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2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版
2013年高考文科数学全国新课标卷1试题与答案word解析版

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17

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
(全国卷I新课标)
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝｛1，2，3,4｝，，则(　　)．
A． B． C． D．
2．(　　）．
A． B． C． D．
3．从1,2,3,4中任取2个不同的数，则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是（　　）．
A． B． C． D．
4．已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为(　　)．
A． B． C． D．
5．已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（　　）．
A．p∧q B．p∧q C．p∧q D．p∧q
6．设首项为1，公比为的等比数列的前项和为，则（　　)．
A． B． C． D．
7．执行下面的程序框图,如果输入的，则输出的s属于(　　）．
A． B． C． D．

8．为坐标原点，为抛物线的焦点，为上一点,若,则的面积为（　　）．
A． B． C． D．
9．函数在的图像大致为(　　)．

10．已知锐角的内角的对边分别为,,则b＝（　　）．
A．10 B．9 C．8 D．5
11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）．
A． B． C． D．

12．已知函数若，则的取值范围是(　　）．
A． B． C． D．

第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．已知两个单位向量a，b的夹角为，cab。若b·c，则 .
14．设满足约束条件则的最大值为 ．
15．已知是球的直径AB上一点，,平面，为垂足,截球所得截面的面积为,则球的表面积为 ．
16．设当时,函数取得最大值,则 。
三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分12分）已知等差数列的前项和满足.
（1)求的通项公式；
（2）求数列的前项和．
18．（本小题满分12分)为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药，B药)的疗效，随机地选取20位患者服用A药，20位患者服用B药，这40位患者在服用一段时间后，记录他们日平均增加的睡眠时间（单位：h）．试验的观测结果如下：
服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
0.6　1.2　2.7　1。5　2.8　1.8　2.2　2。3　3.2　3.5　2.5　2.6　1。2　2。7　1。5　2.9　3。0　3.1　2。3　2。4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间：
3.2　1。7　1.9　0.8　0。9　2。4　1。2　2.6　1.3　1。4　1.6　0.5　1.8　0.6　2。1　1。1　2.5　1.2　2。7　0.5
(1）分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪种药的疗效更好？
(2)根据两组数据完成下面茎叶图，从茎叶图看，哪种药的疗效更好?

19．(本小题满分12分)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB,AB＝AA1，∠BAA1＝60°。
（1）证明：AB⊥A1C;
(2）若AB＝CB＝2,A1C＝，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．

20． （本小题满分12分)已知函数,曲线在点处的切
线方程为.
(1)求的值;
（2）讨论的单调性,并求的极大值．
21．（本小题满分12分)已知圆，圆,动圆与圆外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线.
(1）求的方程;
(2)是与圆，圆都相切的一条直线，与曲线交于两点,当圆的半径最长时，求。

请考生在第(22）、（23）、（24)三题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．（本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲
如图，直线AB为圆的切线,切点为B,点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于点D.

