南京初级中学毕业生学业考试.doc

南京市2013年初中毕业生学业考试
数 学

注意事项：
1．本试卷共6页．全卷满分l20分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再 将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答案标号涂黑．如需改动，请用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案．答非选择题必须用0．5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位 置，在其他位置答题一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．

一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上)
1．计算的结果是
A．－24 B．－20 C．6 D．36
2．计算的结果是
A． B． C． D．
3．设边长为3的正方形的对角线长为a．下列关于a的四种说法：①a是无理数；②a可以用数轴上的一个点来表示；③；④a是l8的算术平方根．其中，所有正确说法的序号是
A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④
4．如图，⊙O1、⊙O2的圆心O1、O2在直线 l上，⊙Ol的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm， O1O2=8cm．⊙O1以l cm／s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动．在此过程中，⊙O1与⊙O2没有出现的位置关系是
A．外切 B．相交 C．内切 D．内含

(第4题)
5．在同一直角坐标系中，若正比例函数的图象与反比例函数的图象没有公共点，则
A． B． C． D．

6．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为立方体，且有一个面涂有颜色．下列图 形中，是该几何体的表面展开图的是

(第6题) A． B． C． D．

二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上)
7．一3的相反数是 ▲ ；--3的倒数是 ▲ ．
8．计算的结果是 ▲ ．
9．使式子有意义的戈的取值范围是▲ ．
10．第二届亚洲青年运动会将于2013年8月l6日至24日在南京举办，在此期间约有13000 名青少年志愿者提供服务．将13000用科学记数法表示为 ▲ ．
11．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB’C’D’的位置，旋转角为α (0°<α<
90°)． 若∠l=110°，则∠α = ▲ 。．

(第11题) (第l2题)
12．如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= ▲ cm．
13．△OAB是以正多边形相邻的两个顶点A、B与它的中心O为顶点的三角形．若△OAB的一个内角为70°，则该正多边形的边数为 ▲ ．
14．已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列出方程： ▲ ．

(第14题) (第15题)
15．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AC与BD相交于点P．已知A(2，3)，B(1，1)，D(4，3)，则点P的坐标为( ▲ ， ▲ )．
16．计算
的结果是 ▲ ．
三、解答题(本大题共ll小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字
说明、证明过程或演算步骤)
17．(6分)化简

18．(6分)解方程

19．(8分)如图，在四边形ABCD中，AB=BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M、N．
(1)求证：∠ADB=∠CDB；
(2)若∠ADC=90°，求证：四边形MPND是正方形．

(第19题)

20．(8分)(1)一只不透明的袋子中装有颜色分别为红、黄、蓝、白的球各l个，这些球除颜色外都相同．求下列事件的概率：
①搅匀后从中任意摸出l个球，恰好是红球；
②搅匀后从中任意摸出l个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，两次都是红球；
(2)某次考试共有6道选择题，每道题所给出的4个选项中，恰有一项是正确的．如果 小明从每道题的4个选项中随机地选择1个，那么他6道选择题全部选择正确的概率是( ▲ )
A． B． C． D．

21．(9分)某校有2000名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随
机抽取了l50名学生进行抽样调查。整理样本数据，得到下列图表：
某校l50名学生上学方式 某校150名学生上学方式
频数分布表 扇形统计图

(1)理解划线语句的含义，回答问题：如果150名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理?请说明理由；
(2)根据抽样调查的结果，将估计出的全校2000名学生上学方式的情况绘制成条形统计图；

(3)该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议．如：骑车上学的学生数约占全校的34％，建议学校合理安排自行车停车场地．请你结合上述统计的全 过程，再提出一条合理化建议： ▲ ．

22．(8分)已知不等臂跷跷板AB长4 m．如图①，当AB的一端A碰到地面时，AB与地面的夹角为α；如图②，当AB的另一端B碰到地面时，AB与地面的夹角为β,求跷跷板AB的支撑点D到地面的高度OH．(用含α、β的式子表示)

(第22题)

23．(8分)某商场促销方案规定：商场内所有商品按标价的80％出售，同时，当顾客在商场
内消费满一定金额后，按下表获得相应的返还金额．
消费金额(元)
300～400
400～500
500～600
600～700
700～900
…
返还金额(元)
30
60
100
130
150
…
注：300～400表示消费金额大于300元且小于或等于400元，其他类同．
根据上述促销方案，顾客在该商场购物可以获得双重优惠．例如，若购买标价为400元
的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为400×(1—80％)+30=110(元)．
(1)购买一件标价为1000元的商品，顾客获得的优惠额是多少?
(2)如果顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得韵优惠额不少于226元，那么该
商品的标价至少为多少元?

