2021年高考数学高分秘籍-平面解析几何.docx

2021年高考数学高分秘籍 平面解析几何

2021年高考数学高分秘籍 平面解析几何

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平面解析几何
1． 已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1∥l2,则实数a的值为(　　)
A. B.-4 C.4 D.
【答案】B
解析:由-2×8=0,得a=±4.
当a=4时,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1与l2重合.
当a=-4时,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1∥l2.
综上所述,a=-4.
故选:B

由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.

2.过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2+y2﹣4y=0所截得的弦长为（　　）
A．23 B．2
C．6 D．3
【答案】A
【解析】：根据题意：直线方程为：y=3x，
∵圆x2+y2﹣4y=0，
∴圆心为：（0，2），半径为：2，
圆心到直线的距离为：d=1，
∴弦长为24-1=23，
故选：A．

3．直线l过点（﹣4，0）且与圆（x+1）2+（y﹣2）2=25交于A、B两点，如果|AB|=8，那么直线l的方程为（　　）
A．5x+12y+20=0 B．5x﹣12y+20=0或x+4=0
C．5x﹣12y+20=0 D．5x+12y+20=0或x+4=0
【答案】D
解析：当切线的斜率不存在时，直线l的方程为 x+4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件．
当切线的斜率存在时，设直线l的方程为 y﹣0=k （x+4 ），即 kx﹣y+4k=0，
则圆心（﹣1，2）到直线l的距离为 d=|-k-2+4k|k2+1=|3k-2|k2+1．再由 d2+(AB2)2=r2，
得 |3k-2|k2+1=3，∴k=﹣512，∴直线l的方程为 y﹣0=﹣512（x+4），
即 5x+12y+20=0．
故选：D．

1．涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则.
2．求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.

4．己知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】D
解析：如图，

由题意可得，，则，
即，则，
，即．
故选：D．
5．设椭圆的焦点为，，是椭圆上一点，且，若△的外接圆和内切圆的半径分别为，，当时，椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】：椭圆的焦点为，，，
根据正弦定理可得，
，．
设，，则，
由余弦定理得，，
，
，又，
，即，故，
解得：或（舍．
故选：B．

椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：
（1）求出a,c，代入公式.
（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

6．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为　　
A． B． C． D．2
【答案】A
【解析】：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，
则，
所以该条渐近线方程为；
所以，
解得；
所以，
所以双曲线的离心率为．
故选：A．
7．双曲线的左右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与的公共点为，若△是直角三角形，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】：由题意知，若△是直角三角形，则，且，
又由双曲线的定义，可得，
可得，即，
由，解得，
故选：C．

求双曲线的离心率一般有两种方法
（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.
（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.

8．如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l作垂线，垂直为B，若△ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是（　　）

A．y2=12x B．y2＝x C．y2＝2x D．y2＝4x
【答案】D
【解析】：设直线l交x轴于点C
∵AB⊥l，l⊥x轴，
∴AB∥x轴，可得∠BFC＝∠ABF＝60°，
Rt△BCF中，|CF|＝|BF|cos60°＝p，解得|BF|＝2p，
由AB⊥y轴，可得3+p2=2p，
∴p＝2，
∴抛物线的标准方程是y2＝4x．
故选：D．
9．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，点P(a,4)在抛物线C上，O为坐标原点，PF=5，且OP>5.
（1）求抛物线C的方程；
（2）过焦点F，且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l'交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN的面积.
【解析】（1）将P(a,4)代入抛物线的方程y2=2px，得a=8p，所以P(8p,4)，
因为PF=5，所以8p+p2=5，整理得p2-10p+16=0，
解得p=2或p=8，
当p=2时，P(4,4)，满足OP>5；
当p=8时，P(1,4)，OP<5，不符合题意，舍去.
所以抛物线C的方程为y2=4x.
（2）因为l的方程为x=y+1，代入C：y2=4x，得y2-4y-4=0.
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，
则y1+y2=4，y1y2=-4，
故AB的中点为D(3,2)，
AB=12+1(y1+y2)2-4y1y2=8.
又因为l'的斜率为-1，所以l'的方程为y-2=-(x-3)，即x=-y+5.
将上式代入C：y2=4x，并整理得y2+4y-20=0.
设M(x3,y3)，N(x4,y4)，则y3+y4=-4，y3y4=-20，
故MN=(-1)2+1(y3+y4)2-4y3y4=83.
所以四边形AMBN的面积S=12AB⋅MN=12×8×83=323.

