江西省九江市2019届第一次高考模拟统一考试数学试题(理科).doc

江西省九江市2018年第一次高考模拟统一考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知为复数，则是为实数的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
4.双曲线的左、右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，且轴，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
5.执行如下图所示的程序框图，输出S的值为（ ）

A. B. C. D.
6.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”。把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中。现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是（ ）

A. B. C. D.
7.的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
8.《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺。”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图）。”（注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为（ ）
A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺
9.函数 的最小正周期为，若其图像向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则函数的图像（ ）
A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
10.设变量满足约束条件，若目标函数的最小值为，则得到最小值为（ ）
A. B. C. D.
11.如图，网格纸上小正方形边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
12.已知直线与曲线和分别交于两点，点的坐标为，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，则在方向上的投影等于__________．
14.若展开式的常数项等于，则__________．
15.如图，中心在坐标原点，焦点分别在轴和轴上的椭圆都过点，且椭圆的离心率相等，以椭圆的四个焦点为顶点顶的四边形面积为，则椭圆的标准方程为__________．

16.在中，分别为角的对边，已知，且的面积为，则的值为__________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列的前项和为，已知，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
18.如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，，点是棱的中点，，点在平面的射影为，为棱上一点，

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若为棱的中点，，求直线与平面所成角的正弦值。
19.某企业为了增加某种产品的生产能力，提出甲、乙两个方案。甲方案是废除原有生产线并引进一条新生产线，需一次性投资1000万元，年生产能力为300吨；乙方案是改造原有生产线，需一次性投资700万元，年生产能力为200吨；根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产线还是改造原有生产线，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为1.5万元/吨。
（Ⅰ）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立。
（i）根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万的概率；
（ii）以企业6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该企业应选择哪个方案。（6年的净利润=6年销售利润-投资费用）

20.已知抛物线的焦点为，直线与相切于点，
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线交于两点，是的中点，若，求点到轴距离的最小值及此时直线的方程。
21.已知函数
（Ⅰ）若函数存在最小值，且最小值大于，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数，使得，求证：函数在区间上单调递增。
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为。
（Ⅰ）求的极坐标方程；
（Ⅱ）设点的极坐标为，求面积的最小值。
23.设函数
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）求证：

