高中数学不等式的恒成立、能成立、恰成立问题.doc

专题：不等式的“恒成立”、“能成立”、“恰成立”问题
不等式恒成立问题
若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上
若不等式在区间D上恒成立，则等价于在区间D上
当的最值取不到时，注意表达要准确，如，则恒成立
不等式中能成立问题（有解）
若在区间D上存在实数X使不等式成立，则等价于在区间D上
若在区间D上存在实数X使不等式成立，则等价于在区间D上
不等式中恰成立问题
若不等式在区间D上恰成立,则等价于不等式的解集为D
若不等式在区间D上恰成立,则等价于不等式的解集为D
利用一次函数的性质
对于一次函数有：① 恒成立② 恒成立
结论：若一个不等式中有两个变量，如果已知最高次数是一次变量的范围求另一变量范围的问题构造一次函数
例：已知,当时，恒为正数，求a的取值范围。[]

变式：当时，若不等式恒成立，求实数a的范围

变式：已知定义在R上的奇函数在上是增函数且对任意都成立，则实数的取值范围
利用二次函数的判别式
对于二次函数有①恒成立
②恒成立
结论：若一个不等式中有两个变量，如果已知高次变量的范围求另一变量范围的问题构造高次函数或分离参数。

例：已知不等式对一切实数x恒成立，求参数m的取值范围。[]

变式：若不等式对一切恒成立，求实数m的取值范围。

变式：定义域为R，则的范围_____。值域为R，则的范围_____。

利用二次函数在区间上恒成立的充要条件
设则①在区间[上恒成立或②在区间[上恒成立
例：已知不等式在上恒成立，求m的取值范围。[]

变式1：设当时，恒成立，求实数a的取值范围。

变式2：若不等式在区间上恒有意义，则实数的取值范围是_____。

变式3：若不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围为___。

变式4：关于的不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围。

主参移位法
对于一些含参数但参数可以分离出来的不等式，可以变换主元，反客为主，借参数的取值范围求得结果。
例：设不等式对满足的一切实数m都成立，求实数x的取值范围。[]
变式：对于区间[0，4]上的一切实数p, 不等式恒成立，试求x的取值范围。

最值法（或分离参数法）
将所求参数从原不等式中分离出来，分离的常见情形有：或,若对恒成立，则;若对恒成立,则
例：已知不等式在区间上恒成立，求实数a的取值范围。[]

变式：当 时，恒成立，则的取值范围。（ ）

变式：已知函数，若对任意,恒成立,求实数a的取值范围。

变式、在[0，1]恒为减函数的的范围。（0，1）（1，2）

变式、在（0，1）恒为减函数的的范围。（1，2]

变式、在[2，+恒为减函数，则范围。（

变式：要使在上时，恒成立，求的范围。 （ ）

变式：已知 （1）若为奇，求 [ ]（2）若对任意都有成立，求的范围。 （）

例、设 （其中为实数），如果当时，恒有成立，求实数的取值范围。（-1，+ ）

变式：设为奇函数，为常数（1）求的值。 （2）判断函数在时的单调性，并说明理由。（递增）（3）若对于区间上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围。

变式：已知，求函数的图象在轴的上方，则实数的取值范围是______。

变式：已知定义域为R的函数 是奇函数。（1）求的值。 （2）判断并证明该函数在定义域R上的单调性；（减函数）（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围， （ ）（4）设关于的函数有解，求实数的取值范围，

数形结合法
某些不等式恒成立问题，若通过合理变形后，容易画出不等号两边函数的图象,此时可借助函数图象来得出结果，对于选择，填空题这种方法更显方便，快捷。
例：当时，不等式恒成立，求a的取值范围。[]

变式：不等式在内恒成立，求实数a的取值范围。

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