23．（本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.
（1)把C1的参数方程化为极坐标方程；
（2)求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π)．
24．(本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f（x）＝｜2x－1｜＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.
(1)当a＝－2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；
（2）设a＞－1，且当x∈时,f(x）≤g（x），求a的取值范围．
2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学文史类
（全国卷I新课标）
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．
答案：A
解析:∵B＝{x|x＝n2，n∈A}＝{1，4，9,16},
∴A∩B＝｛1,4｝．
2．
答案：B
解析：＝。
3．
答案：B
解析:由题意知总事件数为6，且分别为（1,2）,（1，3），（1,4）,(2，3），（2,4)，(3,4），满足条件的事件数是2,所以所求的概率为.
4．
答案：C
解析：∵，∴，即。
∵c2＝a2＋b2，∴.∴。
∵双曲线的渐近线方程为,
∴渐近线方程为。故选C.
5．
答案:B
解析：由20＝30知，p为假命题．令h(x）＝x3－1＋x2,
∵h（0)＝－1＜0,h（1)＝1＞0，
∴x3－1＋x2＝0在(0,1）内有解．
∴∃x∈R,x3＝1－x2,即命题q为真命题．由此可知只有p∧q为真命题．故选B.
6．
答案：D
解析：＝3－2an,故选D。
7．
答案：A
解析：当－1≤t＜1时，s＝3t，则s∈［－3，3）．
当1≤t≤3时,s＝4t－t2。
∵该函数的对称轴为t＝2,
∴该函数在［1,2］上单调递增,在[2，3]上单调递减．
∴smax＝4，smin＝3.
∴s∈[3，4]．
综上知s∈［－3，4］．故选A。
8．
答案:C
解析:利用｜PF|＝,可得xP＝。
∴yP＝.∴S△POF＝|OF|·|yP|＝.
故选C.
9．
答案：C
解析：由f（x)＝（1－cos x)sin x知其为奇函数．可排除B．当x∈时,f(x）＞0，排除A.
当x∈(0，π）时，f′（x)＝sin2x＋cos x（1－cos x)＝－2cos2x＋cos x＋1。
令f′（x)＝0,得。
故极值点为，可排除D,故选C。
10．
答案：D
解析：由23cos2A＋cos 2A＝0,得cos2A＝.
∵A∈,∴cos A＝。
∵cos A＝,∴b＝5或(舍)．
故选D。
11．
答案：A
解析:该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体．
V半圆柱＝π×22×4＝8π，
V长方体＝4×2×2＝16.
所以所求体积为16＋8π。故选A.
12．
答案:D
解析:可画出|f（x)|的图象如图所示．

当a＞0时,y＝ax与y＝|f（x）|恒有公共点，所以排除B，C;
当a≤0时，若x＞0，则｜f(x）｜≥ax恒成立．
若x≤0，则以y＝ax与y＝｜－x2＋2x|相切为界限，
由得x2－(a＋2)x＝0.
∵Δ＝（a＋2)2＝0，∴a＝－2.
∴a∈［－2，0］．故选D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．答案：2
解析：∵b·c＝0，｜a｜＝｜b|＝1,〈a，b〉＝60°，∴a·b＝。
∴b·c＝［ta＋（1－t)b]·b＝0，
即ta·b＋(1－t)b2＝0。
∴＋1－t＝0.
∴t＝2。
14．答案：3
解析：画出可行域如图所示．

画出直线2x－y＝0，并平移，当直线经过点A（3,3）时，z取最大值，且最大值为z＝2×3－3＝3.
15．答案：
解析：如图，

设球O的半径为R，
则AH＝,
OH＝。
又∵π·EH2＝π,∴EH＝1.
∵在Rt△OEH中,R2＝，∴R2＝。
∴S球＝4πR2＝。
16．答案：
解析:∵f（x)＝sin x－2cos x＝sin（x－φ),
其中sin φ＝，cos φ＝。
当x－φ＝2kπ＋（k∈Z）时，f（x）取最大值．
即θ－φ＝2kπ＋(k∈Z)，θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z）．
∴cos θ＝＝－sin φ＝.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．
解：（1)设{an｝的公差为d，则Sn＝.
由已知可得
解得a1＝1，d＝－1.
故{an}的通项公式为an＝2－n。
（2)由(1）知＝,
从而数列的前n项和为

＝.
18．
解：(1）设A药观测数据的平均数为，B药观测数据的平均数为。
由观测结果可得
＝（0。6＋1。2＋1。2＋1.5＋1。5＋1.8＋2.2＋2。3＋2。3＋2。4＋2.5＋2.6＋2.7＋2.7＋2。8＋2。9＋3.0＋3。1＋3。2＋3。5)
＝2.3，
＝（0.5＋0.5＋0。6＋0.8＋0.9＋1.1＋1.2＋1.2＋1.3＋1.4＋1。6＋1.7＋1。8＋1。9＋2.1＋2。4＋2.5＋2.6＋2。7＋3。2）
＝1.6.
由以上计算结果可得＞,因此可看出A药的疗效更好．
(2）由观测结果可绘制如下茎叶图:

从以上茎叶图可以看出，A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上，而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0，1上，由此可看出A药的疗效更好．
19．

