lyapunov稳定与镇定-学位论文.doc

济南大学毕业论文提供全套毕业论文图纸，欢迎咨询毕业论文题 目 Lyapunov稳定与镇定 学 院 自动化与电气工程学院 专 业 测控技术与仪器 班 级 测控0802 学 生 王金霞 学 号 20080305045 指导教师 赵平 二一二年六月八日48摘 要本文总结了李雅普诺夫稳定性理论的发展现状，引入了李雅普诺夫意义下稳定性与李雅普诺夫函数的基本概念，给出了李雅普诺夫直接方法判定稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、不稳定等的判定条件，其中，重点讨论了李雅普诺夫第二法及如何应用李雅普诺夫第二法分析线性系统的稳定性。此外，引出了镇定的概念，并基于李雅普诺夫第二法，通过输出反馈、状态反馈进行了镇定控制器的设计。最后，我们结合具体的实例，建立系统的模型,通过Matlab仿真验证了上述理论。关键词：李雅普诺夫函数；稳定性；镇定；控制器ABSTRACTIn this paper, the current situation of the development of Lyapunov stability theory is summarized. Some fundamental concepts of stability in the sense of Lyapunov and Lyapunov functions are introduced. Some criterion on stability, asymptotic stability, globally asymptotically stability and unstability are also provided. Especially, we discussed the Lyapunovs second method and prescribed how to use the Lyapunovs second method to analysis the stability of linear system. Moreover， we introduce the concept of stabilization. Based on the Lyapunovs second method, using state feedback and output feedback, the design of controller is proceeded. At the last, combined with the practical example, we model the system and illustrate the above theory through Matlab simulating. Key words： Lyapunov function; stability; stabilization; controller目 录摘要.ABSTRACT.1 前言.11.1 研究背景与意义.11.2 研究方法与手段.21.3 研究内容.22 李雅普诺夫稳定性理论基础.42.1 问题的提出.42.2 稳定性的基本概念.52.2.1 常用符号说明.52.2.2 李雅普诺夫意义下的稳定性定义.52.2.3 李雅普诺夫函数和标量函数定号性.72.3 判别系统稳定性的李雅普诺夫方法.82.3.1 李雅普诺夫第一法.82.3.2 李雅普诺夫第二法.92.4李雅普诺夫稳定性定理.102.5应用李雅普诺夫第二法分析线性系统的稳定性.152.5.1线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析.152.5.2线性时变系统的李雅普诺夫稳定性分析.183线性系统的状态空间分析.203.1线性系统的能控性与能观性.203.1.1线性系统的能控性.20 