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第6章 模拟信号数字化与PCM
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模拟信号的数字化是通信与信息处理的基础技术。电话通信系统主要采用PCM（脉冲编码调制）技术实施语音信号的数字化。
数字化过程由抽样、量化与编码三个基本环节组成：

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本章目录：

6.1 模拟信号的抽样
6.2 均匀量化与最佳量化
6.3 量化信噪比与对数量化
6.4 脉冲编码调制
6.5 *差分脉冲编码调制与增量调制
6.6 时分复用

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6.1 模拟信号的抽样

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把时间连续信号转换为时间离散序列通过抽样来完成。抽样或采样（Sampling）就是在某些时刻上抽取信号值，形成反映原信号的样值序列。
本节包括：
n 带限信号的抽样定理
n 实际抽样中的自然与平顶抽样
n 模拟信号的脉冲调制
n 带通信号的抽样定理
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6.1.1 带限（或低通）抽样定理
给定最高非零频率为的带限信号，如果取抽样间隔（或抽样率），则唯一地由其样值序列决定。即，

其实，正是信号的带宽，通常称为奈奎斯特频率（Nyquist frequency）。

时域上看：

频域上看：

如果频谱重复中会出现交叠——混叠现象。
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还原的方法：（令）

从时域上看，就是用在样值点间进行内插。

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6.1.2 实际抽样
实际抽样中采用某种物理可实现的窄脉冲，常用的为矩形脉冲。

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自然抽样——脉冲顶部随的值“自然波动”。
抽样函数为矩形脉冲串，抽样为乘法过程，可以通过门控电路实现

平顶抽样——脉冲的顶部是平坦的，高度是脉冲前沿处的值。
抽样由瞬时抽样与保持电路完成
平顶抽样的频谱具有孔径失真，脉冲宽度越小，则失真也越小。
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6.1.3 *模拟脉冲调制
以脉冲串承载模拟信号的过程称为模拟脉冲调制
n 脉冲幅度调制（PAM）
n 脉冲宽度调制（PDM）
n 脉冲位置调制（PPM）

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6.1.4 *带通信号的抽样
给定：带通信号，频谱位于上，带宽为。
那么，应该如何选取呢？

思路：抽样过程使频谱重复，而正确抽样的条件是重复过程中不能相互交叠。
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1. 是的整数倍：
只要取，可以正确抽样。

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1. 是的整数倍： 取
2. 不是的整数倍：，。
取抽样率：

综合上述：
易见，
还原使用BPF对准频率范围：

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例6.1 假定带通信号的中心频率为4MHz、带宽为2MHz。（1）试求带通抽样的频率并绘出抽样信号的频谱示意图；（2）将采样率提高0.5MHz是否还能够正确抽样，绘出新的抽样信号的频谱示意图。
解：易见（MHz），MHz。
（1） ，（MHz）。
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（2）显然，按MHz抽样也是可行的。
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6.2 均匀量化与最佳量化

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6.2.1 量化原理
量化（Quantization）是一个近似过程，以适度的误差为代价，使无限精度（或较高精度）的数值可以用较少的数位来表示。

量化器（Quantizer）要点：
（1） 区间个数M——量化电平数；
常常，——位数
（2） 区间的分界——分层或阈值电平；
（3） 区间对应的输出——输出电平；
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量化误差、量化噪声： ，
均方误差（即噪声功率）

好的量化器应具有小的：M越多越好
区间的划分方法、输出电平的选取也有影响。
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6.2.2 均匀量化器
M电平均匀量化器（输入范围为）：
（1） 区间长度相等，
（2） 输出电平位于区间中心

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量化误差(考虑输入服从的均匀分布)：
注意到各区间上的积分形式完全相同，即

其实，即使输入不是均匀分布的， 。
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6.2.3 *最佳量化器
均匀量化器简单常用，但不一定保证误差最小。
使达到最小的量化器称为最佳量化器。
通过对寻优，最佳量化器参数满足(Lloyd-Max规则)：
（1） ——位于相邻的中点
（2） ——是各区间的质心
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最佳量化器因输入特性的不同而不同。
例如，八电平的高斯最佳量化器：

1
2
3
4
0.000 0.245
0.501 0.756
1.050 1.344
1.748 2.152

量化区间的密、疏不等，随分布；

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最佳量化器量化误差：
当时，，大致位于各区间的中心

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6.3 量化信噪比与对数量化
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6.3.1 量化信噪比
量化误差的实际影响取决于它与信号的相对大小
——量化信噪比

信号的幅度尽量大，但必须在量化范围内。
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量化范围：实际的量化器允许的输入范围。
过载（Overloaded）——信号超过范围将被“限幅”，产生显著误差

