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2022届高考数学统考一轮复习 第6章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法教案 理 新人教版

2022届高考数学统考一轮复习 第6章 数列 第1节 数列的概念与简单表示法教案 理 新人教版

年级：
姓名：

数列
全国卷五年考情图解
高考命题规律把握

1.考查形式
本章在高考中一般命制2道小题或者1道解答题，分值占10～12分.
2.考查内容
(1)高考对小题的考查一般以等差、等比数列的基本量运算，等差、等比数列的性质为主.
(2)解答题一般以数列递推关系为载体，考查数列通项公式的求法，等差、等比数列的证明，数列求和的方法等.
　数列的概念与简单表示法
[考试要求]　1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).
2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

1．数列的定义
按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
2．数列的分类
分类原则
类型
满足条件
按项数分类
有穷数列
项数有限
无穷数列
项数无限
按项与项间的大小关系
分类
递增数列
an＋1＞an
其中
n∈N*
递减数列
an＋1＜an
常数列
an＋1＝an
3.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个函数式an＝f (n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
4．数列的递推公式
如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
5．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，
则an＝
特别地，若a1满足an＝Sn－Sn－1(n≥2)，则不需要分段．

一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列． (　　)
(2)1,1,1,1，…，不能构成一个数列． (　　)
(3)任何一个数列都有唯一的通项公式． (　　)
(4)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn. (　　)
[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√
二、教材习题衍生
1．数列－1，，－，，－，…的一个通项公式为(　　)
A．an＝± B．an＝(－1)n·
C．an＝(－1)n＋1 D．an＝
B　[由a1＝－1，代入检验可知选B．]
2．在数列{an}中，已知a1＝－，an＋1＝1－，则a3＝(　　)
A．－3 B． C．5 D．
D　[a2＝1－＝5，a3＝1－＝1－＝.]
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝ .
　[当n＝1时，a1＝S1＝2.
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，
故an＝]
4．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝ .

5n－4　[由a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，…，归纳an＝5n－4.]

考点一　由an与Sn的关系求通项公式
　已知Sn求an的三个步骤
(1)利用a1＝S1求出a1.
(2)当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式．
(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝
[典例1]　(1)已知数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，则an＝ .
(2)已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，则an＝ .
(1)4n－5　(2)　[(1)a1＝S1＝2－3＝－1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5.
(2)当n＝1时， a1＝21＝2，
∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
故a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1(n≥2)，②
由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1，∴an＝(n≥2).
显然当n＝1时不满足上式，
∴an＝]
点评：Sn与an关系问题的求解思路要根据所求结果的不同要求，将问题向不同的两个方向转化
(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式．
(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解．
提醒：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．

已知正项数列{an}中，＋＋…＋＝，则数列{an}的通项公式为(　　)
A．an＝n　　　　　　　　B．an＝n2
C．an＝ D．an＝
B　[∵＋＋…＋＝，
∴＋＋…＋＝(n≥2)，
两式相减得＝－＝n(n≥2)，
∴an＝n2(n≥2)，①
又当n＝1时，＝＝1，a1＝1，适合①式，
∴an＝n2，n∈N*.故选B．]
考点二　由递推关系求通项公式

由递推关系求数列的通项公式的常用方法

[典例2]　(1)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
(2)在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2，n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
(3)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为 ．
(1)an＝　(2)an＝　(3)an＝2·3n－1－1　[(1)由题意得a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，
∴an－an－1＝n(n≥2)．
以上各式相加，得
an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝.
∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．
∵当n＝1时也满足此式，∴an＝.
(2)∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1.
以上(n－1)个式子相乘得，
an＝a1···…·＝＝.
当n＝1时，a1＝1，符合上式，
∴an＝.
(3)∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，
∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.]
点评：由递推关系求通项公式的关键是“模型化”，即针对不同的关系选择不同的方法求解，但要理解如累加(积)法可类比等差(比)数列通项的求解方式得出，而构造法可结合等差(比)数列的定义求解．