3.1.1.1线性定常连续系统的能控性.20 3.1.1.2线性定常连续系统的输出能控性.213.1.2线性系统的能观测性.22 3.1.2.1线性定常连续系统的能观测性.223.2线性系统的状态反馈与输出反馈.223.2.1基本定义.223.2.2具有状态反馈与输出反馈的线性定常系统的状态空间表达式.23 3.2.2.1输出反馈.23 3.2.2.2状态反馈.24 3.2.2.3两种控制率的比较.244镇定控制器的设计.254.1 线性系统输出反馈镇定.254.2 线性系统状态反馈镇定.284.3 非线性系统反馈镇定.42结论.46参考文献.47致谢.481 前言1.1 研究背景与意义稳定性理论是研究动态系统中的过程相对干扰是否具有自我保持能力的理论。古代中国晋朝当时人们对于自我保持能力或稳定的一种具体的直觉的说法在书中描述是“行人安稳，布帆无恙”。在西方源出于拉丁文“Stabilis”的 “Stable”也只是表示一种坚持的意思1。这些千年以前的名词反映了当时人们对于“稳定性”这一科学概念的最初理解。由初步的理解开始到真正形成稳定性理论其间经历了近一千五百年。在稳定性理论发展进程中最伟大的事件是俄国科学家力学家李雅普诺夫在1982年完成的博士论文“运动稳定性的一般问题”，他将由Peano,Bendixson和Darboux等人建立的微分方程借对初值和参数的连续依赖性这一概念2，从自变量在有限区间上的变化拓宽到无穷区间之上，科学地给出了系统中运动是稳定和渐近稳定的概念；他从类似系统的总能量的物理观念中受到启发提出了被后人称为李雅普诺夫函数的概念，将一般阶微分方程组中扰动解渐近性质的研究归结为一个标量函数和其对于系统的全导数的一些性质的研究，避开了讨论阶微分方程组的解的难题，从而建立了稳定性理论的研究框架。从19世纪末以来，这个由李雅普诺夫所开创的稳定性理论就一直指导着关于稳定性的研究和应用。不少学者遵循李雅普诺夫所开辟的研究路线对第二方法作了一些新的发展。一方面，李雅普诺夫第二方法被推广到研究一般系统的稳定性。例如，1957年，祖博夫将李雅普诺夫方法用于研究度量空间中不变集合的稳定性。随后，J.P.拉萨尔等又对各种形式抽象系统的李雅普诺夫稳定性进行了研究。在这些研究中，系统的描述不限于微分方程或差分方程，运动平衡状态已采用不变集合表示，李雅普诺夫函数是在更一般意义下定义的。1967年，D.布肖对表征在集合与映射水平上的系统建立了李雅普诺夫第二方法。这时，李雅普诺夫函数已不在实数域上取值，而是在有序定义的半格上取值。另一方面，李雅普诺夫第二方法被用于研究大系统或多级系统的稳定性。此时，李雅普诺夫函数被推广为向量形式，称为向量李雅普诺夫函数。在常系数线性系统的研究中Routh与Hurwitz给出了一组由多项式系数组成的不等式作为稳定性的判据3，因为常系数线性系统结构十分简单，运用线性代数的工具就能够大概弄清楚其中的问题。现考虑到系统中存在的控制，通过控制来实现系统的稳定镇定就成为了稳定性理论的一项新的内容4,5，然而变参数线性系统稳定性的研究至今仍然是一个带挑战性的课题。由于这类系统的线性结构，在一般性层次上讨论其稳定性与镇定已取得了相当好的成果6。在变系数线性系统中周期系数线性系统是一种在理论上最接近于常系数线性系统模式的，对于这类系统的讨论有助于了解系统中存在周期振动时的稳定性7。现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要求而加以改变才能适应新的情况，保证系统的正常获最佳运行状态。在解决这类复杂系统的稳定性问题时，最通常的方法是基于李雅普诺夫第二法而得到的稳定性理论8。李雅普诺夫第二方法是研究稳定性的主要方法，既是研究控制系统理论问题的一种基本工具，又是分析具体控制系统稳定性的一种常用方法。李雅普诺夫第二方法的局限性，是运用时需要有相当的经验和技巧，而且所给出的结论只是系统为稳定或不稳定的充分条件；但在用其他方法无效时，这种方法还能解决一些非线性系统的稳定性问题。