用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：

若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.

1．已知直线l1：x•sinα+y﹣1=0，直线l2：x﹣3y•cosα+1=0，若l1⊥l2，则sin2α=（　　）
A．23 B．±35
C．﹣35 D．35
【答案】D
【解析】：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα=0，
所以tanα=3，
所以sin2α=2sinαcosα=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=35．
故选：D．

两条直线的位置关系

斜截式
一般式
与相交

与垂直

与平行
且
或
与重合
且

2．圆x2+y2-4x=0在点P(1,3)处的切线方程为(　　)
A.x+3y-2=0 B.x+3y-4=0
C.x-3y+4=0 D.x-3y+2=0
【答案】D
【解析】:∵点P(1,3)在圆x2+y2-4x=0上,
∴点P为切点.从而圆心与点P的连线应与切线垂直.
又∵圆心为(2,0),设切线斜率为k,
∴0-32-1·k=-1,解得k=33.
∴切线方程为x-3y+2=0.
故选:D
3.若直线与圆相切，则等于　　
A．1或 B．或 C．1或3 D．或3
【答案】A
【解析】：根据题意，圆的圆心为，半径，
若直线与圆相切，
则圆心到直线的距离，即，
解可得：或，
故选：A．

1．求过圆上的一点的切线方程：
先求切点与圆心连线的斜率k，若k不存在，则由图形可写出切线方程为;若,则由图形可写出切线方程为;若k存在且k≠0，则由垂直关系知切线的斜率为，由点斜式方程可求切线方程.
2．求过圆外一点的圆的切线方程：
（1）几何方法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即.由圆心到直线的距离等于半径长，即可得出切线方程.
（2）代数方法
当斜率存在时，设为k，则切线方程为，即,代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由,求得k,切线方程即可求出.
3．在求过一定点的圆的切线方程时，应首先判断定点与圆的位置关系，若点在圆上，则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线有两条；若点在圆内，则切线不存在．

4．已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，直线与双曲线C的右支相交于P，若，则双曲线C的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由，解得P2a,3b，
根据双曲线的定义有PF1-PF2=PF2=2a，双曲线的焦点F2c,0，
故PF2=2a-c2+3b2=2a，两边平方化简得4c2-4ac-3a2=0，
即4e2-4e-3=0，解得e=32，
故ba2=e2-1=54，
所以ba=52，
即双曲线的渐近线方程为y=±52x.
故选C．

对于双曲线的渐近线，有下面两种考查方式：
（1）已知双曲线的方程求其渐近线方程;
（2）给出双曲线的渐近线方程求双曲线方程，由渐近线方程可确定a,b的关系，结合已知条件可解.

4．已知椭圆E: 与y轴的正半轴相交于点M,点F1,F2为椭圆的焦点,且是边长为2的等边三角形,若直线l:y=kx+23与椭圆E交于不同的两点A,B.
(1)直线MA,MB的斜率之积是否为定值?若是,请求出该定值,若不是,请说明理由;
(2)求的面积的最大值.
【解析】(1)因为是边长为2的等边三角形,所以2c=2,b=3c,a=2,
所以a=2,b=3,
所以椭圆E:x24+y23=1,点M(0,3).
将直线l:y=kx+23代入椭圆E的方程,
整理得(3+4k2)x2+163kx+36=0.　(*)
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则由(*)式可得Δ=(163k)2-4(3+4k2)×36=48(4k2-9)>0,
所以k∈(-∞,-32)∪(32,+∞),x1+x2=,x1x2=.
则直线MA,MB的斜率之积为kMA·kMB==k2+9-36k236=14,
所以直线MA,MB的斜率之积是定值.
(2)记直线l:y=kx+23与y轴的交点为N(0,23)，
则S△ABM=|S△ANM-S△BNM|=12|MN|·|x2-x1|=