24．(8分)小丽驾车从甲地到乙地．设她出发第x min时的速度为y km／h，图中的折线表示她在整个驾车过程中y与x之间的函数关系．
(1)小丽驾车的最高速度是 ▲ km／h；
(2)当20≤x≤30时，求y与x之间的函数关系式，并求出小丽出发第22min时的速度；
(3)如果汽车每行驶100km耗油10L，那么小丽驾车从甲地到乙地共耗油多少升?
方法指导
如果物体的运动速度随着时间均匀增加(或减少)，那么其在某个时间段内的平均速度为该时间段开始时刻的速度与结束时刻的速度的平均数．例如，由图象可知，第5min到第lOmin汽车的速度随着时间均匀增加，因此汽车在该时间段内的平均速度为=36(km／h)．该时间陵行驶的路程为36×=3(km)．

25．(8分)如图，AD是⊙O的切线，切点为A，AB是⊙O的弦．过点B作BC∥AD，交⊙O于点C，连接AC，过点C作CD∥AB，交AD于点D．连接A0并延长交BC于点肘，交过点C的直线于点P，且∠BCP=∠ACD．
(1)判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若AB=9，BC=6，求PC的长．

(第25题)

26．(9分)已知二次函数(a、m为常数，且a≠0)
(1)求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；
(2)设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D．
①当△ABC的面积等于1时，求a的值；
②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值．

27．(10分)对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图①，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相同，因此△ABC与△A’B’C’互为顺相似；如图②，△ABC∽△A’B’C’，且沿周界ABCA与A’B’C’A’环绕的方向相反，因此△ABC与△A’B’C’互为逆相似．

① ②
(第27题)
(1)根据图I、图Ⅱ和图Ⅲ满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与△ABC；②△GHO与△KFO；③△NQP与△NMQ．其中，互为顺相似的是 ▲ ；互为逆相似的是 ▲ ． (填写所有符合要求的序号)

图I 图Ⅱ 图Ⅲ
条件：DE∥BC． 条件：GH∥KF． 条件：∠NQP=∠M
(2)如图③，在锐角△ABC中，∠A<∠B<∠C，点P在△ABC的边上(不与点A、B、C重合)．过点P画直线截△ABC，使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似．请根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件，不必说明理由．

③

南京市2013年初中毕业生学业考试
数学试题参考答案及评分标准
说明：本评分标准每题给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．
一、选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)
题号
l
2
3
4
5
6
答案
D
A
C
D
C
B

二、填空题(本大题共l0小题，每小题2分，共20分)
7．3： 8． 9． 10． 11．20 12．
13．9 14．本题答案不惟一，如 15．3； 16．
三、解答题(本大题共ll小题，共88分)
17．(本题6分)
解：

= ……………………………………………………………………6分
18．(本题6分)
解：方程两边同乘，得
解这个方程，得
检验：时
是原方程的解． …………………………6分
19．(本题8分)
证明：(1)∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD．
又∵BA=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD．
∴∠ADB=∠CDB． ………………………………………………………4分
(2) ∵PM⊥AD，PN⊥CD，
∴∠PMD=∠PND=90°．
又∵∠ADC=90°，
∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB=∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM=PN．
∴四边形MPND是正方形． ……………………………………………8分
20．(本题8分)
(1)解：①搅匀后从中任意摸出l个球，所有可能出现的结果有：红、黄、蓝、白，共有4种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“恰好是红球”(记为事件A)的结果只有1种，所以．
②搅匀后从中任意摸出l个球，记录下颜色后放回袋子中并搅匀，再从中任意摸出1个球，所有可能出现的结果有：(红，红)、(红，黄)、(红，蓝)、(红，白)、(黄，红)、(黄，黄)、(黄，蓝)、(黄，白)、(蓝，红)、(蓝，黄)、(蓝，蓝)、(蓝，白)、(白，红)、(白，黄)、(白，蓝)、(白，白)，共有16种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足“两次都是红球”(记为事件B)的结果只有1种，所以……………………………………6分
(2)B ………………………………………………………………………………… 8分
21．(本题9分)
解：(1)不合理．因为如果l50名学生全部在同一个年级抽取，那么全校每个学生被抽到的机会不相等，样本不具有代表性． ……………………………………… 2分
(2) 某校2 000名学生上学方式条形统计图

…………………………………………………………………………………… 7分
(3)本题答案不惟一，下列解法供参考．
乘私家车上学的学生约400人，建议学校与交通部门协商安排停车区域．
……………………………………………………………………………………………9分
22．(本题8分)
解：在Rt△AHO中，,
在Rt△BHO中，,
∵AB=4，∴0A+OB=4，即
(m)．…………………………………………………………8分
23．(本题8分)
解：(1)购买一件标价为1 000元的商品，消费金额为800元，
顾客获得的优惠额为1 000×(1－80％)+150=350(元)．………………… 2分
(2)设该商品的标价为x元．
当80％x ≤ 500，即x ≤ 625时，
顾客获得的优惠额不超过625 x (1—80％)+60 = 185 < 226；
当500 < 80％x ≤ 600，即625 ≤ x ≤ 750时，
(1- 80％)x +100 ≥ 226．解得x ≥ 630．
所以630 ≤ x ≤ 750．
当600 < 80％x ≤ 800×80％，即750 < x ≤ 800时，
顾客获得的优惠额大于750×(1- 80％) +130 = 280 > 226．
综上，顾客购买标价不超过800元的商品，要使获得的优惠额不少于226元，
那么该商品的标价至少为630元． ………………………………………… 8分
24．(本题8分)
解：(1)60； ……………………………………………………………………………l分
(2)当20≤x≤30时，设y与x之间的函数关系式为
根据题意，当x=20时，y=60；当x=30时，y=24．
所以 解得
所以，y与x之间的函数关系式为
当x=22时，
所以，小丽出发第22min时的速度为52．8km／h．………………………… 5分
(3)小丽驾车从甲地到乙地行驶的路程为
+ +

