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2022届高考数学一轮复习 第2章 函数 第7节 对数与对数函数教案 北师大版

2022届高考数学一轮复习 第2章 函数 第7节 对数与对数函数教案 北师大版

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姓名：

　对数与对数函数
[考试要求]　
1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用.
2.理解对数函数的概念及其单调性，掌握对数函数图像通过的特殊点，会画底数为2,10，的对数函数的图像.
3.体会对数函数是一类重要的函数模型.4.了解指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数．

1．对数的概念
如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫作对数的底数，N叫作真数．
提醒：指数式与对数式的关系

2．对数的性质、换底公式与运算性质
(1)对数的性质：
①loga1＝0；②alogaN＝N；③logaab＝b(a＞0，且a≠1)．
(2)换底公式：
logab＝(a，c均大于0且不等于1，b＞0)．
(3)对数的运算性质：
如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：
①loga(M·N)＝logaM＋logaN；
②loga＝logaM－logaN；
③logaMn＝nlogaM(n∈R)．
3．对数函数的定义、图像与性质
定义
函数y＝logax(a＞0且a≠1)叫做对数函数
图像
a＞1
0＜a＜1

性质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
当x＝1时，y＝0，即过定点(1,0)
当0＜x＜1时，y＜0；
当x＞1时，y＞0
当0＜x＜1时，y＞0；
当x＞1时，y＜0
在(0，＋∞)上为增函数
在(0，＋∞)上为减函数
4．反函数
指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称．

1．换底公式的三个重要结论
(1)logab＝；
(2)logambn＝logab；
(3)logab·logbc·logcd＝logad.
2．对数函数的图像与底数大小的关系
如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝log2(x＋1)是对数函数．(　　)
(2)log2x2＝2log2x.(　　)
(3)函数y＝ln与y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定义域相同．(　　)
(4)对数函数y＝logax(a＞0且a≠1)的图像过定点(1,0)，且过点(a,1)，，函数图像不在第二、三象限．(　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√
二、教材习题衍生
1．(log29)·(log34)＝(　　)
A． B．
C．2 D．4
D　[(log29)·(log34)＝×＝×＝4.故选D.]
2．已知a＝2，b＝log2，c＝log，则(　　)
A．a＞b＞c B．a＞c＞b
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
D　[因为0＜a＜1，b＜0，c＝log＝log23＞1.所以c＞a＞b.故选D.]
3．函数y＝的定义域是________．
　[由log(2x－1)≥0，得0＜2x－1≤1.
∴＜x≤1.
∴函数y＝的定义域是.]
4．函数y＝loga(4－x)＋1(a＞0，且a≠1)的图像恒过点________．
(3,1)　[当4－x＝1，即x＝3时，y＝loga1＋1＝1.
所以函数的图像恒过点(3,1)．]

考点一　对数式的化简与求值
　对数运算的一般思路
(1)拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．
(2)合：将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．
(3)转化：①利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；
②ab＝N⇔b＝logaN(a＞0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．
[典例1]　(1)设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m等于(　　)
A. B．10
C．20 D．100
(2)计算log23·log38＋()log34的值为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．5
(3)(2020·全国卷Ⅲ)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数，当I(t*)＝0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则t*约为(ln 19≈3)(　　)
A．60 B．63
C．66 D．69
(1)A　(2)D　(3)C　[(1)由已知，得a＝log2m，b＝log5m，
则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2.
解得m＝.故选A.
(2)log23·log38＝log28＝3，()log34＝3log34＝3log32＝2，
∴log23·log38＋()log34＝5，故选D.
(3)由题意可得，当I(t*)＝0.95K时，＝0.95K，
∴＝e－0.23(t*－53)，∴ln 19＝0.23(t*－53)，∴t*－53≈13，∴t*≈66，故选C.]
点评：对数运算中logab＝是常用的性质之一．