1．已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式an＝ .
　[∵an＋1＝，a1＝2，∴an≠0，
∴＝＋，即－＝，
又a1＝2，则＝，
∴是以为首项，为公差的等差数列．
∴＝＋(n－1)×＝，∴an＝.]
2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n＋1，则数列{an}的通项公式an＝ .
·2n　[∵an＋1＝2an＋2n＋1，∴两边同除以2n＋1，得＝＋1.
又a1＝1，
∴是以首项为，公差为1的等差数列，
∴＝＋(n－1)×1＝n－.
即an＝·2n.]
考点三　数列的性质
　1.解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．
2．判断数列单调性的两种方法
(1)作差(或商)法．
(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．
3．求数列中最大(小)项的两种方法
(1)根据数列的单调性判断．
(2)利用不等式组求出n的值，进而求得an的最值．
[典例3]　(1)已知数列{an}满足an＋1＝，若a1＝，则a2 020＝(　　)
A．－1 B． C．1 D．2
(2)已知数列{an}的通项公式为an＝n，则数列{an}中的最大项为(　　)
A． B． C． D．
(3)若an＝n2＋kn＋4且对于n∈N*，都有an＋1＞an成立，则实数k的取值范围是 ．
(1)B　(2)A　(3) (－3，＋∞)　[(1)由a1＝，an＋1＝，得a2＝＝2，
a3＝＝－1，a4＝＝，a5＝＝2，…，
于是可知数列{an}是以3为周期的周期数列，因此a2 020＝a3×673＋1＝a1＝.
(2)法一：(作差比较法)
an＋1－an＝(n＋1)－n＝·，
当n<2时，an＋1－an>0，即an＋1>an；
当n＝2时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an；
当n>2时，an＋1－an<0，即an＋1<an.
所以a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，
且a2＝a3＝2×＝.故选A．
法二：(作商比较法)
＝＝，
令>1，解得n<2；
令＝1，解得n＝2；
令<1，解得n>2.
又an>0，故a1<a2＝a3，a3>a4>a5>…>an，
所以数列{an}中的最大项为a2或a3，
且a2＝a3＝2×＝.故选A．
(3)由an＋1＞an知该数列是一个递增数列，
又∵通项公式an＝n2＋kn＋4，
∴(n＋1)2＋k(n＋1)＋4＞n2＋kn＋4，
即k＞－1－2n，又n∈N*，
∴k＞－3.]
点评：(1)当待求的特定项am中m较大时，常考虑数列的周期性．
(2)数列的单调性常借助作差(商)法求得，这一点有别于函数的单调性，因为数列是离散的，故本例(3)在求参数k的范围时务必要小心．

1．(2020·六安模拟)数列{an}的通项公式是an＝(n＋2).，那么在此数列中(　　)
A．a7＝a8最大 B．a8＝a9最大
C．有唯一项a8最大 D．有唯一项a7最大
A　[∵＝×，
令≥1，即≥1，解得n≤7.
∴当n≤7时，数列{an}递增，当n＞7时，数列{an}递减，
即a1＜a2＜…＜a7＝a8＞a9＞…
所以a7＝a8最大，故选A．]
2．(2020·雅礼中学模拟)在数列{an}中，a1＝a，an＋1＝2an－1，若{an}为递增数列，则a的取值范围为(　　)
A．a＞0 B．a＞1
C．a＞2 D．a＞3
B　[∵an＋1＝2an－1，
∴an＋1－1＝2(an－1)，∴＝2，
又∵a1－1＝a－1，∴数列{an－1}是首项为a－1，公比为2的等比数列，∴an－1＝(a－1)2n－1，
∴an＝(a－1)2n－1＋1，又∵{an}为递增数列，
∴an＋1－an＝(a－1)2n－(a－1)2n－1＝(a－1)2n＞0，
∴a－1＞0，∴a＞1，故选B．]