2021年高考数学高分秘籍-平面解析几何.docx

2021年高考数学高分秘籍 平面解析几何2021年高考数学高分秘籍 平面解析几何年级：姓名：平面解析几何1 已知直线l1:ax+2y-1=0,直线l2:8x+ay+2-a=0,若l1l2,则实数a的值为()A.B.-4C.4D.【答案】B解析:由-28=0,得a=4.当a=4时,l1:4x+2y-1=0,l2:8x+4y-2=0,l1与l2重合.当a=-4时,l1:-4x+2y-1=0,l2:8x-4y+6=0,l1l2.综上所述,a=-4.故选:B由两直线平行或垂直求参数的值：在解这类问题时，一定要“前思后想”.“前思”就是在解题前考虑斜率不存在的可能性，是否需要分情况讨论；“后想”就是在解题后，检验答案的正确性，看是否出现增解或漏解.2.过原点且倾斜角为60的直线被圆x2+y24y=0所截得的弦长为（）A23B2C6D3【答案】A【解析】：根据题意：直线方程为：y=3x，圆x2+y24y=0，圆心为：（0，2），半径为：2，圆心到直线的距离为：d=1，弦长为24-1=23，故选：A3直线l过点（4，0）且与圆（x+1）2+（y2）2=25交于A、B两点，如果|AB|=8，那么直线l的方程为（）A5x+12y+20=0 B5x12y+20=0或x+4=0C5x12y+20=0 D5x+12y+20=0或x+4=0【答案】D解析：当切线的斜率不存在时，直线l的方程为 x+4=0，经检验，此直线和圆相切，满足条件 当切线的斜率存在时，设直线l的方程为 y0=k （x+4 ），即 kxy+4k=0，则圆心（1，2）到直线l的距离为 d=|-k-2+4k|k2+1=|3k-2|k2+1再由 d2+(AB2)2=r2，得 |3k-2|k2+1=3，k=512，直线l的方程为 y0=512（x+4），即 5x+12y+20=0故选：D1涉及直线被圆截得的弦长问题，一般有两种求解方法：一是利用半径长r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形，结合勾股定理求解；二是若斜率为k的直线l与圆C交于两点，则.2求两圆公共弦长一般有两种方法：一是联立两圆的方程求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求解；二是求出两圆公共弦所在直线的方程，转化为直线被圆截得的弦长问题.4己知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为ABCD【答案】D解析：如图，由题意可得，则，即，则，即故选：D5设椭圆的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为，当时，椭圆的离心率为ABCD【答案】B【解析】：椭圆的焦点为，根据正弦定理可得，设，则，由余弦定理得，又，即，故，解得：或（舍故选：B椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围）有两种方法：（1）求出a,c，代入公式.（2）只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a或a2转化为关于e或e2的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.6已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为ABCD2【答案】A【解析】：双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则，所以该条渐近线方程为；所以，解得；所以，所以双曲线的离心率为故选：A7双曲线的左右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与的公共点为，若是直角三角形，则的离心率为ABCD【答案】C【解析】：由题意知，若是直角三角形，则，且，又由双曲线的定义，可得，可得，即，由，解得，故选：C求双曲线的离心率一般有两种方法（1）由条件寻找满足的等式或不等式，一般利用双曲线中的关系将双曲线的离心率公式变形，即，注意区分双曲线中的关系与椭圆中的关系，在椭圆中，而在双曲线中.