现在，随着计算机技术的发展，借助数字计算机不仅可以找到所需要的李雅普诺夫函数，而且还能确定系统的稳定区域。但是想要找到一套对于任何系统都普遍使用的方法仍很困难。Lyapunov 稳定性理论自从在Lyapunov博士论文中引入，到现在此理论已经渗透到应用数学、力学、控制与系统理论的众多领域，具有广泛的应用性。对于控制系统，设计镇定控制器9使系统稳定具有重要的理论和应用价值。1.2 研究方法与手段熟悉毕业论文的要求和内容，采用文献研究法，根据一定的研究目的通过调查文献获得资料从而全面地、正确地了解掌握所要研究的问题，进行毕业论文总体框架的构思。总结Lypunov稳定性理论及镇定研究的发展状况，对Lyapuov稳定、镇定进行系统的介绍。利用李雅普诺夫稳定性理论10进行极点的配置进而实现控制器的设计。应用数学模拟法结合具体的工业过程建立系统的模型，并进行Lyapunov稳定性研究和控制器设计，Matlab仿真验证研究结果。1.3 研究内容介绍了李雅普诺夫稳定性理论的发展现状，基于李雅普诺夫意义下的稳定性定义，引入稳定性的基本概念，李雅普诺夫函数以及采用李雅普诺夫直接方法所得到的稳定、渐近稳定、大范围渐近稳定、不稳定等结论.重点讨论李雅普诺夫第二法及其主要定理以及如何应用李雅普诺夫第二法分析线性系统的稳定性，结合例题给出具体分析。引出了镇定的概念，并基于李雅普诺夫第二法，通过输出反馈、状态反馈进行了镇定控制器的设计。最后，我们结合具体的实例，建立系统的模型,通过Matlab仿真验证了上述理论。2 李雅普诺夫稳定性理论基础2.1 问题的提出关于动态系统稳定性的研究是自然科学与工程技术中特别受人们关注的问题。经典的例子是太阳系的稳定性，旋转流体所构成的稳定性等。近些年来世界各国对于运动稳定性的理论极为关注。这个由著名俄国科学家李雅普诺夫在上世纪九十年代所开创的理论在工程技术与物理科学的各个部门得到了广泛的应用。李雅普诺夫意义下的运动稳定性理论研究的是干扰性因素对物质系统运动的影响。所谓干扰性因素指的是那些在描述运动时因为和基本力相比甚小而未加以考虑的力。通常这些力是不确切知道的，它们可以是瞬时的作用，因而引起系统初始状态的微小变化。众所周知，对于不同的运动，微小的干扰因素对系统的影响是不同的。对于一些运动来说，这种影响并不明显，所以不受干扰的运动与受干扰的运动差异很小；相反，对于另外一些运动，干扰对于运动的影响可能很明显，以至于无论干扰的力多小，随着时间的推移，不受干扰的运动与受干扰的运动差异可能很大。简而言之，符合第一类的运动称之为稳定的；而第二类的运动则称之为不稳定的。研究运动稳定性理论就是建立一些准则用以判断所要考察研究的运动是否是稳定的。在实际应用中自动控制系统能正常工作的首要条件是系统必须是稳定的。所以，对于自动控制系统稳定性的研究，一直是控制理论研究的重要课题。控制系统的稳定性通常从两个方面进行定义：第一外部稳定性，其指的是系统在零初始条件下通过外部状态也就是由系统的输入和输出关系所给出的外部稳定性，即有界输入有界输出稳定。外部稳定性只对于线性系统适用。第二内部稳定性，其指的是系统在零输入条件下通过其内部状态变化所给出的内部稳定性，即状态稳定。内部稳定性不仅适应于线性系统，同时也适用于非线性系统。只有满足一定条件下两种定义的同一线性系统才具有等价性。稳定性是系统本身所具有的一种特性，只和系统本身的结构和参数有关而与系统的输入输出无关。在线性定常系统的分析中，基于李雅普诺夫第一法的一些稳定性判据，例如，Nyquist稳定性判据、Routh以及Hurwitz稳定判据11都为我们提供了特别方便和实用的判别稳定性的方法。而对于线性时变系统和非线性系统，上面所提及的各种稳定判据就不能直接应用，在这种情况下李雅普诺夫第二法，又称李雅普诺夫直接法，则是确定线性时变系统和非线性系统稳定性更为一般的方法。