江西省九江市2018年第一次高考模拟统一考试
数学试题（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
可解出集合A，B，然后进行交集的运算即可．
【详解】A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x＞﹣1}；
∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜4}．
故选：D．
【点睛】本题考查描述法的定义，分式不等式的解法，对数函数的定义域，以及交集的运算，属于基础题．
2.已知为复数，则是为实数的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
根据充分条件和必要条件的定义结合复数的运算进行判断即可．
【详解】令z＝a+bi，∵（a+bi）•（2﹣i）＝2a+b+（2b﹣a）i，
∴z•（2﹣i）为实数⇔a＝2b，
又z＝2+i⇔，
∵⇒a＝2b，
a＝2b推不出，
∴是a＝2b充分不必要条件，
即z＝2+i是z•（2﹣i）为实数的充分不必要条件．
故选：A．
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的运算是解决本题的关键．
3.若sinx＜0，且sin（cosx）＞0，则角是（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角函数角的范围和符号之间的关系进行判断即可．
【详解】∵﹣1≤cosx≤1，且sin（cosx）＞0，
∴0＜cosx≤1，
又sinx＜0，
∴角x为第四象限角，
故选：D．
【点睛】本题主要考查三角函数中角的象限的确定，根据三角函数值的符号去判断象限是解决本题的关键．
4.双曲线的左、右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线在第一象限的交点为，且轴，则该双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用已知条件列出a，b，c关系，然后求解离心率即可．
【详解】由题意可得：2c，∴b2＝2ac，∴c2﹣2ac﹣a2＝0，即e2﹣2e﹣1＝0，解得e．
故选：C．
【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
5.执行如下图所示的程序框图，输出S的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由已知中的程序可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．
【详解】模拟程序的运行，可得：
当k＝1时，不满足k>6，
执行循环体得S=0+cos=，k=2，不满足k>6，
执行循环体得S=+cos=+，k=3，不满足k>6，
执行循环体得S=++cos=+，k=4，不满足k>6，
执行循环体得S=++cos=+，k=5，不满足k>6，
执行循环体得S=+cos=，k=6，不满足k>6，
执行循环体得S=0+cos=，k=7，满足k>6，退出循环，输出S=-1，
故选：A．
【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．
6.河图是上古时代神话传说中伏羲通过黄河中浮出龙马身上的图案，与自己的观察，画出的“八卦”，而龙马身上的图案就叫做“河图”。把一到十分成五组，如图，其口诀：一六共宗，为水居北；二七同道，为火居南；三八为朋，为木居东；四九为友，为金居西；五十同途，为土居中。现从这十个数中随机抽取四个数，则能成为两组的概率是（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出基本事件总数n，能成为两组的基本事件个数m，由此能求出能成为两组的概率．
【详解】现从这十个数中随机抽取4个数，
基本事件总数n，
能成为两组的基本事件个数m，
则能成为两组的概率是p．
故选：C．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7.的部分图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性以及对称性，结合函数值的符号是否一致进行排除即可．
【详解】f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）是偶函数，图象关于y轴对称，排除A，D，
f（π）＝lnπ﹣cosπ＝lnπ+1＞0，排除C，
故选：B．
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及特殊值的符号进行排除是解决本题的关键．
8.《九章算术》卷第五《商功》中，有“贾令刍童，上广一尺，袤二尺，下广三尺，袤四尺，高一尺。”，意思是：“假设一个刍童，上底面宽1尺，长2尺；下底面宽3尺，长4尺，高1尺（如图）。”（注：刍童为上下底面为相互平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的几何体），若该几何体所有顶点在一球体的表面上，则该球体的表面积为（ ）
A. 平方尺 B. 平方尺 C. 平方尺 D. 平方尺
【答案】B
【解析】
【分析】
由已知得球心在几何体的外部，设球心到几何体下底面的距离为x，列方程求出x＝2，从而R2，由此能求出该球体的表面积．
【详解】由已知得球心在几何体的外部，
设球心到几何体下底面的距离为x，
则R2＝x2+（）2＝（x+1）2+（）2，
解得x＝2，
∴R2，∴该球体的表面积S＝41π．
故选：B．
【点睛】本题考查该球体的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
9.函数 的最小正周期为，若其图像向左平移个单位后得到的函数为偶函数，则函数的图像（ ）
A. 关于点对称 B. 关于点对称 C. 关于直线对称 D. 关于直线对称
【答案】B
【解析】
【分析】
利用正弦函数的周期性、函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
【详解】∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|）的最小正周期为π，∴π，∴ω＝2．把其图象向左平移个单位后得到函数sin（2xφ）的图象，因为得到的函数为偶函数，∴φ＝kπ，k∈Z，∴φ，∴f（x）＝sin（2x）．
由于当x时，函数f（x）＝0，故A不满足条件，而B满足条件；
令x，求得函数f（x）＝sin，故A、C不满足条件，
故选：B．
【点睛】本题主要考查正弦函数的周期性、诱导公式，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．
10.设变量满足约束条件，若目标函数的最小值为，则得到最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．
【详解】变量x，y满足约束条件的可行域如图，
当直线z＝ax+by（a＞0，b＞0）过直线y＝1和2x﹣y﹣3＝0的交点（2，1）时，有最小值为1；
∴2a+b＝1，（2a+b）（）＝33+23+2．

故选：D．
【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
11.如图，网格纸上小正方形边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图知该几何体为三棱锥，画出直观图、判断出位置关系和求出长度，利用椎体的体积公式求出答案.
【详解】由三视图知该几何体为三棱锥D﹣ABC，如图：