（1）证明:取AB的中点O，连结OC，OA1，A1B。
因为CA＝CB，
所以OC⊥AB。
由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°,
故△AA1B为等边三角形，
所以OA1⊥AB。
因为OC∩OA1＝O，所以 AB⊥平面OA1C.
又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C。
(2）解：由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，
所以OC＝OA1＝.
又A1C＝，则A1C2＝OC2＋，
故OA1⊥OC。
因为OC∩AB＝O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．
又△ABC的面积S△ABC＝,故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA1＝3。
20．
解：（1）f′(x)＝ex（ax＋a＋b）－2x－4。
由已知得f（0)＝4，f′(0)＝4。
故b＝4，a＋b＝8。
从而a＝4，b＝4。
（2)由(1)知，f（x）＝4ex(x＋1)－x2－4x，
f′（x)＝4ex(x＋2）－2x－4＝4（x＋2）·。
令f′（x)＝0得，x＝－ln 2或x＝－2。
从而当x∈（－∞，－2）∪（－ln 2，＋∞)时，f′（x)＞0；
当x∈（－2,－ln 2)时，f′(x）＜0。
故f(x)在（－∞,－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在（－2，－ln 2)上单调递减．
当x＝－2时,函数f(x）取得极大值,极大值为f（－2)＝4（1－e－2）．
21．
解：由已知得圆M的圆心为M（－1，0)，半径r1＝1；圆N的圆心为N(1，0)，半径r2＝3。设圆P的圆心为P(x,y)，半径为R.
(1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，
所以｜PM｜＋｜PN｜＝(R＋r1)＋（r2－R）＝r1＋r2＝4.
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为(x≠－2)．
(2）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于｜PM|－｜PN|＝2R－2≤2,
所以R≤2，当且仅当圆P的圆心为（2，0)时，R＝2.
所以当圆P的半径最长时,其方程为（x－2)2＋y2＝4.
若l的倾斜角为90°，则l与y轴重合,可得|AB|＝。
若l的倾斜角不为90°，由r1≠R知l不平行于x轴，设l与x轴的交点为Q，则，可求得Q（－4，0)，所以可设l：y＝k（x＋4）．
由l与圆M相切得＝1,解得k＝.
当k＝时，将代入,并整理得7x2＋8x－8＝0，解得x1,2＝，
所以|AB｜＝｜x2－x1|＝。
当k＝时，由图形的对称性可知｜AB｜＝.
综上,|AB｜＝或｜AB｜＝。
请考生在第（22）、(23)、（24)三题中任选一题做答．注意:只能做所选定的题目．如果多做,则按所做的第一个题目计分,做答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．
22．
（1）证明：连结DE,交BC于点G。

由弦切角定理得，∠ABE＝∠BCE.
而∠ABE＝∠CBE,
故∠CBE＝∠BCE,BE＝CE.
又因为DB⊥BE，
所以DE为直径，∠DCE＝90°，
由勾股定理可得DB＝DC.
（2)解：由（1）知，∠CDE＝∠BDE，DB＝DC，
故DG是BC的中垂线，
所以BG＝。
设DE的中点为O，连结BO，则∠BOG＝60°.
从而∠ABE＝∠BCE＝∠CBE＝30°，
所以CF⊥BF，
故Rt△BCF外接圆的半径等于.
23．
解:（1）将消去参数t,化为普通方程（x－4）2＋（y－5）2＝25，
即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0。
将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
所以C1的极坐标方程为
ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.
（2）C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0。
由
解得或
所以C1与C2交点的极坐标分别为,。
24．
解：（1)当a＝－2时，不等式f(x）＜g（x)化为|2x－1｜＋|2x－2｜－x－3＜0.
设函数y＝｜2x－1｜＋|2x－2｜－x－3，
则y＝
其图像如图所示．从图像可知,当且仅当x∈（0,2)时,y＜0.

所以原不等式的解集是{x|0＜x＜2｝．
(2）当x∈时，f(x）＝1＋a。
不等式f（x）≤g（x）化为1＋a≤x＋3.
所以x≥a－2对x∈都成立．
故≥a－2，即a≤。
从而a的取值范围是.