2.2 稳定性的基本概念本节主要介绍了李雅普诺夫意义下的稳定性的定义，李雅普诺夫函数以及采用李雅普诺夫直接法所得到的稳定的、渐近稳定的、大范围渐近稳定和不稳定的概念，并利用适当的例子来阐述概念之间在理解上可能造成的误解。2.2.1 常用符号说明英文大写字母用来表示矩阵，例如英语小写字母用来表示向量，例如。用带下标的小写希腊字母表示向量的分量和矩阵的元素，希腊字母的选取和所表示的向量和矩阵的英文字母相对应，其下标表示他在向量和矩阵中的位置，例如的第个分量表示为，的元素表示为等。用小写希腊字母表示标量，例如。一般用表示时间。2.2.2 李雅普诺夫意义下的稳定性概念设系统的状态方程是其中，是系统的状态向量，矩阵即；是状态向量及时间的函数向量即。设在已给定的初始条件下，系统的状态方程（1.1）有唯一解且，其中是时间变量， 为初始时刻，为状态向量的初始值。由（1.1）给出的系统，对于所有的，如果总存在那么则称为系统的平衡状态。对于线性定常系统，则，并且当是非奇异矩阵时，该系统的平衡状态唯一；当为奇异矩阵时，则该系统的平衡状态有无穷多个。如果系统是非线性系统，则系统的平衡状态可以有一个或多个，且与系统的常直解相对应。系统的平衡状态可以通过坐标变换转移到坐标原点即处。所以，研究系统的稳定性，重点是研究系统平衡状态的稳定性，尤其是分析坐标原点所代表的状态的稳定性。在介绍稳定性定义之前首先引入一个定义欧几里德范数，即应用范数表示以平衡状态为圆心，半径是的球域式中称为欧几里德范数， 当满足及时，即，其表示状态平面上以原点为圆心为半径的圆；当满足及时，其表示以状态空间原点为球心为半径的球域。设是含有满足的所有点的一个球域，是含有满足的所有点的一个球域，其中为给定的常数。那么李雅普诺夫意义下的稳定性定义可以表述为，如果系统对任意给定的存在一个实数，使得当时，恒有，则称系统的平衡状态是稳定的。定义中与、有关，当与无关时平衡状态称为一致稳定的平衡状态。从定义我们可以看出，如果对于每一个球域总存在一个球域使得不断增大时，从出发的轨迹不会离开，那么系统的平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的。若是系统的稳定平衡状态，即从出发的每一条运动轨迹，无论多大都离不开球域，并且最终都能够收敛到的附近，即，其中是任意选取的微量，则称平衡状态为渐近稳定的。若状态方程（1.1）在任意初始条件下的解，无论多大都收敛于，则称其为大范围渐近稳定。简而易见，大范围渐近稳定的必要条件是状态空间内平衡状态唯一。如果线性系统是渐近稳定的，则一定是大范围渐近稳定。若从球域出发的轨迹无论多小，只要有一条轨迹脱离，则称其不稳定的。2.2.3李雅普诺夫函数和标量函数定号性（1）李雅普诺夫函数由于系统的形式多种多样，所以很难找到一种定义“能量函数”的统一形式和简便方法。为了解决这一问题，李雅普诺夫引入了一个虚构的能量函数，称为李雅普诺夫函数。它是具有更一般形式和能量含义的函数。在应用中，只要符合李雅普诺夫稳定性定理的假设条件，任意一个标量函数都可以作为李雅普诺夫函数。李雅普诺夫函数的选取不唯一，多数情况下可取为二次型，因此二次型及其定号性是该理论的数学基础12。李氏函数和状态变量及时间有关系，一般用表示。用表示不含的李雅普诺夫函数。此函数的形式并不是惟一的，其中最简单的形式是二次型函数。二次型的形式一定适合线性系统。对于非线性系统来说不一定都是这种简单形式。在李雅普诺夫第二法之中，根据李雅普诺夫函数和对时间的导数的符号特征判断平衡状态的稳定性，不需要求解系统的状态方程。（2）标量函数定号性如果对所有在域内的非零状态恒有，以及在处有，那么标量函数在域内是正定。如果标量函数除了在状态空间原点以及某些状态处等于零外，对于域内的所有状态均为正定，那么是正半定。如果是正定，那么标量函数是负定。如果是正半定，那么标量函数是负半定。