D到面ABC的距离等于E到面ABC的距离的一半，又面ABC即为面ABCF,所以E到面ABC的距离为面对角线的一半，为，
所以D到面ABC的距离等于，
又SABC4，
所以其体积V，
故选：B．
【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，由三视图正确还原几何体和借助正方体是解题的关键，考查空间想象能力．
12.已知直线与曲线和分别交于两点，点的坐标为，则面积的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出S△ABC•2•|BC|＝et+t2﹣t+2，令f（t）＝et+t2﹣t+2，t∈R，求出函数的导数，根据函数的单调性求出三角形面积的最小值即可．
【详解】由已知得B（t，et），C（t，﹣t2+t﹣2），
则|BC|＝et+t2﹣t+2，
故S△ABC•2•|BC|＝et+t2﹣t+2，
令f（t）＝et+t2﹣t+2，t∈R，
f′（t）＝et+2t﹣1，
f′（t）在R递增，又f′（0）＝0，
故t＞0时，f′（t）＞0，t＜0时，f′（t）＜0，
故f（t）在（﹣∞，0）递减，在区间（0，+∞）递增，
故f（t）min＝e0+0﹣0+2＝3，
故S△ABC的最小值是3，
故选：C．
【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道综合题．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知向量，则在方向上的投影等于__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据向量的数量积公式得到向量在方向上的投影为它们的数量积除以的模．
【详解】向量，则向量在方向上的投影为：；
故答案为．
【点睛】本题考查了向量的几何意义考查了向量的数量积公式，属于基础题．
14.若展开式的常数项等于，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据二项展开式的通项公式，求得（x+2）（x）5展开式的常数项，再根据常数项等于80，求得a的值．
【详解】∵（x）5的展开式的通项公式为Tr+1•（﹣1）r•a5﹣r•x2r﹣5，显然，2r﹣5为奇数，
所以若求展开式的常数项，则2r﹣5=-1，所以r=2,
故（x+2）（x）5的展开式的常数项等于•a3＝80，∴a＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
15.如图，中心在坐标原点，焦点分别在轴和轴上的椭圆都过点，且椭圆的离心率相等，以椭圆的四个焦点为顶点顶的四边形面积为，则椭圆的标准方程为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
由题意可设椭圆C1：1，C2：1（a，0＜b），运用离心率公式和四边形的面积公式，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程．
【详解】由题意可设椭圆C1：1，
C2：1（a，0＜b），
由，即有ab＝2，
由2•2，
可得（a2﹣2）（2﹣b2）＝2，
解得a＝2，b＝1，
即有椭圆C1：1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查了离心率公式，注意运用方程思想，考查运算能力，属于基础题．
16.在中，分别为角的对边，已知，且的面积为，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据同角的三角函数关系和正弦、余弦定理求得角A的值，再利用正弦定理和比例性质求得，结合△ABC的面积求出a的值．
【详解】△ABC中，由cos2A﹣cos2B+sin2C＝sinBsinC，
得1- sin2A -（1- sin2B）+sin2C＝sin2B+sin2C﹣sin2A＝sinBsinC，
∴b2+c2﹣a2＝bc，
由余弦定理得cosA，
又A∈（0，π），
∴A；
由正弦定理，
∴，
即，
化简得a2＝3bc；
又△ABC的面积为S△ABCbcsinA，
∴bc＝4，
∴a2＝12，
解得a＝2．
故答案为：2.
【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，也考查了三角形面积公式应用问题，是中档题．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.设数列的前项和为，已知，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和。
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据题意，由2Sn＝（1）an+1可得2Sn﹣1＝（1）an，两式相减可得（1）（an+1﹣3an）＝0，变形可得：an+1＝3an，据此分析可得数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，由等比数列的通项公式分析可得结论；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论，an＝3n﹣1，结合bn＝（﹣1）n•（log3an）2，分析可得数列{bn}的通项，分析可得b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3，由此分析可得答案．
【详解】（1）根据题意，数列{an}满足2Sn＝（1）an+1，①
则有2Sn﹣1＝（1）an，②
①﹣②可得：（1）（an+1﹣3an）＝0，
变形可得：an+1＝3an，
又由a1＝1，2a1＝2S1＝（1）a2，解可得a2＝3，所以a2＝3a1
则数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，则an＝3n﹣1；
（2）由（1）的结论，an＝3n﹣1，
则bn＝（﹣1）n•（log3an）2＝（﹣1）n•（log3（3n﹣1）]2＝（﹣1）n（n﹣1）2，
则b2n﹣1+b2n＝﹣（2n﹣2）2+（2n﹣1）2＝4n﹣3；
数列{bn}的前2n项和T2n＝1+5+9+……+（4n﹣3）2n2﹣n．
【点睛】本题考查数列的求和以及数列的递推公式的应用，关键是求出数列{an}的通项公式．
18.如图，已知四棱锥的底面是边长为的菱形，，点是棱的中点，，点在平面的射影为，为棱上一点，

