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(完整版)对称式与轮换对称式
竞赛专题--—-—--对称式与轮换对称式
1． 基本概念
【定义1】一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，即对于任意的(）,都有

那么，就称这个代数式为元对称式，简称对称式。
例如，都是对称式。
如果元对称式是一个多项式，那么称这个代数式为元对称多项式。
由定义1知,在对称式中，必包含任意交换两个字母所得的一切项,例如，在对称多项式中，若有项,则必有项;若有项，则必有，项，这些项叫做对称式的同形项，同形项的系数都相同.
根据对称多项式的定义,可以写出含个字母的对称多项式的一般形式，例如，含有三个字母的二次对称多项式的般形式是：

【定义2】如果一个元多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为元次齐次多项式。
由定义2知，元多项式是次齐次多项式，当且仅当对任意实数有
.
例如，含三个字母的三元三次齐对称式为：
.
【定义3】一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号,即对于任意的，都有

那么就称这个代数式为元交代式。
例如，均是交代式.
【定义4】如果一个交代数式，如果将字母以代,代代代后代数式不变,即

那么称这个代数式为元轮换对称式，简称轮换式.
显然，对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，是对称式也是轮换式;是轮换式，但不是对称式。

对称式、交代式、轮换式之间有如下性质：
(1）两个同字母的对称式的和、差、积、商仍是对称式;
(2）两个同字母的交代式的和、差是交代式它们的各、商是对称式；
(3）同字母的对称式与交代式的积、商是交代式;
(4）两个同字母的轮换式的和、差、积、商是交代式；
（5)多变无的交代多项式中必有其中任意两变元之差的因式。
【定义5】下面个对称多项式称为元基本对称多项式。

… … …

… … …

例如，二元基本对称多项式是指,
三元基本对称式是指
当你学完了高等代数的时候就会知道,任何一个元对称多项式都可以表示为基本对称多项式的多项式。这个结论对解题的指导作用。

2．对称式、轮换式、交代式在解题中的应用
为了初中学生学习的需要,我们在本讲里主要介绍二元和三元的情形，对于多元的情形,只需作类似的处理即可.
下面是利用对称式、轮换式、交代式解题的一些常用技巧
(1）若是对称式，则在解题中可设。(为什么？）
(2)若是对称式，则当满足性质时,也满足性质。
（3）若是轮换式，则在解题中可设最大（小）,但不能设。（为什么？）
（4)若是轮换式，且满足性质，则也满足性质.
(5）若是交代多项式,则是的因式，即其中是对称式。

其中是对称式.
在利用对称式作因式分解时，齐次对称多项式,齐次轮换对称多项式，齐次交代多项式是常用的.
齐次对称多项式的一般形式:
（1）二元齐次对称多项式
一次：，
二次：
三次:
（2）三元齐次对称多项式
一次：
二次：
三次：
判定是否为多项式，的因式的方法是：令，计算，如果，那么就是的因式，在实际操作时,可首先考虑的如下特殊情形:

【例1】：已知多项式
（1）求证:是齐次式；（2）求证:是轮换式；
（3）求证:是交代式；(4）分解因式。

(4)∵ 是交代多项式，∴ 是它的因式。又因为是4次齐次式,所以它还有一个一次对称式因式。
于是，可表示为

【例2】：分解因式。
【例3】:分解因式.

【例4】：分解因式

【例5】：分解因式.

【例6】：分解因式
。

故

对称式与轮换对称式练习题：
1．已知
（1）求证：为5次齐次式； （2）求证：为轮换式；
（3）求证：为交代式; (4）分解因式。
2．分解因式
（1）
（2）
（3)
（4)
(5)
（6）
(7）
（8）
（9)
（10）

练习答案与提示：
1．
2．（1）可设，可求得
（2）可设，可求出
（3）可设，可求出
（4）可设,可求出
（5），可求出
（6）
(7）
（8）
（9）
（10）当时,,∴有的因式，可设
，
可求得，∴

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