所以，小丽驾车从甲地到乙地共耗油(L)． …………… 8分
25．(本题8分)
解法一：(1)直线PC与⊙O相切．
如图①，连接C0并延长，交OD于点N，连接BN．
∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．
∵∠BAC=∠BNC，
∴∠BNC=∠ACD．
∵∠BCP=∠ACD，
∴∠BNC=∠BCP．
∵CN是⊙O的直径，
∴∠CBN=90°．
∴∠BNC+∠BCN=90°．
∴∠BCP+∠BCN=90°。
∴∠PCO=90°，即PC⊥DC．
又∵点C在⊙O上，∴直线PC与⊙O相切．…………………………4分
(2)∵AD是⊙O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90°．
∵BC∥AD，∴∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC．
∴MC=MB．
∴AB=AC．
在Rt△AMC中，∠AMC=90°，AC=AB=9，
由勾股定理，得
设⊙O的半径为r．
在Rt△OMC中，∠OMC=90°，,MC=3，OC=r，
由勾股定理，得，即．解得
在△OMC和△OCP中，
∵∠OMC=∠0CP，∠MOC=∠COP，
∴△OMC∽△OCP．∴，即
……………………………………………………………………………8分
解法二：(1)直线PC与⊙O相切．
如图②，连接OC．
∵AD是⊙O的切线，∴AD⊥OA，即∠OAD=90°．
∵BC∥AD，∴∠OMC=180°-∠OAD=90°，即OM⊥BC．
∴MC=MB．
∴AB=AC．
∴∠MAB=∠MAC．
∴∠BAC=2∠MAC．
又∵∠MOC=2∠MAC．
∴∠MOC=∠BAC．
∵AB∥CD，∴∠BAC=∠ACD．
∴∠MOC=∠ACD．
又∵∠BCP=∠ACD，
∴∠MOC=∠BCP．
∴∠MOC+∠OCM=90°，
∴∠BCP+∠OCM=90°．
∴∠PCO=90°，即PC⊥OC．

又∵点C在⊙O上，∴直线PC与⊙O相切． …………………………………… 4分
(2)在Rt△AMC中，∠AMC=90°，AC=AB=9，
由勾股定理，得
设⊙O的半径为r．
在Rt△OMC中，∠OMC=90°，,MC=3，OC=r，
由勾股定理，得，即．解得
在△OMC和△OCP中，
∵∠OMC=∠OCP，∠MOC=∠COP，
∴△OMC∽△OCP．∴，即
……………………………………………………………………………8分

26．(本题9分)
(1)证明：
因为当时，
所以，方程有两个不相等的实数根．
所以，不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点．……3分
(2)解：①
所以，点C的坐标为
当y=0时，解得．所以AB=1．
当△ABC的面积等于1时，
所以，或
所以，或
②当时，所以点D的坐标为
当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，

所以，或
所以，或或 …………………………… 9分
27．(本题l0分)
(1)①②；③ ………………………………………………………………………… 4分
(2)解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况．
第一种情况：如图①，点P在BC(不含点B、C)上，过点P只能画出2条截线PQl、PQ2，分别使∠CPQ1=∠A，∠BPQ2=∠A，此时△PQlC、△PBQ2都与△ABC互为逆相似．
第二种情况：如图②，点P在AC(不含点A、C)上，过点B作∠CBM=∠A，BM交AC于点M.
当点P在AM(不含点M)上时，过点Pl只能画出l条截线PlQ，使∠APlQ= ∠ABC，此时△APlQ与△ABC互为逆相似.
当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线P2Ql、P2Q2，分别使∠AP2Q1=∠ABC，∠CP2Q2=∠CBA，此时△AP2Q1、△Q2P2C都与△ABC互为逆相似.
第三种情况：如图③，点P在AB(不含点A、B)上，过点C作∠BCD=∠A，∠ACE=∠B，CD、CE分别交AC于点D、E．
当点P在AD(不含点D)上时，过点P只能画出l条截线PlQ，使∠AP1Q=∠ACB，此时△AQPl与△ABC互为逆相似；
当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线P2Ql、P2Q2，分别使∠AP2Ql=∠ACB，∠BP2Q2=∠BCA，此时△AQlP2、△Q2BP2都与△ABC互为逆相似；
当点P在BE(不含点E)上时，过点P3只能画出l条截线P3Q’，使∠BP3Q’=∠BCA，此时△O’BP3与△ABC互为逆相似． …………………………… 10分

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