当且仅当4k2-9=12,即k=±∈(-∞,-32)∪(32,+∞)时等号成立,
所以的面积的最大值为.
5．已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|.
（1）求p的值；
（2）已知点T(t,-2)为C上一点，M,N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为-83，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.
【解析】（1）设，由抛物线的定义，得，
又，即，解得，
将点代入抛物线方程，解得.
（2）由（1）知的方程为，所以点的坐标为，
设直线的方程为，点，
由得，所以，
所以
，解得，
所以直线MN的方程为x+1=m(y+1)，恒过点(-1,-1).

定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.

1．与直线3x-2y=0平行，且过点-4,3的直线方程为  
A. y-3=-32x+4 B. y+3=32x-4
C. y-3=32x+4 D. y+3=-32x-4

2．已知直线l：y=x+b与曲线C：y=3-4x-x2有公共点，则b的取值范围为  
A. -3,3 B. 3,1+22
C. 1-22,3 D. 1-22,1+22

3．圆C:x-12+y2=25，过点P2,-1作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是  
A. 103 B. 921 C. 1023 D. 911

4．若当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时，则直线y=k-1x+2的倾斜角α=  
A. 3π4 B. π4 C. 3π2 D. 5π4

5．已知A（3，﹣1），B（5，﹣2），点P在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P的坐标是（　　）
A．（1，﹣1） B．（﹣1，1）
C．（135，﹣135） D．（﹣2，2）
6．已知过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+12x+4y+15=0截得的弦长为8，则直线l的方程为（　　）
A．y=﹣3或4x﹣3y+3=0 B．y=﹣3或4x+3y+21=0
C．x=﹣3或4x﹣3y+3=0 D．x=﹣3或4x+3y+21=0
7．已知⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3=0，点 M（﹣2，0）是⊙C 外一点，则过点 M 的圆的切线的 方程是（　　）
A．x+2=0，7x﹣24y+14=0 B．y+2=0，7x+24y+14=0
C．x+2=0，7x+24y+14=0 D．y+2=0，7x﹣24y+14=0

8．平面内，已知点A为定圆O外的一个定点，点B为圆O上的一个动点，点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD∥OB，则点D的轨迹是（　　）
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
9．若直线l:ax-by=2(a>0,b>0)平分圆x2+y2-2x+4y=0，则1a+1b的最小值为
A．22 B．2
C．12(3+22) D．3+22
10．圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为(　　)
A.36π B.12π C.43π D.4π
11．己知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
12．椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上一动点（异于左右顶点），若△的周长为6且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为　　
A． B． C． D．
13．已知椭圆的左、右顶点分别为、，点为椭圆上不同于、两点的动点，若直线斜率的取值范围是，，则直线斜率的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
14．已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为　　
A． B． C．3 D．5
15．已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为　　
A．2 B．4 C．6 D．9
16．已知双曲线，点，点M是曲线上的一个动点，点满足，则点到原点的最短距离为　　
A．2 B． C． D．1
17．双曲线的左右焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与的公共点为，若△是直角三角形，则的离心率为　　
A． B． C． D．
18．设双曲线，命题：双曲线离心率，命题：双曲线的渐近线互相垂直，则是的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
19．已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为　　
A．3 B．2 C．4 D．
20.若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为  
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

21.已知A，B为抛物线C：y2＝4x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若AB→=5FB→，则|AB|＝（　　）
A．252 B．10 C．254 D．6
22.已知椭圆x2+2y2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（　　）
A．32 B．23 C．303 D．362
23．已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B两点,则直线AB的方程是　　　　　. 
24．已知动圆与圆及圆都内切，则动圆圆心的轨迹方程为　　．