1．(2020·全国卷Ⅰ)设alog34＝2，则4－a＝(　　)
A. B.
C. D.
B　[法一：因为alog34＝2，所以log34a＝2，则有4a＝32＝9，所以4－a＝＝，故选B.
法二：因为alog34＝2，所以－alog34＝－2，所以log34－a＝－2，所以4－a＝
3－2＝＝，故选B.
法三：因为alog34＝2，所以＝＝log43，所以4＝3，两边同时平方得4a＝9，所以4－a＝＝，故选B.]
2．(2019·北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度满足m2－m1＝lg ，其中星等为mk的星的亮度为Ek(k＝1,2)．已知太阳的星等是－26.7，天狼星的星等是－1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(　　)
A．1010.1 B．10.1
C．lg 10.1 D．10－10.1
A　[由题意知，m1＝－26.7，m2＝－1.45，代入所给公式得－1.45－(－26.7)＝lg ，所以lg ＝10.1，
所以＝1010.1，故选A.]
考点二　对数函数的图像及其应用

利用对数函数的图像解决的两类问题及技巧
(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．
(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题，利用数形结合法求解．
[典例2]　(1)(2019·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数y＝，y＝loga(a＞0，且a≠1)的图像可能是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D
(2)当0＜x≤时，4x＜logax，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C.(1，) D.(，2)
(1)D　(2)B　[(1)对于函数y＝loga，当y＝0时，有x＋＝1，得x＝，即y＝loga的图像恒过定点，排除选项A、C；函数y＝与y＝loga在各自定义域上单调性相反，排除选项B，故选D.
(2)构造函数f(x)＝4x和g(x)＝logax，当a＞1时不满足条件，当0＜a＜1时，画出两个函数在上的图像，可知f＜g，即2＜loga，则a＞，所以a的取值范围为.]

[母题变迁]
将本例(2)中“4x＜logax”变为“4x＝logax有解”，a的取值范围是________．
　[若方程4x＝logax在上有解，则函数y＝4x与函数y＝logax的图像在上有交点．
由图像可知解得0＜a≤，即a的取值范围为.]

1.已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是(　　)
A．a＞1，c＞1
B．a＞1,0＜c＜1
C．0＜a＜1，c＞1
D．0＜a＜1,0＜c＜1
D　[由对数函数的图像和性质及函数图像的平移变换知0＜a＜1,0＜c＜1.]
2．已知不等式x2－logax＜0对x∈恒成立，则实数a的取值范围为________．
　[由x2－logax＜0得x2＜logax，设f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈时，不等式x2＜logax恒成立，只需f1(x)＝x2在上的图像在f2(x)＝logax图像的下方即可．当a＞1时，显然不成立；
当0＜a＜1时，如图所示．
要使x2＜logax在x∈上恒成立，需f1≤f2，所以有2≤loga，解得a≥，
所以≤a＜1.
即实数a的取值范围是.]
考点三　对数函数的性质及其应用
　比较对数值的大小
　比较对数值大小的常见类型及解题方法
常见类型
解题方法
底数为同一常数
可由对数函数的单调性直接进行判断
底数为同一字母
需对底数进行分类讨论
底数不同，真数相同
可以先用换底公式化为同底后，再进行比较
底数与真数都不同
常借助1,0等中间量进行比较
[典例3－1]　(1)已知a＝log3 ，b＝，c＝log，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＞b＞c B．b＞a＞c
C．c＞b＞a D．c＞a＞b
(2)(2019·天津高考)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
(3)(2020·全国卷Ⅲ)设a＝log32，b＝log53，c＝，则(　　)
A．a＜c＜b B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
(1)D　(2)A　(3)A　[(1)∵c＝log＝log35，log35＞log3＞log33＝1，
即c＞a＞1，又＜0＝1.
∴c＞a＞b，故选D.
(2)∵a＝log52＜log5＝，b＝log0.50.2＞log0.50.5＝1，c＝0.50.2＝＞，0.50.2＜1，∴a＜c＜b，故选A.
(3)∵23＜32，∴2＜3，∴log32＜log33＝，∴a＜c.
∵33＞52，∴3＞5，∴log53＞log55＝，∴b＞c，∴a＜c＜b，故选A.]
点评：本例T(1)和T(3)主要使用了化为同底和中间量比较大小，其中常数化为同底，利用了性质m＝logaam，本例T(2)主要使用中间量比较大小．
　解简单对数不等式
　求解对数不等式的两种类型及方法
类型
方法
logax＞logab
借助y＝logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论
logax＞b
需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y＝logax的单调性求解
[典例3－2]　(1)若loga＜1(a＞0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．
(2)若loga(a2＋1)＜loga2a＜0，则a的取值范围是________．
(1)∪(1，＋∞)　(2)　[(1)当0＜a＜1时，loga＜logaa＝1，∴0＜a＜；
当a＞1时，loga＜logaa＝1，∴a＞1.
∴实数a的取值范围是∪(1，＋∞)．
(2)由题意得a＞0且a≠1，故必有a2＋1＞2a，
又loga(a2＋1)＜loga2a＜0，所以0＜a＜1，
同时2a＞1，所以a＞.综上，a∈.]
点评：在对数不等式中，真数大于0是隐含条件，不能忘记！
　与对数函数有关的复合函数的单调性