如果无论域取多小，既可以是正也可以是负，那么这类标量函数称为不定。2.3 判别系统稳定性的李雅普诺夫方法2.3.1李雅普诺夫第一法 李雅普诺夫第一法又称间接法，其基本思想是通过系统状态方程的解的情况进而判别系统的稳定性。对于线性定常系统只要解出特征方程的根就可以判断出系统的稳定性；而非线性不严重的系统可以先进行线性化处理，得到与之相似的线性化方程，进而再根据其特征根来判断系统的稳定性。 设系统的状态方程，其中，是系统的状态向量；是维向量函数，且对于状态向量有连续偏导数存在。若系统的平衡状态，将系统的状态方程在邻域展成泰勒级数得其中 是状态方程的一次近似，是一阶以上各高阶导数项的总和。李雅普诺夫第一法的主要内容：（）若在一次近似式的系统状态方程的系统矩阵的特征值都是负实部，则系统在平衡点处是稳定的，且系统的稳定性与高阶导数项无关。（）若在一次近似式的系统状态方程的系统矩阵的特征值中至少有一个含有正实部时，无论高阶导数项情况如何，系统在平衡点处不稳定。（）若一次近似式的系统状态方程的系统矩阵包含有等于零的特征值，则系统的稳定性由高阶导数项决定。当时，系统处于平衡状态。因此，李雅普诺夫第一法是依据系统矩阵的特征值来判断系统的稳定性。运用此法可以在不求出状态方程解的条件下，直接确定系统的稳定性。以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看，更重视系统的输出稳定性。如果系统对于有界输入所引起的输出是有界的，则称系统为输出稳定。线性定常系统输出稳定的充要条件是其传递函数的极点全部位于的左半平面。例2 系统的状态空间描述为试分析系统的状态稳定性与输出稳定性。解：(1)由阵的特征方程可得特征值。故系统的状态不是渐近稳定的。(2)由系统的传递函数可见传递函数的极点位于的左半平面，故系统输出稳定。这是因为具有正实部的特征值被系统的零点 对消了，所以在系统的输入输出特性中没被表现出来。由此可见，只有当系统的传递函数不出现零、极点对消现象，并且矩阵的特征值与系统传递函数的极点相同，此时系统的状态稳定性才与其输出稳定性一致2.3.2李雅普诺夫第二法李雅普诺夫第二法又称直接法。李雅普诺夫第二法是从能量观点出发得来的，它的基本思想是建立在古典力学振动系统中一个直观的物理事实上。如果系统的总能量（含动能和势能）随时间按增长而连读的衰减，直到平衡状态为止，那么振动系统是稳定的。也就是说如果一个系统被激励后，其储存的能量随着时间的推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小值，那么，这个平衡状态是渐近稳定的。反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越来越大，那么这个平衡状态就是不稳定的。如果系统的储能既不增加，也不消耗，那么这个平衡状态就是李亚普诺夫意义下的稳定13。在李雅普诺夫第二法中，根据李雅普诺夫函数和对时间的导数的符号特征判断平衡状态的稳定性，不需要求解系统的状态方程。2.4李雅普诺夫稳定性定理定理2.1 设系统的状态方程是，其平衡状态为。如果存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数，满足条件：（1）是正定；（2）是负定，则系统在状态空间原点处的平衡状态是一致渐近稳定的。如果对状态空间中所有非零初始状态满足上述条件，且当时，有，则系统在原点处的平衡状态是大范围一致渐近稳定的。以上定理可以作下述直观的理解，假设存在有定号的函数（为了简便，们在这里设），其导数，作曲面簇其中是一个正的参数，在零到某个足够小的值之间变化。曲面簇（1.4）是封闭的，它们包围坐标原点并在趋向于零时，收敛于原点。若，则曲面完全位于之内。当满足和条件，也就是在等曲面簇扩展到整个状态空间条件下，能满足在全局范围内，当时，收敛到原点，便是系统具有大范围渐近稳定的条件。