记——归一化有效值

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下面讨论的均匀量化器的信噪比：

于是，

分贝形式：6dB规则
（dB）
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其特点如下：
（1） 6dB规则；
（2） 受信号类型与幅度影响： 不一样。
峰值信噪比：时（理论上的最大值）：

平均信噪比：均匀分布信号的

例6.4 高保真地保存20~20kHz的立体音乐信号，采用44.1KHz的采样率与16位的均匀量化器
解：（1）易知，
，
（2）立体声包括两个声道的信号，因此，总数据率为，

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6.3.2 对数量化
模拟语音信号是一种峰平功率差异很大的信号，语音信号的有效幅度通常只有最大幅度的20%左右。

实用电话语音信号的幅度难于控制：
（1）不同的发话人与情绪状态；
（2）话机与数字化单元间的距离、衰耗差别。

实际电话系统要求：面对约40~50dB的动态范围，提供至少25dB。——采用较少的量化比特（通常为8），在宽的输入动态范围上达到良好的量化信噪比。
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压缩（Compression）——量化中用对数变换，使大幅度的语音信号值缩小到量化范围内；
扩张（Expansion）——还原中用指数变换，把相应的量化值扩张回去。

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6.3.3 律与律及其折线近似
国际电信联盟（ITU）的标准（对数压缩规律）：
（1） 律(我国大陆、欧洲各国)：

典型值为87.6。

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（2） 律(北美、日本)：

典型值为255。

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两种方案在宽达40~50dB的动态范围中性能优良。

律与律的折线近似：等比地划为8个段。每段用折线近似，段上采用16个电平的均匀量化
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律近似——13折线法：第0、1段合并做一条折线。第1段的量化间隔最小， 。
段号
输入
段长
输出
段长
段内
电平数
量化间隔
0
1/128
1/8
32

1
1/128
2
1/64
16

3
1/32

4
1/16

5
1/8

6
1/4

7
1/2

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律近似——15折线法：律的第0、1段不作合并，第1段的量化间隔最小， 。
序号
输入
段长
输出
段长
段内
电平数
量化间隔
0
1/255
1/8
16

1
2/255

2
4/255

3
8/255

4
16/255

5
32/255

6
64/255

7
128/255

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6.4 脉冲编码调制
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6.4.1 PCM的基本原理
脉冲编码调制（PCM，Pulse code modulation）——把模拟信号表示成串行二进制码流

（1） 电话信号带宽：Hz，抽样率为8kHz；
（2） 量化：8比特律或律，动态范围40~50dB；
（3） 编码（Encoding）：将量化输出电平表示为串行二进制格式的码字。

PCM数据率：64kbps

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电话系统中的PCM传输框图：

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主要优点：
（1） 长途通信中借助中继，及时再生出“干净”的数字信号，使总的传输错误非常低；
（2） 数字化信号格式规范统一，便于多个用户共用；
（3） 数字化技术方便可靠、成本低；
（4） 可充分利用多种纠错技术与保密技术。

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例6.6试计算标准PCM电话系统的数据率与基带信号的带宽（考虑矩形NRZ脉冲）；如果改用12bit线性（均匀）量化，重新计算。
解：(1)
采用矩形NRZ脉冲时，第一零点带宽为，B=64kHz。
(2) 12位时，
， 。
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6.4.2 编码规则
8位PCM的编码结合13或15折线法进行，用折叠二进制编码：

1位极性码
3位段落码
4位段内码
1=正，0=负
（对应8段）
（对应16电平）

折叠码在绝对值小的电平附近，1位传输错误造成的信号误差比自然码的小。可在平均意义下使传输误码造成的破坏轻一些。
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例6.7试求0.72与-0.003在A律PCM系统中的编码值（采用归一化量化范围）。
解：(1) ，按第7段编码，可得
，又
码字为：“1 111 0111”，即0xF7。
(2) 以-0.003的绝对值计算，有，按第0段编码，，又。
码字为：“0 000 0110”，即0x06。

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6.4.3 *PCM传输系统的信噪比
PCM通信系统中，还原的话音信号与原始信号相比，误差主要由量化与传输误码引起。即，
相应的噪声功率满足，
总的信噪比：

1）量化噪声：，
2）传输误码比特率为的噪声：下面讨论。
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码字错（第0位错）（第n-1位错）

每个码字中最多有1位出错，而它的位置的不同，错误为，
均方误差为，

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于是，

PCM的峰值与平均信噪比：

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PCM的信噪比公式：

（1）如果很小，量化噪声起主导作用；
（2）如果使大，则误码起主导作用。

时，误码噪声与量化噪声相当，以为例，其值约为。
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6.5 *差分脉冲编码调制与增量调制
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6.5.1 语音压缩编码
习惯上，低于64kbps的称为语音压缩编码技术。
1）波形编码(Waveform coding)——尽可能准确地表征信号的波形；
2）分析－合成（ABS，Analysis-by-synthesis）——仿人类语音的产生原理，听觉上尽可能相似；
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编码方法
典型数据率（kbps）
语音质量
典型应用
PCM
64
优良
电话通信
ADPCM
32
良好
电话通信
DM
32
中等
卫星通信、军事通信等
CS-ACELP
8
良好
IP电话
RPE-LTP
13
良好
移动电话
MBE
2.4~4.8
中等
卫星通信等
LPC-VQ
1.2~4.8
较差和一般
军事通信
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6.5.2 差分脉冲编码调制