25．与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为
26． 在椭圆x216+y24=1内以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为
27．过椭圆C：x225+y29=1右焦点F的直线l交C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且A不在x轴上．
（Ⅰ）求|y1y2|的最大值；
（Ⅱ）若|AF||FB|=14，求直线l的方程．

28．已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为y=3x，右焦点F4,0，左右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线x=1交于M，N两点；
（1）求双曲线的方程；
（2）求证：FM⋅FN为定值，并求此定值．

29．已知双曲线x2a2-y2b2=1a>0,b>0的离心率e=233，直线l过Aa,0、B0,-b两点，原点O到直线l的距离是32．
（1）求双曲线的方程；
（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OM⋅ON=-23，求直线m的方程．

30．已知椭圆E的方程是x24+y23=1，左、右焦点分别是F1，F2，在椭圆E上有一动点A，过A，F1作一个平行四边形，使顶点A，B，C，D都在椭圆E上，如图所示．

（1）判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由．
（2）当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值．

1. 【答案】C
【解析】因为所求直线与直线3x-2y=0的斜率相等，即为k=32，直线经过点-4,3，所以y-3=32x--4=32x+4．
2. 【答案】 C
3.【答案】 C
【解析】提示：最长弦为过点P的直径，最短弦经过点P且与CP垂直.
4. 【答案】A
【解析】方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆的半径r=4-3k22，当k=0时，r有最大值，这时圆的面积也取得最大值，所以直线y=k-1x+2的斜率为-1，从而倾斜角为3π4．
5.【答案】C
【解析】：如下图所示：

点A（3，﹣1），关于直线l：x+y=0的对称点为C（1，﹣3）点，
由BC的方程为：x-14=y+31，即x﹣4y﹣13=0，
可得直线BC与直线l的交点坐标为：（135，﹣135），
即P点坐标为：（135，﹣135）时，|PA|+|PB|最小．
故选：C．
6.【答案】C
【解析】：圆x2+y2+12x+4y+15=0的圆心C（﹣6，﹣2），半径r=5，
若过点M（﹣3，﹣3）的直线l被圆x2+y2+12x+4y+15=0截得的弦长为8，
则圆心C到直线l的距离d=3，
由直线l过点M（﹣3，﹣3），
当直线斜率不存在时，直线l的方程为x=﹣3满足要求；
当直线斜率存在时，设直线l的方程为y+3=k（x+3），即kx﹣y+3k﹣3=0，
则|-6k+2+3k-3|k2+1=3，解得：k=43，
故直线l的方程为43x﹣y+1=0，即4x﹣3y+3=0
故选：C．
7.【答案】C
【解析】：⊙C：x2+y2﹣4x﹣6y﹣3=0，
即（x﹣2）2+（y﹣3）2=16，
故圆心是（2，3），半径是4，
点 M（﹣2，0）是⊙C 外一点，
显然x+2=0是过点 M 的圆的一条切线，
设另一条切线和圆相切于P（a，b），
则MP的斜率是ba+2，
直线直线MP的方程是：bx﹣（a+2）y+2b=0，
故&3-b2-a⋅ba+2=-1&2b-3(a+2)+2bb2+(a+2)2=4，
解得：&a=-26&b=7，
故切线方程是7x+24y+14=0，
故选：C．
8.【答案】B
【解析】：如图：延长DC，交直线OA与A′，
因为点A关于点B的对称点为点C，若BD⊥AC且CD∥OB，所以OB∥CA′，BC=12CA'，
CD=DA，
所以DA′﹣DA=CA′=2OB定值．2OB＜AA′，所求的D 轨迹是双曲线．
故选：B．

9．【答案】C
【解析】将x2+y2-2x+4y=0化为(x-1)2+(y+2)2=5，
因为直线l:ax-by=2平分圆x2+y2-2x+4y=0，
所以a+2b=2，又a>0,b>0，
则1a+1b=12(a+2b)(1a+1b)=12（3+2ba+ab)≥3+222，
当且仅当2ba=ab，即a=2b时取等号.
故选C．
【名师点睛】本题考查直线和圆的位置关系、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力．
10.【答案】B
【解析】由题意,圆心为(0,-1).又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),
所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,
所以S=4π(3)2=12π.
故选：B．
11.【答案】D
【解答】：如图，