例2.1 已知给定系统的状态方程是应用李雅普诺夫第二法分析上述系统平衡状态的稳定性。解 由题意可得，给定线性系统的唯一平衡状态是状态平面原点。选取具备正定性的二次型函数为李雅普诺夫函数，则求得是负定，而且当时有，所以按照李雅普诺夫稳定性定理1判定，上述系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定。定理2.2 设系统的状态方程为，其平衡状态为。如果存在一个具有连续的一阶偏导数的标量函数，满足条件：（1）是正定；（2）是负半定；（3）对任意的和任意的，在的条件下不恒等于零，则在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。因为只是负半定而不是负定，所以典型轨迹可能和某个特定的曲面相切，在切点上。又由于对任意的和任意的在时不恒等于零，所以典型轨迹不是停留在切点上不动，而是随着时间推移继续向原点靠近。例2.2 已知给定系统的状态方程是通过选取不同的李雅普诺夫函数分析给定系统平衡状态的稳定性。解 已知给定系统的唯一平衡状态是状态平面原点。选取具备正定性的二次型函数作为李雅普诺夫函数，其对时间的导数为由可知，当时，则，但是当时，也可以得出，所以，是负半定的。因此，需要进一步地分析当时是否恒等于零。 如果要求在时恒等于零，那么必须满足在恒等于零，而恒等于零又要求满足恒等于零，。但是从给定系统的状态方程来分析，在时要求则意味着必须满足。因此给定系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。又因为当时，所以给定系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。图所示是本题所对应的等和典型轨迹。从图中可以看出，在点处的运动轨迹与圆相切，但是状态仍然随着时间推移继续想原点运动，并没有在切点处停留下来15。A图 等圆及典型轨迹定理2.3 已知系统的状态方程是其中。若存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，满足条件：（1）是正定；（2）是负半定，但在原点外的某一点处恒为零，则系统在原点处的平衡状态是在李雅普诺夫意义下稳定的，但不是渐近稳定。那么在这种情况下，系统维处于一个稳定的等幅震荡状态上。例2.3 已知给定系统的状态方程是试分析系统的平衡状态的稳定性。解 由题意得，即原点为给定系统的平衡状态。如果选取正定的标量函数为李氏函数，则由上式可以得出，在任意的状态上都能保持为零。此时系统在李亚普诺夫意义下是稳定的，但并不是渐近稳定的。 定理2.4 已知系统的状态方程是其中。若存在一个具有连续一阶偏导数的标量函数，满足条件：（1）在原点附近的邻域内正定的；（2）在同一邻域内也是正定的。则原点处的平衡状态是不稳定的。例2.4 已知给定系统的状态方程是试分析系统平衡状态的稳定性。解 由题意得，即原点为该系统的平衡状态。如果选取正定的标量函数为李雅普诺夫函数，则由上式可以得出，当时有，所以是正半定。但是可以判定只有在时恒等于零，但是在其它的状态上均不恒为零。因此给定系统的平衡状态是不稳定的。应用李雅普诺夫第二法判别稳定性，需要注意选取的李氏函数是否恰当的问题。若根据李雅普诺夫第二法判断系统是稳定的，那么系统一定是稳定的；但是如果判断系统是不稳定，则不能判定系统一定是不稳定的。遇到这种情况，可以尝试选取不同形式的李氏函数重新进行分析14。例如，如果为例1给出的系统选取正定标量函数为李雅普诺夫函数，则由选定的可求得在检验的定号性时，当时，有；当时则，而当时则。所以，为不定的。这表明当初始状态超出一定范围时系统将不稳定。但是在例1中分析得，该系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。所以，因为李雅普诺夫函数选取得不同，可能得出完全不同的结论。