耶鲁专升本高数模拟试题卷(二).doc

2012年耶鲁专升本高等数学模拟试题

2012年河南省普通高等学校
选拔优秀专科毕业生进入本科阶段学习考试
高等数学模拟试题（二）

题号
一
二
三
四
五
总分
分值
60
20
45
16
9
150

注意事项：
答题前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上.
本试卷的试题答案必须答在答题卡上，答在试卷上无效.

一、选择题 （每小题2 分，共60 分）
在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案， 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.
1．设函数的定义域为，则的定义域是（B）
A． B． C． D．
2．函数不满足（D）
A． B．
C． D．
3．当时，下列变量中与是同阶非等价的无穷小量是（A）
A． B． C． D．
4．极限（B）

A． B． C． D．
5．若（D）

A． B． C． D．
6．是函数的（B ）
A． 连续点 B．可去型间断点
C． 跳跃型间断点 D．第二类间断点
7．若在处二阶可导，则 （B）
A． B．
C． D．
8．曲线在点处的切线斜率是（B）
A． B． C． D．
9．设函数，则（B）
A．在任意闭区间上罗尔定理一定成立 B．在上罗尔定理一定成立
C．在上罗尔定理不成立 D．在任意闭区间上罗尔定理不成立
10．设在的某邻域内连续，且，，则在处（A）
A．取得极大值 B．取得极小值
C．不取得极值 D．单调增加 -
11．设，则（D）
A． B．
C． D．
12． 设方程确定了函数，则（A）
A． B．
C．不存在 D．0
13．下列方程在有实根的有（A）
A． B．
C． D．
14．设的导数在处连续，又，则（B）
A．是的极小值点
B．是的极大值点
C．是曲线的拐点
D．是的极小值点，且也不是曲线的拐点
15．下列曲线在区间上是凸的为（D ）
A． B．
C． D．
16．曲线的垂直、水平渐近线共计有（B）
A．条 B．条 C．条 D．条
17．设，则（C）
A． B． C． D．
18．根据定积分的集合意义，（D）
A． B． C. D．
19． （C）
A． B． C． D．
20．下列广义积分收敛的是（D）

A． B．
C． D．
21． ，则（C）
A． B． C． D．
22．微分方程的的通解为（D）
A． B．
C． D．
23．直线和直线的关系是（C）
A． 平行但不重合 B．重合
C．垂直不相交 D．垂直相交
24．方程表示的二次曲面是（C）
A．球面 B．旋转抛物面 C．柱面 D．圆锥面
25．函数在点处的两个偏导数连续，是它在该点处可微的（A）

A．充分条件 B．必要条件 C． 充要条件 D．无关条件
26．函数的极小值点是（B）
A． B．

C． D．
27．二次积分写成另外一种次序的积分是（A）
A． B．
C． D．
28．区域由直线，，，围成，则（A）
A. B. C. D.
29．级数（是实数）是（A）
A． 绝对收敛 B．条件收敛 C．发散 D．敛散性不定
30．的通解是（A）
A． B．
C． D．

二、填空题 （每空 2分，共 20分）
31． ，则为．
32．若极限 ，则
33．．
解：
34． 若函数由方程确定，则．
解：方程两边同时关于求导，得：

所以， 故
35．=
解：

36．点到直线的距离
解：在上任取一点，则
直线的方向向量为

；
由公式

37．设是由方程所确定的函数，则.
解：两边微分并利用一阶微分形式的不变性，有

也就是

整理，得

故

所以
；

38．设为圆弧从O(0,0)到，则

解：.
所以，由格林公式：
.
所以，
（因为，）
39．方程的待定特解形式为
解：（一）对应的齐次方程的特征方程为：
，
（二）因为不是特征根，所以可设原非齐次的特解为：
，即
代入原方程，可得：
，
40．幂级数的收敛域为
解：记 ，

（1）如果，即时，则收敛；
（2）（1）如果，即时，则发散，
所以，
（3）又在端点处发散.
所以，收敛域为
三、计算题 （每小题5 分，共45 分）
41．求
解:原式
（注意上式用到及）

42．设由方程确定，求曲线在点处的切线方程.
解：方程
（1）
两边关于求导，得：
（2）
将代入（2）式，得：
故曲线在点处的切线方程为：
43．设其中为二阶可导的正值函数，求
解：方程

；

44．计算反常积分
解法一：令，即
则

解法二：令，则

45．
解：（分部积分）

46.
解：原式===1
47．求幂级数的和函数，并求的和.
解：（一）因为，所以，
又在端点处，原级数发散；
在端点处，原级数收敛.
故级数的收敛域为：
（二）设和函数为，即=
则
因此，，
48．计算二重积分为正方形（）.
解：以直线将区域分成两个子区域，
其中，，

其中
；

所以
49．求微分方程在初始条件下的特解.
解：微分方程的特征方程为其特征根为
故方程通解为代入初始条件后，得：，解得故原微分方程的特解为：
四、应用题 （每小题8 分，共 16 分）
50．求内接于半径为球且有最大体积的长方体.
解：设球面方程为
又设内接于球且各个面平行于坐标轴的长方体在第一卦限的顶点的坐标为则长方体的体积为

则原问题转化为求函数在条件下的极值.
令
由 （*）
解之，
根据实际情况，必有最大值，所以当长方体的长、宽、高分别为时，长方体体积最大.
注意：上述方程（*）的解法：
由 （1）（2）+（3），得：
，得
（5）
将（5）代入（1），得 ：
同理，分别将（5）代入（2），（3）得 ：，
51．（1）在曲线上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围成的平面图形的面积为；
（2）求由上述平面图形绕轴旋转所生成的旋转体的体积.
解：设切点为，则切线方程为，
即.
所以，解得：

于是，切点为，切线方程为
切线与轴的交点为，则所求旋转体的体积为

五、证明题 （9 分）
52．证明：当时，有不等式
证明：（一）令.因为所以，单减，因此，有
（二）再令.因为所以，单增，因此，有
综合（一）、（二）立得：当时，有不等式
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