（2）根据条件列含的齐次方程，利用双曲线的离心率公式转化为含或的方程，求解可得，注意根据双曲线离心率的范围对解进行取舍.8如图，抛物线的顶点在坐标原点，焦点为F，过抛物线上一点A（3，y）作准线l作垂线，垂直为B，若ABF为等边三角形，则抛物线的标准方程是（）Ay2=12xBy2xCy22xDy24x【答案】D【解析】：设直线l交x轴于点CABl，lx轴，ABx轴，可得BFCABF60，RtBCF中，|CF|BF|cos60p，解得|BF|2p，由ABy轴，可得3+p2=2p，p2，抛物线的标准方程是y24x故选：D9已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，点P(a,4)在抛物线C上，O为坐标原点，PF=5，且OP5.（1）求抛物线C的方程；（2）过焦点F，且斜率为1的直线l与抛物线C交于A，B两点，线段AB的垂直平分线l交抛物线C于M，N两点，求四边形AMBN的面积.【解析】（1）将P(a,4)代入抛物线的方程y2=2px，得a=8p，所以P(8p,4)，因为PF=5，所以8p+p2=5，整理得p2-10p+16=0，解得p=2或p=8，当p=2时，P(4,4)，满足OP5；当p=8时，P(1,4)，OP0,所以k(-,-32)(32,+),x1+x2=,x1x2=.则直线MA,MB的斜率之积为kMAkMB=k2+9-36k236=14,所以直线MA,MB的斜率之积是定值.(2)记直线l:y=kx+23与y轴的交点为N(0,23)，则SABM=|SANM-SBNM|=12|MN|x2-x1|=当且仅当4k2-9=12,即k=(-,-32)(32,+)时等号成立,所以的面积的最大值为.5已知抛物线C：y2=2px(p0)的焦点为F，直线y=4与y轴的交点为P，与抛物线C的交点为Q，且|QF|=2|PQ|.（1）求p的值；（2）已知点T(t,-2)为C上一点，M,N是C上异于点T的两点，且满足直线TM和直线TN的斜率之和为-83，证明直线MN恒过定点，并求出定点的坐标.【解析】（1）设，由抛物线的定义，得，又，即，解得，将点代入抛物线方程，解得.（2）由（1）知的方程为，所以点的坐标为，设直线的方程为，点，由得，所以，所以，解得，所以直线MN的方程为x+1=m(y+1)，恒过点(-1,-1). 定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等.1与直线3x-2y=0平行，且过点-4,3的直线方程为A. y-3=-32x+4B. y+3=32x-4C. y-3=32x+4D. y+3=-32x-42已知直线l：y=x+b与曲线C：y=3-4x-x2有公共点，则b的取值范围为A. -3,3B. 3,1+22C. 1-22,3D. 1-22,1+223圆C:x-12+y2=25，过点P2,-1作圆的所有弦中，以最长弦和最短弦为对角线的四边形的面积是A. 103B. 921C. 1023D. 9114若当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆取得最大面积时，则直线y=k-1x+2的倾斜角=A. 34B. 4C. 32D. 545已知A（3，1），B（5，2），点P在直线x+y=0上，若使|PA|+|PB|取最小值，则点P的坐标是（）A（1，1）B（1，1）C（135，135）D（2，2）6已知过点M（3，3）的直线l被圆x2+y2+12x+4y+15=0截得的弦长为8，则直线l的方程为（）Ay=3或4x3y+3=0By=3或4x+3y+21=0Cx=3或4x3y+3=0Dx=3或4x+3y+21=07已知C：x2+y24x6y3=0，点 M（2，0）是C 外一点，则过点 M 的圆的切线的 方程是（）Ax+2=0，7x24y+14=0By+2=0，7x+24y+14=0Cx+2=0，7x+24y+14=0Dy+2=0，7x24y+14=08平面内，已知点A为定圆O外的一个定点，点B为圆O上的一个动点，点A关于点B的对称点为点C，若BDAC且CDOB，则点D的轨迹是（）A抛物线B双曲线C椭圆D圆9若直线l:ax-by=2(a0,b0)平分圆x2+y2-2x+4y=0，则1a+1b的最小值为A22B2 