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《三角函数》高考真题文科总结及答案
《三角函数》高考真题文科总结及答案

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2015《三角函数》高考真题总结
1．(2015·四川卷5）下列函数中，最小正周期为π的奇函数是（　　)
A．y＝sin (2x＋) B．y＝cos （2x＋）
C．y＝sin 2x＋cos 2x D．y＝sin x＋cos x

2．(2015·陕西卷9)设f（x）＝x－sin x，则f(x)（　　）
A．既是奇函数又是减函数 B．既是奇函数又是增函数
C．是有零点的减函数 D．是没有零点的奇函数

3．（2015·北京卷3）下列函数中为偶函数的是(　　)
A．y＝x2sin x B．y＝x2cos x C．y＝|ln x| D．y＝2－x

4．(2015·安徽卷4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（　　)
A．y＝ln x B．y＝x2＋1
C．y＝sin x D．y＝cos x

5．(2015·广东卷3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（　　)
A．y＝x＋sin 2x B．y＝x2－cos x
C．y＝2x＋ D．y＝x2＋sin x
6．（2015·广东卷5)设△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c。若a＝2，c＝2，cos A＝且b〈c，则b＝（　　）
A．3 B．2
C．2 D.

7．（2015·福建卷6）若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于（　　)
A。 B．－ C。 D．－

8．（2015·重庆卷6）若tan α＝，tan(α＋β)＝，则 tan β＝（　　)
A。 B。 C。 D.
9.（2015·山东卷4）要得到函数y＝sin(4x－)的图象，只需将函数y＝sin 4x的图象(　　)
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

10.函数f(x）＝cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)（2015·新课标8)

A.,k∈Z
B.,k∈Z
C。，k∈Z
D.，k∈Z
11. （2015·江苏卷8)已知tan α＝－2，tan（α＋β）＝，则tan β的值为________．
12. （2015·北京卷11）在△ABC中，a＝3，b＝，∠A＝，则∠B＝________。
13. （2015·安徽卷12）在△ABC中,AB＝,∠A＝75°，∠B＝45°,则AC＝________。

14。(2015·福建卷14）若△ABC中,AC＝,A＝45°,C＝75°,则BC＝___________．
15.(2015·四川卷13）已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________．
16.(2015·重庆卷13）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b，c，且a＝2，cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝__________.
17.（2015·浙江卷11)函数f(x)＝sin2 x＋sin xcos x＋1的最小正周期是________，最小值是________．
18.（2015·湖北卷13)函数f（x）＝2sin xsin－x2的零点个数为__________
19.（2015·湖南卷15）已知ω>0，在函数y＝2sin ωx与y＝2cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为2，则ω＝________。

20．(2015·陕西卷17）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.向量m＝(a, b）与n＝（cos A,sin B）平行．
（1)求A；
（2）若a＝，b＝2，求△ABC的面积．

21。（2015·浙江卷16)在△ABC中,内角A，B,C所对的边分别为a，b，c。已知tan（＋A)＝2.
（1)求的值；
（2）若B＝，a＝3，求△ABC的面积．

22。（2015·江苏卷15）在△ABC中，已知AB＝2，AC＝3，A＝60°.
(1)求BC的长；
(2)求sin 2C的值．

23.（2015·广东卷16)已知tan α＝2.
（1)求tan的值；
（2)求的值．

24。(2015·湖南卷17）设△ABC的内角A,B，C的对边分别为a，b,c,a＝btan A.
（1）证明：sin B＝cos A；
（2）若sin C－sin Acos B＝，且B为钝角,求A，B，C.

25.（2015·新课标I卷17）已知a，b，c分别为△ABC内角A,B，C的对边,sin2B＝2sin Asin C。
（1）若a＝b,求cos B；
（2)设B＝90°,且a＝，求△ABC的面积．

26.(2015·天津卷16）在△ABC中,内角A,B，C所对的边分别为a，b，c。已知△ABC的面积为3，b－c＝2,cos A＝－.
（1)求a和sin C的值;
（2)求cos的值．

27．（2015·新课标Ⅱ卷17)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC,BD＝2DC。
（1)求；
（2)若∠BAC＝60°，求∠B.

28.(2015·山东卷17)△ABC中，角A,B，C所对的边分别为a，b，c。已知cos B＝，sin（A＋B）＝，ac＝2，
求sin A和c的值．

29。（2015·四川卷19）已知A,B，C为△ABC的内角，tan A，tan B是关于x的方程x2＋px－p＋1＝0（p∈R）的两个实根．
(1) 求C的大小；
(2) 若AB＝3,AC＝,求p的值．

30.（2015·安徽卷16）已知函数f（x）＝(sin x＋cos x）2＋cos 2x.
（1）求f(x）的最小正周期；
(2）求f（x)在区间［0，］上的最大值和最小值．

31．(2015·北京卷15)已知函数f(x）＝sin x－2sin2.
(1)求f(x)的最小正周期；
（2)求f（x）在区间［0，]上的最小值．

32。（2015·重庆卷18）已知函数f(x）＝sin 2x－cos2x。
（1）求f（x)的最小正周期和最小值；
（2)将函数f（x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，当x∈时，求g（x)的值域．

