿振幅的增大会出现两种不同的超流相.其中具有铁磁相互作用的三组分自旋-187Rb 原子也处在铁磁相.注意,当种间相互作用特别大()时,系统中只有自旋 1 的玻色子.作为比较,红色线条是 Gutzwiller平均场理论的计算结果.其他参数为 ,U1/U1=0.0046U12/U1=0.2,0.5,0.935n=1n=2MISr+SFRbU12/U1=2t=t1 0.97t20U2/U1=1.26Fig.4.Phasediagramsofheteronuclearmixturesofultracoldspin-187Rb(spin-dependentinteraction )andspin-084Srbosonsinathreedimensional(3D)cubiclatticefordifferentinterspeciesinteractions and2,ob-tainedbyBDMFT133.Thesystemfavorsferromagneticinsulatingphase(FM)atfilling ,unorderinsulatingphase(UI)at,andtwotypesofsuperfluid(,and2SF),wherethethree-componentsofspin-187Rbdemonstrateferromagneticorderasaresultofferromagneticinteractions.Noteherethatthesystemfavorsphaseseparationfor ,andhereweonlyshowthephasediagramofspin-1bosons.Forcomparisons,theredcrossisobtainedbyGutzwillermean-fieldtheory.Theoth-erparameters ,and .物理学报ActaPhys.Sin.Vol.72,No.18(2023)183701183701-9组分玻色混合体系的超固态相151,其中一个组分通过非共振激光被耦合到了里德伯态,因此在这一组分之间存在长程相互作用,如图 5151所示.在适当深的光晶格中,体系由一个单带双组分哈伯德模型描述:H=ij,t(bi,bj,+H.c.)+i|32ij32100|b|d|r|d|r|dVijRcRc=2akxUbdUbd/U=0Ubd/U=0.45Ubd/U=1ky=0,V/U=0.4t/U=0.04图5(a)考虑两个电子基态 (蓝色),(红色)和一个里德伯态 .一束非共振激光(拉比频率为 W,失谐量为 D)将态 与 耦合.(b)里德伯态 间的软核型相互作用势 (红线).软核半径 可以大于晶格间距 a,图中展示的是 的情形.(c)被修饰原子处于有序密度波(DW)时的裸态处于 SS.(d)裸态的 Roton 不稳定性.声子的 Bogo-liubov 色散关系(沿 轴)被种间相互作用显著地改变.当种间相互作用 增加时,会出现类 Roton 不稳定性,表明基态相由均匀的超流体转变为超固体.图中 (点线),(虚线),(实线),其他参数为 ,和 151|b|d|r|d|rVij|dRcRc=2akxUbdUbd/U=0Ubd/U=0.45Ubd/U=1ky=0,V/U=0.4t/U=0.04Fig.5.(a)Twoelectronicgroundstates (bl