C12(3+22)D3+2210圆x2+(y+1)2=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的表面积为()A.36B.12C.43D.411己知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为ABCD12椭圆的左右焦点分别为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），若的周长为6且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为ABCD13已知椭圆的左、右顶点分别为、，点为椭圆上不同于、两点的动点，若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是A，B，C，D，14已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为ABC3D515已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为A2B4C6D916已知双曲线，点，点M是曲线上的一个动点，点满足，则点到原点的最短距离为A2BCD117双曲线的左右焦点分别为，以为圆心，为半径的圆与的公共点为，若是直角三角形，则的离心率为ABCD18设双曲线，命题：双曲线离心率，命题：双曲线的渐近线互相垂直，则是的A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件19已知点是抛物线的焦点，点为抛物线上的任意一点，为平面上点，则的最小值为A3B2C4D20.若直线l过抛物线y2=4x的焦点，与抛物线交于A，B两点，且线段AB中点的横坐标为2，则弦AB的长为A. 2B. 4C. 6D. 821.已知A，B为抛物线C：y24x上的不同两点，F为抛物线C的焦点，若AB=5FB，则|AB|（）A252 B10 C254 D622.已知椭圆x2+2y2=4，则以（1，1）为中点的弦的长度是（）A32 B23C303 D36223已知圆C1:x2+y2-6x-7=0与圆C2:x2+y2-6y-27=0相交于A,B两点,则直线AB的方程是.24已知动圆与圆及圆都内切，则动圆圆心的轨迹方程为25与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为26 在椭圆x216+y24=1内以点P（2，1）为中点的弦所在的直线方程为27过椭圆C：x225+y29=1右焦点F的直线l交C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），且A不在x轴上（）求|y1y2|的最大值；（）若|AF|FB|=14，求直线l的方程28已知双曲线的中心在原点，对称轴为坐标轴，一条渐近线为y=3x，右焦点F4,0，左右顶点分别为A1，A2，P为双曲线上一点（不同于A1，A2），直线A1P，A2P分别与直线x=1交于M，N两点；（1）求双曲线的方程；（2）求证：FMFN为定值，并求此定值29已知双曲线x2a2-y2b2=1a0,b0的离心率e=233，直线l过Aa,0、B0,-b两点，原点O到直线l的距离是32（1）求双曲线的方程；（2）过点B作直线m交双曲线于M、N两点，若OMON=-23，求直线m的方程30已知椭圆E的方程是x24+y23=1，左、右焦点分别是F1，F2，在椭圆E上有一动点A，过A，F1作一个平行四边形，使顶点A，B，C，D都在椭圆E上，如图所示（1）判断四边形ABCD能否为菱形，并说明理由（2）当四边形ABCD的面积取到最大值时，判断四边形ABCD的形状，并求出其最大值1. 【答案】C【解析】因为所求直线与直线3x-2y=0的斜率相等，即为k=32，直线经过点-4,3，所以y-3=32x-4=32x+42. 【答案】 C3.【答案】 C【解析】提示：最长弦为过点P的直径，最短弦经过点P且与CP垂直.4. 【答案】A【解析】方程x2+y2+kx+2y+k2=0表示的圆的半径r=4-3k22，当k=0时，r有最大值，这时圆的面积也取得最大值，所以直线y=k-1x+2的斜率为-1，从而倾斜角为345.【答案】C【解析】：如下图所示：点A（3，1），关于直线l：x+y=0的对称点为C（1，3）点，由BC的方程为：x-14=y+31，即x4y13=0，可得直线BC与直线l的交点坐标为：（135，135），即P点坐标为：（135，135）时，|PA|+|PB|最小故选：C6.