33．（2015·湖北卷18)某同学用“五点法”画函数f（x)＝Asin（ωx＋φ)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表:
ωx＋φ
0

π

2π
x

Asin（ωx＋φ）
0
5

－5
0
(1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数f（x)的解析式；
（2)将y＝f（x）图象上所有点向左平行移动个单位长度,得到y＝g(x）的图象，求y＝g(x）的图象离原点O最近的对称中心．

34。(2015·福建卷21）已知函数f（x)＝10sincos＋10cos2。
(1）求函数f（x)的最小正周期;
（2)将函数f（x)的图象向右平移个单位长度，再向下平移a(a>0)个单位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的最大值为2。
①求函数g(x)的解析式；
②证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0,使得g（x0)>0。

2015《三角函数》高考真题答案
1.【答案】B 2。【答案】B 3.【答案】B 4。【答案】D 5。【答案】D
6. 【解析】由余弦定理得:，及，可得
7。【答案】D【解析】由,且为第四象限角，则,则
8.【答案】A【解析】
9.【答案】【解析】因为，所以，只需要将函数的图象向右平移个单位，故选.
10.【答案】D

11.【答案】3【解析】
12。【解析】由正弦定理，得，即，所以，所以.
13。【解析】由三角形内角和和正弦定理可知：

14.【答案】
【解析】由题意得．由正弦定理得，则，
所以．
15.【答案】－1
【解析】由已知可得，sinα＝－2cosα,即tanα＝－2
2sinαcosα－cos2α＝

16.【答案】4
【解析】由及正弦定理知：,又因为,所以，
由余弦定理得：,所以;

17.【答案】
【解析】
,所以；。
18。【答案】2
19.【答案】
【解析】由题根据三角函数图像与性质可得交点坐标为
， 距离最短的两个交点一定在同一个周期内， 。
20。试题解析：（I)因为，所以
由正弦定理，得，
又，从而，
由于
所以
（II）解法一：由余弦定理,得
，而，,
得，即
因为,所以,
故面积为。
解法二：由正弦定理，得
从而
又由知，所以
故
,
所以面积为.
21。【答案】（1）；(2)
试题解析：（1）由，得,
所以.
(2）由可得，.
，由正弦定理知：.
又，
所以。
22.【答案】（1）;（2）

23. 【答案】（1）；（2）．
（1）
(2）

24。【答案】（I)略；（II)

25.【答案】（I）（II)1
试题解析：（I）由题设及正弦定理可得.
又，可得,，
由余弦定理可得.
(II）由（1)知.
因为90°，由勾股定理得。
故,得。
所以ABC的面积为1。

26。【答案】（I）a=8,；（II）.
试题解析:（I)△ABC中,由得 由,得 又由解得 由 ，可得a=8。由 ,得。
(2)，

27.【解析】（I）由正弦定理得
因为AD平分BAC,BD=2DC，所以.
（II)因为
所以 由（I）知,
所以
28.【答案】
【解析】在中,由，得。
因为,所以，
因为，所以，为锐角，，
因此。
由可得，又，所以.
29.【解析】(Ⅰ）由已知，方程x2＋px－p＋1＝0的判别式
△＝（p）2－4(－p＋1)＝3p2＋4p－4≥0
所以p≤－2或p≥
由韦达定理，有tanA＋tanB＝－p，tanAtanB＝1－p
于是1－tanAtanB＝1－（1－p）＝p≠0
从而tan(A＋B）＝
所以tanC＝－tan（A＋B)＝
所以C＝60°
(Ⅱ）由正弦定理，得
sinB＝
解得B＝45°或B＝135°（舍去）
于是A＝180°－B－C＝75°
则tan A＝tan75°＝tan(45°＋30°）＝
所以p＝－（tanA＋tanB)＝－(2＋＋1）＝－1－

30。【答案】（Ⅰ） ;（Ⅱ）最大值为，最小值为0
【解析】（Ⅰ）

所以函数的最小正周期为.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得计算结果,
当 时，
由正弦函数在上的图象知，
当,即时,取最大值；
当，即时，取最小值.
综上,在上的最大值为，最小值为.
31。解析（Ⅰ）∵=+cos－=2（+)－
∴的最小正周期为2。
（Ⅱ）∵，∴。
当，即时,取得最小值.
∴在区间上的最小值为.

32.【答案】（Ⅰ）的最小正周期为,最小值为,(Ⅱ）。
试题解析: (1)
，
因此的最小正周期为，最小值为.
(2)由条件可知：。
当时，有,
从而的值域为,
那么的值域为.
故在区间上的值域是。

33.【解析】（Ⅰ)根据表中已知数据可得：,,,解得. 数据补全如下表：

且函数表达式为.
(Ⅱ）由(Ⅰ）知，因此 。因为的对称中心为，. 令,解得，。即图象的对称中心为,，其中离原点最近的对称中心为。

34.【解析】(Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）;
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数,使得，即．
由知,存在，使得．
由正弦函数的性质可知，当时，均有．
因为的周期为，
所以当()时，均有．
因为对任意的整数,，
所以对任意的正整数，都存在正整数,使得．亦即存在无穷多个互不相同的正整数，使得．