由题意可得，，则，
即，则，
，即．
故选：D．
12.【答案】A
【解答】：由椭圆的定义可得，
所以①，
当在上（或下）顶点时，△的面积取得最大值，
即最大值为②，
由①②及联立求得，，，
可得椭圆方程为，
故选：A．
13.【答案】D
【解答】：设椭圆的左右顶点分别为，，
，为椭圆上不同于，的任意一点，
则，，
，由在椭圆上，得，
则．
由椭圆，得，
，，
，．
故选：D．
14.【答案】B
【解析】：抛物线的焦点坐标为，
依题意，，
．
双曲线的方程为：，
其渐近线方程为：，
双曲线的一个焦点到其渐近线的距离等于．
故选：B．
15.【答案】D
【解析】：椭圆是焦点在轴上的椭圆，且．
双曲线和椭圆有相同的焦点，
，
．
当且仅当，即，时取等号．
的最小值为9．
故选：D．
16.【答案】B
【解析】：由，得点的轨迹是以为直径的圆，
设，为的中点，，
则点到原点的最短距离为，
故选：B．

17.【答案】C
【解析】：由题意知，若△是直角三角形，则，且，
又由双曲线的定义，可得，
可得，即，
由，解得，
故选：C．
18.【答案】C
【解析】：双曲线的渐近线方程为，
离心率为，
由，可得，即有，可得，
即有渐近线方程为，可得两渐近线垂直；
若两渐近线垂直，可得，可得，
即有是的充要条件，
故选：C．
19.【答案】A
【解析】：抛物线标准方程，，焦点，
准线方程为．
设到准线的距离为，（即垂直于准线，为垂足），
则，
（当且仅当、、共线时取等号），
故选：A．
20.【答案】C
【解析】因为抛物线为y2=4x，所以p=2，
设A，B两点横坐标分别为x1，x2，
因为线段AB中点的横坐标为2，则x1+x22=2，即x1+x2=4，
故∣AB∣=x1+x2+p=4+2=6．
故选：C
21.【答案】C
【解析】：设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|＝（x2﹣x1，y2﹣y1），
又F（1，0），∴FB→=(x2-1，y2)，∴x2﹣x1＝5x2﹣5，y2﹣y1＝5y2，
∴x1=5-4x2y1=-4y2，由y22=4x2(-4y2)2=4(5-4x2)，得x2=14，x1=4，
∴|AB|=x1+x2+2=254．
故选：C．
22.【答案】C
【解析】：设弦的两端的端点为（a，b）和（2﹣a，2﹣b）
列方程组&a2+2b2=4&(2-a)2+2(2-b)2=4
解得a=1+63，b=1﹣66或a=1﹣63，b=1+66
两端点的坐标为（1﹣63，1+66）和（1+63，1﹣66）
弦长为[(1-63)-(1+63)]2+[(1+66)-(1-66)]2=303．
故选：C．
23.【答案】:3x-3y-10=0
解析:两圆的方程相减得-6x+6y+20=0,即3x-3y-10=0.
24.【答案】.
【解析】：设圆的圆心，半径；圆的圆心，半径．
设动圆的圆心，半径．
动圆与圆及圆都内切，
，．
，
因此动点的轨迹是椭圆，设其标准方程为：．
则，，解得，，．
因此动圆圆心的轨迹方程是．
故答案为：．
25.【答案】
【解析】：由题意得，曲线是焦点在轴上的椭圆，且，
所以双曲线焦点的坐标是、、，
因为双曲线与曲线共渐近线，所以设双曲线方程为，
即，则，解得，
所以双曲线方程为.
26.【答案】x﹣2y+4=0
【解析】：设以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆x216+y24=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），
∵点P（﹣2，1）是线段AB的中点，
∴&x1+x2=-4&y1+y2=2，
把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，
得&x12+4y12=16①&x22+4y22=16②，
①﹣②得（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，