（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）若为棱的中点，，求直线与平面所成角的正弦值。
【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)
【解析】
【分析】
（Ⅰ）推导出BC⊥PO，BC⊥DE，从而BC⊥平面PED，由此能证明平面PED⊥平面BCF．
（Ⅱ）设AC∩BD＝Q，以Q为原点，QB，QC分别为x，y轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CF与平面PAB所成角的正弦值．
【详解】（Ⅰ）平面，平面，
依题意得为等边三角形，为棱的中点，
又平面，平面
又平面，平面平面.
（Ⅱ）设，以为坐标原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，
设平面的一个法向量为，则，即，令，
得，
，故直线与平面所成角的正弦值为
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
19.某企业为了增加某种产品的生产能力，提出甲、乙两个方案。甲方案是废除原有生产线并引进一条新生产线，需一次性投资1000万元，年生产能力为300吨；乙方案是改造原有生产线，需一次性投资700万元，年生产能力为200吨；根据市场调查与预测，该产品的年销售量的频率分布直方图如图所示，无论是引进新生产线还是改造原有生产线，设备的使用年限均为6年，该产品的销售利润为1.5万元/吨。
（Ⅰ）根据年销售量的频率分布直方图，估算年销量的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（Ⅱ）将年销售量落入各组的频率视为概率，各组的年销售量用该组区间的中点值作年销量的估计值，并假设每年的销售量相互独立。
（i）根据频率分布直方图估计年销售利润不低于270万的概率；
（ii）以企业6年的净利润的期望值作为决策的依据，试判断该企业应选择哪个方案。（6年的净利润=6年销售利润-投资费用）

【答案】(Ⅰ)206(Ⅱ) （ⅰ）0.7（ⅱ）乙方案
【解析】
【分析】
（Ⅰ）由频率分布直方图能求出年销量的平均数．
（Ⅱ）（i）该产品的销售利润为1.5万元/吨，由频率分布直方图得只有当年平均销量不低于180吨时年销售利润才不低于270万，由此能求出年销售利润不低于270万的概率．
（ii）分别求出甲方案6年的净利润的期望值和乙方案6年的净利润的期望值，由乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值，得企业应该选择乙方案．
【详解】（Ⅰ）年销售量的平均数（吨）
（Ⅱ）（ⅰ）该产品的销售利润为万元/吨,由直方图可知只有当年平均销量不低于吨时，年销售利润才不低于万，年销售利润不低于万的概率
（ⅱ）设甲方案的年销售量为吨，由（Ⅰ）可知甲方案的年销售量的期望，
所以甲方案6年的净利润的期望值为：（万元）
设乙方案的年销售量为吨，则乙方案的年销售量的分布列为：