【答案】C【解析】：圆x2+y2+12x+4y+15=0的圆心C（6，2），半径r=5，若过点M（3，3）的直线l被圆x2+y2+12x+4y+15=0截得的弦长为8，则圆心C到直线l的距离d=3，由直线l过点M（3，3），当直线斜率不存在时，直线l的方程为x=3满足要求；当直线斜率存在时，设直线l的方程为y+3=k（x+3），即kxy+3k3=0，则|-6k+2+3k-3|k2+1=3，解得：k=43，故直线l的方程为43xy+1=0，即4x3y+3=0故选：C7.【答案】C【解析】：C：x2+y24x6y3=0，即（x2）2+（y3）2=16，故圆心是（2，3），半径是4，点 M（2，0）是C 外一点，显然x+2=0是过点 M 的圆的一条切线，设另一条切线和圆相切于P（a，b），则MP的斜率是ba+2，直线直线MP的方程是：bx（a+2）y+2b=0，故&3-b2-aba+2=-1&2b-3(a+2)+2bb2+(a+2)2=4，解得：&a=-26&b=7，故切线方程是7x+24y+14=0，故选：C8.【答案】B【解析】：如图：延长DC，交直线OA与A，因为点A关于点B的对称点为点C，若BDAC且CDOB，所以OBCA，BC=12CA，CD=DA，所以DADA=CA=2OB定值2OBAA，所求的D 轨迹是双曲线故选：B9【答案】C【解析】将x2+y2-2x+4y=0化为(x-1)2+(y+2)2=5，因为直线l:ax-by=2平分圆x2+y2-2x+4y=0，所以a+2b=2，又a0,b0，则1a+1b=12(a+2b)(1a+1b)=12（3+2ba+ab)3+222，当且仅当2ba=ab，即a=2b时取等号.故选C【名师点睛】本题考查直线和圆的位置关系、基本不等式等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本运算能力10.【答案】B【解析】由题意,圆心为(0,-1).又直线kx-y-1=0恒过点(0,-1),所以旋转一周所得的几何体为球,球心即为圆心,球的半径即是圆的半径,所以S=4(3)2=12.故选：B11.【答案】D【解答】：如图，由题意可得，则，即，则，即故选：D12.【答案】A【解答】：由椭圆的定义可得，所以，当在上（或下）顶点时，的面积取得最大值，即最大值为，由及联立求得，可得椭圆方程为，故选：A13.【答案】D【解答】：设椭圆的左右顶点分别为，为椭圆上不同于，的任意一点，则，由在椭圆上，得，则由椭圆，得，故选：D14.【答案】B【解析】：抛物线的焦点坐标为，依题意，双曲线的方程为：，其渐近线方程为：，双曲线的一个焦点到其渐近线的距离等于故选：B15.【答案】D【解析】：椭圆是焦点在轴上的椭圆，且双曲线和椭圆有相同的焦点，当且仅当，即，时取等号的最小值为9故选：D16.【答案】B【解析】：由，得点的轨迹是以为直径的圆，设，为的中点，则点到原点的最短距离为，故选：B17.【答案】C【解析】：由题意知，若是直角三角形，则，且，又由双曲线的定义，可得，可得，即，由，解得，故选：C18.【答案】C【解析】：双曲线的渐近线方程为，离心率为，由，可得，即有，可得，即有渐近线方程为，可得两渐近线垂直；若两渐近线垂直，可得，可得，即有是的充要条件，故选：C19.【答案】A【解析】：抛物线标准方程，焦点，准线方程为设到准线的距离为，（即垂直于准线，为垂足），则，（当且仅当、共线时取等号），故选：A20.【答案】C【解析】因为抛物线为y2=4x，所以p=2，设A，B两点横坐标分别为x1，x2，因为线段AB中点的横坐标为2，则x1+x22=2，即x1+x2=4，故AB=x1+x2+p=4+2=6故选：C21.【答案】C【解析】：设A（x1，y1），B（x2，y2），则|AB|（x2x1，y2y1），又F（1，0），FB=(x2-1，y2)，x2x15x25，y2y15y2，x1=5-4x2y1=-4y2，由y22=4x2(-4y2)2=4(5-4x2)，得x2=14，x1=4，|AB|=x1+x2+2=254故选：C22.【答案】C【解析】：设弦的两端的端点为（a，b）和（2a，2b）列方程组&a2+2b2=4&(2-a)2+2(2-b)2=4解得a=1+63，b=166或a=163，b=1+66两端点的坐标为（163，1+66）和（1+63，166）弦长为(1-63)-(1+63)2+(1+66)-(1-66)2=303故选：C23.【答案】:3x-3y-10=0解析:两圆的方程相减得-6x+6y+20=0,即3x-3y-10=0.24.【答案】.