2.5应用李雅普诺夫第二法分析线性系统的稳定性李雅普诺夫第二法是分析线性系统稳定性的实用方法，对于线性定常系统、线性时变系统以及离散系统都可以给出相应的稳定判据。下面将分别介绍线性定常系统、线性时变系统以及离散系统的李雅普诺夫稳定性分析。2.5.1 线性定常系统的李雅普诺夫稳定性分析设线性连续定常系统： 其中是状态向量，为矩阵；为是系统矩阵，为常数矩阵。线性定常系统在平衡状态处渐近稳定的充要条件是：给定一个正定对称矩阵，存在一个正定实对称矩阵，使满足：且标量函数就是系统的一个李氏函数。通常情况下，判断的符号特征时，先指定一个正定的矩阵，然后检验满足等式的是否是正定的方法要方便的多。特是选取，再由确定矩阵的各个元素尤其方便，其中是单位矩阵。如果沿任意一条轨迹不恒等于零，那么也可选取正半定矩阵。但矩阵的正定性是必要条件。例2.5 已知系统的状态方程是试分析系统平衡状态的稳定性。解 根据给定的状态方程求得系统矩阵为若选取，并且设矩阵具有下面的对称形式，即则由即求得由上面的方程组解出。将计算结果代入矩阵，得因为所以为正定。所以，给定系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。例2.5 Matlab仿真程序如下：function dxdt = exam(t,x)dxdt = x(2);-2*x(1)-x(2);输入上述程序代码后，将文件保存为“exam.m”，该函数是微分方程组函数。tspan = 0 15;x0 = 0;1;t,x = ode45(exam,tspan,x0);plot(t,x(:,1),r-,LineWidth,1.5);hold on;plot(t,x(:,2),g-.,LineWidth,1.5);axis(0 15 -1.5 1.5)legend(x(1),x(2)grid ontitle(系统微分方程的数值解)图2.1 系统微分方程的数值解由图可以看出系统微分方程的数值解由最初的震荡逐渐趋于稳定，所以给定系统是稳定的。同样，如果按照式选取李雅普诺夫函数，即则由求得为负定。根据李雅普诺夫定理1，给定系统的平衡状态为大范围渐近稳定的。2.5.2 线性时变系统的李雅普诺夫稳定性分析设线性时变系统的状态方程是其中，为该系统的状态向量，是矩阵；为系统矩阵，是常数非奇异矩阵，其元素为时间的函数。设，则该系统在平衡点处 大范围渐近稳定的充要条件16是：对于一个任意给定的连续实对称矩阵，存在一个连续的对称正定矩阵使得成立，而且可选标量函数为该系统的李雅普诺夫函数。3 线性系统的状态空间分析3.1 线性系统的能控性与能观性在控制工程中，线性系统的能控性与能观性特别引起设计者的关心，那就是加入适当的控制作用后，能否在有限时间内将系统从任意的状态控制到希望的状态上，即系统是否具有通过控制作用随意支配状态的能力和通过对系统输出在一段时间内的观测，能否判断系统的初始状态，即系统是否具有从输出观测数据估计状态的能力。线性系统的能控性与能观性是由卡尔曼于1960年首先提出的，是现代控制理论中很重要的两个概念。3.1.1 线性系统的能控性能控性表明系统具有受控制作用支配，在有限时间内从任意初始状态向任意希望状态转移的能力。若存在一个不受约束的控制作用在有限时间间隔内，能使系统从任意的初始状态转移到任意的终端状态，则称系统是能控的；若系统的所有状态都是能控的，则称该系统是完全能控的。3.1.1.1 线性定常连续系统的能控性（1）设单输入阶线性定常连续系统的状态方程为其中，状态向量，是矩阵； 控制作用，是输入到系统的标量函数； 系统矩阵，是非奇异常数矩阵；控制矩阵，是常数矩阵。定理3.1 单输入阶线性定常连续系统状态完全能控的充要条件是式中，矩阵称为系统的能控性矩阵。当满足条件时，称矩阵对能控。（2）设多输入阶线性定常连续系统的状态方程为其中 状态向量，是矩阵； 控制作用，是矩阵，其中； 系统矩阵，是非奇异常数矩阵；控制矩阵，是常数矩阵。