求解与对数函数有关的复合函数单调性的步骤

一求
求出函数的定义域，所有问题都必须在定义域内讨论
二判
判断对数函数的底数与1的关系，分a＞1与0＜a＜1两种情况
判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性
[典例3－3]　(1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(a，
＋∞)单调递增，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1] B．(－∞，2]
C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)
(2)设函数f(x)＝log(4x2－4ax＋3a)在(0,1)上是增函数，则a的取值范围是________．
(1)D　(2)[2,4]　[(1)由x2－4x－5＞0，得x＜－1或x＞5，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．令t＝x2－4x－5，则t＝(x－2)2－9，所以函数t在(－∞，－1)上单调递减，在(5，＋∞)上单调递增，又函数y＝lg t在(0，＋∞)上单调递增，从而函数f(x)的单调递增区间为(5，＋∞)，由题意知(a，＋∞)⊆(5，＋∞)，
∴a≥5，故选D.
(2)令t＝4x2－4ax＋3a，由y＝logt在(0，＋∞)是减函数可得t＝4x2－4ax＋3a在(0,1)上是减函数，且t＞0在(0,1)上恒成立，
又t＝4x2－4ax＋3a＝42－a2＋3a，
∴解得2≤a≤4.]
　点评：已知f(x)＝loga[g(x)]在区间[m，n]上是增函数，对于这类问题，应从两个方面考虑：一是根据a与1的关系确定g(x)在[m，n]上的单调性，二是g(x)＞0在x∈[m，n]时恒成立，此时只需g(x)min＞0即可．

1．已知a＝log27，b＝log38，c＝0.30.2，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c＜b＜a B．a＜b＜c
C．b＜c＜a D．c＜a＜b
A　[∵a＝log27＞log24＝2,1＜b＝log38＜log39＝2，c＝0.30.2＜1，
∴c＜b＜a，故选A.]
2．设函数f(x)＝若f(a)＞f(－a)，则实数a的取值范围是
(　　)
A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)
C　[由题意得或
即或
即或
解得a＞1或－1＜a＜0，故选C.]
3．函数y＝log (x2－3x＋2)的单调递增区间为________，值域为________．
(－∞，1)　R　[由x2－3x＋2＞0得x＞2或x＜1，即函数的定义域为{x|x＞2或x＜1}，
当x在定义域内变化时，x2－3x＋2取遍(0，＋∞)内的每一个值，
∴值域为R.
令t＝x2－3x＋2(t＞0)，t在(2，＋∞)上单调递增，在(－∞，1)上单调递减，而函数y＝logt在其定义域内是单调递减函数，
∴y＝log (x2－3x＋2)在(－∞，1)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，即函数y＝log(x2－3x＋2)的单调递增区间为(－∞，1)，单调递减区间为(2，＋∞)．]
4．已知a＞0，若函数f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上是增函数，则a的取值范围是________．
　[要使f(x)＝log3(ax2－x)在[3,4]上单调递增，
则y＝ax2－x在[3,4]上单调递增，
且在[3,4]上y＝ax2－x＞0恒成立，
即解得a＞.]