∴﹣4（x1﹣x2）+8（y1﹣y2）=0，
k=y1-y2x1-x2=12，
∴以点P（﹣2，1）为中点的弦所在的直线方程为y-1=12(x+2)，
整理，得x﹣2y+4=0．
故答案为：x﹣2y+4=0．
27.【解析】：（Ⅰ）椭圆C：x225+y29=1右焦点F为（4，0），
设AB的直线方程为x=ky+4，
由&x225+y29=1&x=ky+4，消x可得（9k2+25）y2+72ky﹣81=0，
∴|y1y2|=819k2+25，
当k=0时，|y1y2|有最大值，最大值为8125，
（Ⅱ）∵|AF||FB|=14，
∴|FB|=4|AF|，
∴FB→=4AF→，
∴y2=﹣4y1，
由（Ⅰ）可得y1y2=﹣819k2+25=﹣4y12，y1+y2=﹣72k9k2+25=﹣3y1，
∴(24k)2(9k2+25)2=814(9k2+25)，
解得k=±377，
∴直线方程为x=±377y+4，∴7x±3y﹣47=0．
28. 【解析】（1）由已知可得c=4,ba=3,c2=a2+b2,⇒a=2,b=23.故双曲线方程为x24-y212=1．
      （2）设Px0,y0，则A1P:y=y0x0+2x+2，A2P:y=y0x0-2x-2，所以M1,3y0x0+2，N1,-y0x0-2，所以
FM⋅FN=-3,3y0x0+2⋅-3,-y0x0-2=9-3y02x02-4=9-3y02y023=0.
即FM⋅FN为定值0．
29.【解析】（1）依题意，l的方程为xa+y-b=1，即bx-ay-ab=0，
由原点O到直线l的距离为32，得aba2+b2=abc=32，
又e=ca=233，所以b=1，a=3．
故所求双曲线方程为x23-y2=1．
      （2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx-1，则点M、N坐标x1,y1、x2,y2是方程组y=kx-1x23-y2=1的解，消去y，得1-3k2x2+6kx-6=0 ⋯⋯①
依题意，1-3k2≠0，由根与系数关系知x1+x2=6k3k2-1,x1x2=63k2-1.
OM⋅ON=x1,y1⋅x2,y2=x1x2+y1y2=x1x2+kx1-1kx2-1=1+k2x1x2-kx1+x2+1=61+k23k2-1-6k23k2-1+1=63k2-1+1.
因为OM⋅ON=-23，所以63k2-1+1=-23，k=±12．
当k=±12时，方程①有两个不等的实数根．
故直线m的方程为x-2y-2=0或x+2y+2=0．
30. 【解析】（1）由椭圆方程：x24+y23=1，F1-1,0，
如图，直线AB的斜率存在且不为0，
设直线AB的方程为x=my-1，点Ax1,y1，Bx2,y2，
联立方程，3x2+4y2-12=0,x=my-1,得3m2+4y2-6my-9=0，
所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
若四边形ABCD为菱形，则OA⊥OB，
即OA⋅OB=0，所以x1x2+y1y2=0，
又x1x2=my1-1my2-1=m2y1y2-my1+y2+1，
所以m2+1y1y2-my1+y2+1=0，得到-12m2-53m2+4=0，显然这个方程没有实数解，故四边形ABCD不能是菱形．
      （2）由题SABCD=4S△AOB，而S△AOB=12∣OF1∣∣y1-y2∣，
又∣OF1∣=1，
即SABCD=2∣OF1∣∣y1-y2∣=2y1+y22-4y1y2，
由（1）知y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，
所以
SABCD=236m2+363m2+43m2+42=24m2+13m2+42=2419m2+1+1m2+1+6,
因为函数ft=9t+1t，t∈1,+∞，在t=1时，ftmin=10，
所以SABCD的最大值为6，此时m2+1=1，即m=0时，
此时直线AB⊥x轴，即四边形ABCD是矩形．