定理3.2 多输入阶线性定常连续系统状态完全能控的充要条件是其中，矩阵称为系统的能控性矩阵。当满足条件时，称矩阵对能控。3.1.1.2 线性定常连续系统的输出能控性系统的能控性一般是针对系统的状态来说的。但是在分析与设计控制系统时，大多以系统的输出而不是状态作为系统的被控制向量。因此研究系统的输出能控性是十分有必要的。设线性连续系统的状态方程与输出方程分别是其中 状态向量，是矩阵； 控制作用，是矩阵；输出（被控制）向量，是矩阵； 系统矩阵，是非奇异常数矩阵；控制矩阵，是常数矩阵。输出矩阵，是常数矩阵；直接传递矩阵，是常数矩阵。若存在一个控制作用向量在一个幅度上无约束且分段连续，能在有限的时间间隔内，将任意一个初始输出转移到终端输出，则称线性定常连续系统为输出完全能控。由方程所描述的线性定常系统的输出完全能控的充要条件是矩阵称为输出能控矩阵。3.1.2 线性系统的能观测性在控制工程中，若遇到系统的状态向量不能或不能全部直接测量的结果，可以根据系统的输出测量值将不能直接测量的状态变量进行确定。这就是系统的能观性问题。若根据在有限时间间隔内得到的输出的测量值，能够确定系统的初始状态的每一个分量，则表示时刻的初始状态在有限时间间隔是上是能观测的；若系统在任意时刻的所有状态都是能观测的，则表示状态时完全能观测的，即系统能观测，或具有能观性。3.1.2.1 线性定常连续系统的能观测性设线性定常连续系统的状态方程与输出方程分别是其中 状态向量，是矩阵； 控制作用，是矩阵；输出（被控制）向量，是矩阵； 系统矩阵，是非奇异常数矩阵；控制矩阵，是常数矩阵。输出矩阵，是常数矩阵；下面给出线性定常系统具有能观测性的条件。定理3.3 阶线性定常连续系统状态完全能观测的充要条件是满足条件时，则表示矩阵对能观测。3.2 线性系统的状态反馈与输出反馈3.2.1 基本定义在自动控制理论中，反馈原理占有很重要的位置。我们把系统状态变量按照一定的比例关系，反馈给系统的输入端称为状态反馈。把系统的输出变量按照一定的比例关系反馈给输入端称为输出反馈。受控系统通过状态反馈或输出反馈使闭环系统满足在李雅普诺夫意义下达到渐近稳定的，称之为镇定问题。若可以实现，则表示系统是状态反馈或输出反馈可镇定的。3.2.2 具有状态反馈与输出反馈的线性定常系统的状态空间表达式3.2.2.1 输出反馈方框图闭环系统为输出反馈控制器的设计就是确定使得闭环系统稳定，也就是使得稳定即Hurwitz稳定或其它性能指标。3.2.2.2 状态反馈方框图状态反馈控制器的设计就是确定使得闭环系统稳定，也就是具有状态反馈的系统的系统矩阵稳定或者具有其它性能指标。当系统的部分状态变量不可测应用状态反馈受到限制时可以采用输出反馈改善系统的性能。3.2.2.3 两种控制率的比较输出反馈：状态反馈：所有输出反馈能够达到的控制效果，只要选取状态反馈那么就可以达到同样的控制效果。但是，反过来知道和则不一定能够解出矩阵来。也就是说状态反馈有可能获得比输出反馈更好的控制效果。输出反馈既不改变系统的能控性，也不改变系统的能观性。相比较得状态反馈不改变系统的能控性，但是有可能改变系统的能观性。4镇定控制器的设计通过状态反馈(或者输出反馈),使得闭环系统达到渐近稳定的问题称为镇定问题。能通过反馈控制而达到渐近稳定的系统是可镇定的17，镇定一般只要求闭环极点位于复平面的左半开平面内。下面介绍基于输出反馈、状态反馈和李雅普诺夫稳定定理的几种镇定方法。4.1 线性系统输出反馈镇定设具有输出反馈的多输入-输出系统的状态空间表达式是系统的状态方程为由式可得该系统的极点可以任意配置的充要条件是系统完全能控且状态完全能观测。对于完全能控且完全能观的单输入-单输出的系统，设系统的系统矩阵和输出矩阵，即则反馈系统的系统矩阵为与相对应的系统的特征方程为由式可以得出，通过适当得选择输出反馈矩阵的常数元素，可以对系统极点进行任意的配置。例4.1 设线性定常系统的系