乙方案的年销售量期望
乙方案6年的净利润的期望值为:（万元）
由上可知乙方案的净利润的期望值大于甲方案的净利润的期望值，故企业应选择乙方案。
【点睛】本题考查频率分布直方图、平均数、概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.已知抛物线的焦点为，直线与相切于点，
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线交于两点，是的中点，若，求点到轴距离的最小值及此时直线的方程。
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 最小值为，此时直线的方程为
【解析】
【分析】
（Ⅰ）设A（x0，y0），联立直线方程和抛物线方程，运用判别式为0，结合抛物线的定义，可得抛物线方程；
（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式，结合中点坐标公式和基本不等式可得所求直线方程．
【详解】（Ⅰ）设，联立方程，得
由，得
，解得
故抛物线的方程为
（Ⅱ）由题意可得直线l的斜率不为0，设l：x＝my+n，M（x1，y1），N（x2，y2），
联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣4n＝0，
△＝16m2+16n＞0，y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4n，
|AB|•8，
可得nm2，
2m，2m2+nm2
m2+1﹣1≥21＝3，
当且仅当m2+1，即m2＝1，即m＝±1，
T到y轴的距离的最小值为3，
此时n＝1，直线的方程为x±y﹣1＝0.
【点睛】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用直线和抛物线相切的条件：判别式为0，考查直线和抛物线方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查运算能力，属于中档题．
21.已知函数
（Ⅰ）若函数存在最小值，且最小值大于，求实数的取值范围；
（Ⅱ）若存在实数，使得，求证：函数在区间上单调递增。
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最小值，从而确定a的范围即可；
（Ⅱ）令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），得到f（x1）＞f（2a﹣x1），结合f（x1）＝f（x2），从而证明结论．
【详解】（Ⅰ）f′（x），
①a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）递增，故无最小值；
②a＞0时，由f′（x）＞0，解得：x＞a，
由f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，
故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
此时f（x）有最小值，且f（x）min＝a（1﹣a﹣lna），
令g（a）＝1﹣a﹣lna（a＞0），
则g（a）在（0，+∞）递减，又g（1）＝0，
∴0＜a＜1时，g（a）＞0，此时f（x）min＞0，
a≥1时，g（a）≤0，此时f（x）min≤0，
故a的范围是（0，1）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，要存在实数x1，x2，使得f（x1）＝f（x2），则a＞0，
∵f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，
不妨设0＜x1＜x2，则0＜x1＜a，
令h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x），x∈（0，a），
则h′（x），
∴x∈（0，a）时，h′（x）＜0，
∴h（x）在（0，a）递减，
∵x1∈（0，a），∴h（x1）＞h（a）＝f（a）﹣f（a）＝0，
即f（x1）﹣f（2a﹣x1）＞0，
∴f（x1）＞f（2a﹣x1），
∵f（x1）＝f（x2），
∴f（x2）＞f（2a﹣x1），
∵0＜x1＜a，∴2a﹣x1＞a，
∵f（x）在（a，+∞）递增，
∴x2＞2a﹣x1，∴a，
∴函数f（x）在区间[，+∞）递增，
∵x1≠x2，∴，
∴函数f（x）在区间[，+∞）上单调递增．
【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系（），点为曲线上的动点，点在线段的延长线上，且满足，点的轨迹为。
（Ⅰ）求的极坐标方程；
（Ⅱ）设点的极坐标为，求面积的最小值。
【答案】(Ⅰ) :;:(Ⅱ)2
【解析】
【分析】
（1）由曲线C1的参数方程能求出曲线C1的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程；设点B的极坐标为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，从而ρ•ρ0＝8，由此能求出C2的极坐标方程．
（2）由|OC|＝2，S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC|OC|•|ρBcosθ﹣ρAcosθ|＝|4﹣2cos2θ|，由此能求出S△ABC的最小值．
【详解】（1）∵曲线C1的参数方程为（α为参数），
∴曲线C1的普通方程为x2+y2﹣2x＝0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ，
设点B的极坐标为（ρ，θ），点A的极坐标为（ρ0，θ0），
则|OB|＝ρ，|OA|＝ρ0，ρ0＝2cosθ0，θ＝θ0，
∵|OA|•|OB|＝8，∴ρ•ρ0＝8，
∴，ρcosθ＝4，
∴C2的极坐标方程为ρcosθ＝4．
（2）由题设知|OC|＝2，
S△ABC＝S△OBC﹣S△OAC|OC|•|ρBcosθ﹣ρAcosθ|＝|4﹣2cos2θ|，
当θ＝0时，S△ABC取得最小值为2．
【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查三角形的面积的最小值的求法，考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
23.设函数
（Ⅰ）当时，解不等式；
（Ⅱ）求证：
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)详见解析
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）≥1等价于|x+1|﹣|x﹣1|≥1，去绝对值，分段求出即可，
（Ⅱ）根据绝对值三角不等式可得f（x），只要证明2即可.
【详解】（Ⅰ）当a＝1时，不等式f（x）≥1等价于|x+1|﹣|x﹣1|≥1，
当x≤﹣1时，不等式化为﹣x﹣1+x﹣1≥1，原不等式无解，
当﹣1＜x＜1时，不等式化为x+1+x﹣1≥1，解得x＜1，
当x≥1时，不等式化为x+1﹣x+1≥1，解得x≥1，
综上所述，不等式的解集为[，+∞）；
（Ⅱ）f（x）＝|x|﹣|x|≤|（x）﹣（x）|，
∵a∈[0，2]，
∴a+2﹣a≥2，
∴2[a+（2﹣a）]≥（）2，
∴（）2≤4，
∴2，
∴f（x）≤2．
【点睛】本题考查了绝对值不等式的应用和不等式的证明，考查了推理论证能力，属于中档题．