2022届高考数学一轮复习-第13章-选修4-5-不等式选讲-第1节-绝对值不等式教案-北师大版.doc

2022届高考数学一轮复习 第13章 选修4-5 不等式选讲 第1节 绝对值不等式教案 北师大版2022届高考数学一轮复习 第13章 选修4-5 不等式选讲 第1节 绝对值不等式教案 北师大版年级：姓名：第13章 选修4-5 不等式选讲全国卷五年考情图解高考命题规律把握1.考查形式本题为高考选做题，以解答题形式出现，分值10分2.考查内容 (1)含绝对值不等式主要考查其解法及利用不等式恒成立求参数的值或范围；(2)不等式的证明主要考查用均值不等式、柯西不等式证明不等式.绝对值不等式考试要求1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ac|ab|bc|(a，b，cR).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式： |axb|c；|axb|c；|xa|xb|c.1绝对值不等式的解集(1)含绝对值的不等式|x|a的解法不等式a0a0a0|x|ax|xa或xaxR|x0R(2)|axb|c，|axb|c(c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc.(3)|xa|xb|c，|xa|xb|c(c0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想法三：通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想2绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，那么|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立一、易错易误辨析(正确的打“”，错误的打“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立()答案(1)(2)(3)(4)二、教材习题衍生1不等式3|52x|9的解集为()A2,1)4,7)B(2,1(4,7C(2，14,7)D(2,14,7)D由题意得 即 解得 不等式的解集为(2,14,7)2不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4)B(，1)C(1,4)D(1,5)A当x1时，原不等式等价于1x(5x)2，即42，恒成立，x1.当1x5时，原不等式等价于x1(5x)2，即x5时，原不等式等价于x1(x5)2，即42，无解综合知x4.3若不等式|kx4|2的解集为x|1x3，则实数k_.2|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集为x|1x3，k2.4若存在实数x使|xa|x1|3成立，则实数a的取值范围是_2,4利用数轴及不等式的几何意义可得x到a与到1的距离和小于3，所以a的取值范围为2a4. 考点一含绝对值不等式的解法 (1)形如|xa|xb|()c的不等式，主要有如下三种解法：零点分段法不妨设ab，利用绝对值符号内的式子对应的方程的根，将数轴分为(，a，(a，b)，b，)三段，在每一段上去掉原不等式的绝对值符号，分别列出对应的不等式(组)并求解，然后取这些解集的并集图像法作出y|xa|xb|和yc或y|xa|xb|c的图像，结合图像求解该方法体现了数形结合和函数与方程的数学思想几何法利用绝对值不等式的几何意义|xa|xb|表示数轴上所有的点到a，b对应的点的距离之和或差求解该方法体现了数形结合的数学思想(2)形如|mxa|nxb|()c的不等式，主要采用上述方法进行求解(3)形如|mxa|nxb|()cxd的不等式，主要采用上述方法进行求解典例1(1)(2019全国卷)已知f(x)|xa|x|x2|(xa)当a1时，求不等式f(x)0的解集；若x(，1)时，f(x)0，求a的取值范围(2)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；若不等式f(x)g(x)的解集包含1,1，求a的取值范围解(1)当a1时，f(x)|x1|x|x2|(x1)当x1时，f(x)2(x1)20；当x1时，f(x)0.所以，不等式f(x)0的解集为(，1)因为f(a)0，所以a1.当a1，x(，1)时，f(x)(ax)x(2x)(xa)2(ax)(x1)0所以a的取值范围是1，)(2)当a1时，不等式f(x)g(x)等价于x2x|x1|x1|40.当x1时，式化为x2x40，从而1x.所以f(x)g(x)的解集为.当x1,1时，g(x)2，所以f(x)g(x)的解集包含1,1等价于当x1,1时，f(x)2.又f(x)在1,1的最小值必为f(1)与f(1)之一，所以f(1)2且f(1)2，得1a1.