【解析】：设圆的圆心，半径；圆的圆心，半径设动圆的圆心，半径动圆与圆及圆都内切，因此动点的轨迹是椭圆，设其标准方程为：则，解得，因此动圆圆心的轨迹方程是故答案为：25.【答案】【解析】：由题意得，曲线是焦点在轴上的椭圆，且，所以双曲线焦点的坐标是、，因为双曲线与曲线共渐近线，所以设双曲线方程为，即，则，解得，所以双曲线方程为.26.【答案】x2y+4=0【解析】：设以点P（2，1）为中点的弦所在的直线与椭圆x216+y24=1交于A（x1，y1），B（x2，y2），点P（2，1）是线段AB的中点，&x1+x2=-4&y1+y2=2，把A（x1，y1），B（x2，y2）代入椭圆x2+4y2=16，得&x12+4y12=16&x22+4y22=16，得（x1+x2）（x1x2）+4（y1+y2）（y1y2）=0，4（x1x2）+8（y1y2）=0，k=y1-y2x1-x2=12，以点P（2，1）为中点的弦所在的直线方程为y-1=12(x+2)，整理，得x2y+4=0故答案为：x2y+4=027.【解析】：（）椭圆C：x225+y29=1右焦点F为（4，0），设AB的直线方程为x=ky+4，由&x225+y29=1&x=ky+4，消x可得（9k2+25）y2+72ky81=0，|y1y2|=819k2+25，当k=0时，|y1y2|有最大值，最大值为8125，（）|AF|FB|=14，|FB|=4|AF|，FB=4AF，y2=4y1，由（）可得y1y2=819k2+25=4y12，y1+y2=72k9k2+25=3y1，(24k)2(9k2+25)2=814(9k2+25)，解得k=377，直线方程为x=377y+4，7x3y47=028. 【解析】（1）由已知可得c=4,ba=3,c2=a2+b2,a=2,b=23.故双曲线方程为x24-y212=1（2）设Px0,y0，则A1P:y=y0x0+2x+2，A2P:y=y0x0-2x-2，所以M1,3y0x0+2，N1,-y0x0-2，所以FMFN=-3,3y0x0+2-3,-y0x0-2=9-3y02x02-4=9-3y02y023=0.即FMFN为定值029.【解析】（1）依题意，l的方程为xa+y-b=1，即bx-ay-ab=0，由原点O到直线l的距离为32，得aba2+b2=abc=32，又e=ca=233，所以b=1，a=3故所求双曲线方程为x23-y2=1（2）显然直线m不与x轴垂直，设m方程为y=kx-1，则点M、N坐标x1,y1、x2,y2是方程组y=kx-1x23-y2=1的解，消去y，得1-3k2x2+6kx-6=0依题意，1-3k20，由根与系数关系知x1+x2=6k3k2-1,x1x2=63k2-1.OMON=x1,y1x2,y2=x1x2+y1y2=x1x2+kx1-1kx2-1=1+k2x1x2-kx1+x2+1=61+k23k2-1-6k23k2-1+1=63k2-1+1.因为OMON=-23，所以63k2-1+1=-23，k=12当k=12时，方程有两个不等的实数根故直线m的方程为x-2y-2=0或x+2y+2=030. 【解析】（1）由椭圆方程：x24+y23=1，F1-1,0，如图，直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为x=my-1，点Ax1,y1，Bx2,y2，联立方程，3x2+4y2-12=0,x=my-1,得3m2+4y2-6my-9=0，所以y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，若四边形ABCD为菱形，则OAOB，即OAOB=0，所以x1x2+y1y2=0，又x1x2=my1-1my2-1=m2y1y2-my1+y2+1，所以m2+1y1y2-my1+y2+1=0，得到-12m2-53m2+4=0，显然这个方程没有实数解，故四边形ABCD不能是菱形（2）由题SABCD=4SAOB，而SAOB=12OF1y1-y2，又OF1=1，即SABCD=2OF1y1-y2=2y1+y22-4y1y2，由（1）知y1+y2=6m3m2+4，y1y2=-93m2+4，所以SABCD=236m2+363m2+43m2+42=24m2+13m2+42=2419m2+1+1m2+1+6,因为函数ft=9t+1t，t1,+，在t=1时，ftmin=10，所以SABCD的最大值为6，此时m2+1=1，即m=0时，此时直线ABx轴，即四边形ABCD是矩形