差分脉冲编码调制（DPCM）——对有记忆的信号，由前面的样值预测后面的样值，而后对预测的误差信号进行量化与编码

差信号的幅度总体上小于原信号，因而，用较少的比特可达到相同的性能。
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预测的误差
还原信号
预测值公式
接收端输出
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预测器通常采用多阶（p阶）线性预测公式，形如，

还可利用自适应算法，又称为ADPCM（Adaptive DPCM）。

G.721建议——ADPCM方案，一路数字话音的数据率为32kbps，是原PCM的50%。
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6.5.3 增量调制
增量调制（DM，）——简单的模拟信号数字化方法。在低比特率时的质量优于PCM，而且抗误码性优良，能够在为的信道上工作
DM——最简单的DPCM，它的预测器只是一个简单的延时器，而量化器只有1比特。

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可以用积分器来实现：

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DM实质上用增减1个高的阶梯来近似信号的波形

DM的误差有两种情况：
（1） 误差由阶梯围绕信号的波形“抖动”引起颗粒噪声（Granular noise）；
（2） 阶梯波形不能跟上原信号变化时，出现较大失真——斜率过载失真（Slope-overload distortion）。

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采用自适应的增量调制又称为自适应增量调制（ADM）。

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DM不过载要求：
以正弦信号为例，可得
或
提高可以防止过载。
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不过载时的量化噪声，近似白色。在还原信号中，
噪声功率大致为，
考虑，不过载时，
最大量化信噪比，

可见，提高抽样率很有利于DM信号的信噪比。
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6.6 时分复用
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6.6.1 TDM的基本原理
时分复用（TDM）——多个信源的数据分别占用不同的时隙位置，共用一条信道进行串行数字传输。

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（1） 轮流占用不同时隙，互不影响；
（2） 组成一个确定的结构，称为帧结构
（3） 收发同步工作——帧同步。借助帧同步码。

优点：1）它采用全数字电路技术；2）不需要大量的并行设备，3）无非线性引起各路信号之间的串扰
缺点：需要更高速率的数字传输与更为严格的同步定时

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例6.8信号带宽分别为2kHz，4kHz与2kHz，合路器1按4kHz轮流采样、4bit量化与编码。合路器2按4kHz的频率再将与28kbps（填充为32kbps）数字信号复用，并插入同步字节。

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解：
（1）

帧率为4k帧/秒，数据率为。
（2）

帧率为4k帧/秒，数据率为。
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6.6.2 帧同步方法
以同步码11100100为例，同步输出设计为

虚假同步概率：
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6.6.3 E1与T1
国际电信联盟（ITU）两类重要的标准：E体系与T体系。
基群或一次群：一定路数的数字信号（64kbps）复用成一个标准的数据流

E1：将30个64kbps的PCM（A律）信号复用在一起，帧率8000帧/秒，每帧含32个时隙；连续16帧形成复帧。
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每帧30个时隙正好对应于30路PCM信号的各个编码字节（8bit）。TS0与TS16用于同步码、信令等其他一些特殊用途。

E1的总数据率，
8000帧/s(30+2)时隙/帧8bit/时隙=2048kbps
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6.6.4 准同步与同步数字体系
TDM数字体系分为
同步体系（SDH，Synchronous digital hierarchy）
准同步体系（PDH，Plesiochronous digital hierarchy）

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E体系与T体系：实际上是两种准同步数字体系，按某种倍数关系再次复用上去，可得高次群信号。

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同步体系（SDH）：信息以同步传输模块（STM）的结构进行传输，各级的容量（路数）之间为4倍关系。
等级
比特率（Mb/s）
STM-1
155.52
STM-4
622.08
STM-16
2488.32
STM-64
9953.28

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6.6.5 *复接与码率调整
复接（Multiplexing）——低次群合并成高次群
分接（Demultiplexing）——高次群分解分解为低次群。

准同步复接实际上包括码率调整与同步复接两个部分。

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正码率调整： “输出快于输入”，经过一段时间的累积，某个支路上没有数据，这时，复接器输出1个空闲位。

图6.6.6复接帧结构与正码速调整Ⅳ
复接帧中，平均每路205~206位。速率介于

填充比例约为。标准码速调整比为0.424。
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