所以a的取值范围为1,1点评：(1)解含绝对值的不等式时，若两个绝对值中x的系数为1(或可化为1)，选用几何法或图像法求解较为简单若x的系数不全为1，则选用零点分段讨论法求解，同时注意端点值的取舍；(2)不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决1已知函数f(x)|2x1|，g(x)|x|a.(1)当a0时，解不等式f(x)g(x)；(2)若存在xR，使f(x)g(x)成立，求实数a的取值范围解(1)当a0时，由f(x)g(x)，得|2x1|x|.两边平方整理，得3x24x10，解得x1或x.所以原不等式的解集为(，1.(2)由f(x)g(x)，得a|2x1|x|.令h(x)|2x1|x|，则h(x)由分段函数图像可知h(x)minh，从而所求实数a的取值范围为.2(2020全国卷)已知函数f(x)|3x1|2|x1|.(1)画出yf(x)的图像；(2)求不等式f(x)f(x1)的解集解(1)由题设知f(x)yf(x)的图像如图所示(2)函数yf(x)的图像向左平移1个单位长度后得到函数yf(x1)的图像yf(x)的图像与yf(x1)的图像的交点坐标为.由图像可知当且仅当xf(x1)的解集为. 考点二绝对值不等式性质的应用 1求含绝对值的函数最值，常用的三种方法(1)利用绝对值的几何意义(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|.(3)利用零点分区间法2利用不等式|ab|a|b|(a，bR)和|ab|ac|cb|(a，b，cR)，通过确定适当的a，b，利用整体思想使函数、不等式中不含变量，可以求最值，也可以证明不等式 典例2(1)若对于实数x，y有|1x|2，|y1|1，求|2x3y1|的最大值(2)设函数f(x)5|xa|x2|.当a1时，求不等式f(x)0的解集；若f(x)1，求a的取值范围解(1)由|2x3y1|2(x1)3(y1)|2|x1|3|y1|7，得|2x3y1|的最大值为7.(2)当a1时，f(x)可得f(x)0的解集为x|2x3f(x)1等价于|xa|x2|4.而|xa|x2|a2|，且当x2时等号成立故f(x)1等价于|a2|4.由|a2|4可得a6或a2.所以a的取值范围是(，62，)点评：对于求y或y型的最值问题利用绝对值三角不等式更方便形如y的函数只有最小值，形如y的函数既有最大值又有最小值1已知函数f(x)|2x1|，xR.(1)解不等式f(x)|x|1；(2)若对于x，yR，有|xy1|，|2y1|，求证：f(x)1.解(1)f(x)0，当x0，得x0，所以无解；当0x时，x(2x1)10，得x0，所以0时，x(2x1)10，得x2，所以x2.故不等式f(x)|x|1的解集为x|0x2(2)证明：f(x)|2x1|2(xy1)(2y1)|2|xy1|2y1|2a有解f(x)maxa.(2)f(x)a恒成立f(x)mina.(3)f(x)a恰在(c，b)上成立c，b是方程f(x)a的解典例3(1)已知函数f(x)|x1|x2|.求不等式f(x)1的解集；若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围(2)设函数f(x)|2x1|x1|.画出yf(x)的图像；当x0，)时，f(x)axb，求ab的最小值解(1)f(x)当x2时，由f(x)1，解得x2，所以f(x)1的解集为x|x1由f(x)x2xm，得m|x1|x2|x2x.而|x1|x2|x2x|x|1|x|2x2|x|2，当x时，|x1|x2|x2x.故m的取值范围为.(2)f(x)yf(x)的图像如图所示由知，yf(x)的图像与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a3且b2时，f(x)axb在0，)成立，因此ab的最小值为5.点评：(1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法1设函数f(x)x|xa|.(1)当a2 020时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)|x1|，求不等式g(x)2xf(x)恒成立时a的取值范围解(1)由题意得，当a2 020时，f(x)因为f(x)在2 020，)上单调递增，所以f(x)的值域为2 020，)(2)由g(x)|x1|，不等式g(x)2xf(x)恒成立，知|x1|xa|2恒成立，即(|x1|xa|)min2.而|x1|xa|(x1)(xa)|1a|，所以|1a|2，解得a1或a0时，x，所以解得a1；当a0时，x，所以无解所以实数a的值为1.(2)由已知g(x)f(x)f(x3)|x1|x2|不等式g(x)tx2转化成g(x)tx2，由题意知函数g(x)的图像与直线ytx2相交，作出对应图像，由图得，当t0时，tkBM，又因为kAM1，kBM，所以t1或t，即t(，1，)