2022版高考数学一轮复习-课时规范练41-直线与圆、圆与圆的位置关系新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 课时规范练41 直线与圆、圆与圆的位置关系新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时规范练41 直线与圆、圆与圆的位置关系新人教A版

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课时规范练41　直线与圆、圆与圆的位置关系
基础巩固组
1.(2020广东惠州模拟)圆(x-3)2+(y+2)2=4与圆(x-7)2+(y-1)2=36的位置关系是(　　)
A.相切 B.内含 C.外离 D.相交
2.(2020山东聊城高三段考)以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为(　　)
A.(x-2)2+y2=16 B.x2+(y-2)2=16
C.(x-1)2+y2=4 D.x2+(y-1)2=4
3.(2020湖南株洲二中高三月考)已知圆(x-1)2+(y+2)2=9的一条直径经过直线2x+y-4=0被圆所截弦的中点,则该直径所在的直线方程为(　　)
A.x+2y-5=0 B.x-2y-5=0
C.x-2y+5=0 D.x+2y+5=0
4.已知圆C1:x2+y2-4x+6y=0与圆C2:x2+y2-6x=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程是(　　)
A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0
C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0
5.设集合A={(x,y)|(x-4)2+y2=1},B={(x,y)|(x-t)2+(y-at+2)2=1},若命题“∃t∈R,A∩B≠⌀”是真命题,则实数a的取值范围是(　　)
A.(-∞,0)∪43,+∞ B.0,43
C.0,43 D.(-∞,0]∪43,+∞
6.(多选)(2020江苏南京第二十九中学开学考试)下列结论正确的是(　　)
A.过点(-2,-3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为x+y=-5
B.已知直线kx-y-k-1=0与以M(-3,1),N(3,2)为端点的线段相交,则实数k的取值范围为-12,32
C.已知ab≠0,O为坐标原点,点P(a,b)是圆O:x2+y2=r2外一点,直线m的方程是ax+by=r2,则直线m与圆O相交
D.若圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有两点到点N(1,0)的距离为1,则r的取值范围是(4,6)
7.(2020辽宁盘锦高三模拟)已知圆O:x2+y2=1,l为过点(0,2)的动直线,若直线l与圆O相切,则直线l的倾斜角为　　　　　;若直线l与圆O相交于A,B两点,则当△OAB的面积最大时,弦AB的长为　　　　　. 
8.(2020浙江绍兴阳明中学高三期中)已知P(x,y)是直线kx+y-3=0(k≠0)上一动点,PA,PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A,B是切点,若四边形PACB的最小面积是1,则k的值是　　　　　. 
9.(2020山西太原五中高三月考)已知圆C:x2+y2-2x-2y+1=0的圆心C到直线x+y-m=0(m∈R)的距离小于22.
(1)求m的取值范围;
(2)判断圆C与圆D:x2+y2-2mx=0的位置关系.

10.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N两点.
(1)求k的取值范围;
(2)若OM·ON=12,其中O为坐标原点,求|MN|.

综合提升组
11.(2020陕西榆林高三调研)已知点P(t,t-1),t∈R,E是圆x2+y2=14上的动点,F是圆(x-3)2+(y+1)2=94上的动点,则|PF|-|PE|的最大值为(　　)
A.2 B.52
C.3 D.4
12.(多选)(2020山东潍坊高三阶段检测)古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现:“平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点的轨迹是圆”.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.在平面直角坐标系xOy中,点A(-2,0),B(4,0),点P满足|PA||PB|=12.设点P的轨迹为C,下列结论正确的是(　　)
A.轨迹C的方程为(x+4)2+y2=9
B.在x轴上存在异于点A,B的两定点D,E,使得|PD||PE|=12
C.当A,B,P三点不共线时,射线PO为∠APB的平分线
D.在轨迹C上存在点M,使得|MO|=2|MA|
13.已知动圆C经过点F(1,0),且与直线x=-1相切,若动圆C与直线y=x+22+1总有公共点,则圆C的面积的取值范围为　　　　　. 
14.(2020河南郑州二中高三月考)在平面直角坐标系中,定点A(2,0),B(-1,1),动点E,F满足|AE||OE|=|AF||OF|=2,BE=λBF,则|EF|的最小值为　　　　　. 
创新应用组
15.(2020江苏南京师大附中高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在y轴上的圆C经过两点M(0,2),N(1,3),直线l的方程为y=kx.
(1)求圆C的方程;
(2)当k=1时,Q为直线l上的定点,若圆C上存在唯一一点P满足|PO|=2|PQ|,求定点Q的坐标;
(3)设A,B为圆C上任意两个不同的点,若以AB为直径的圆与直线l都没有公共点,求实数k的取值范围.

16.(2020江苏苏州高新区第一中学高三模拟)在平面直角坐标系xOy中,圆O:x2+y2=1.
(1)P为直线l:x=43上一点.
①若点P在第一象限,且|OP|=53,过点P作圆O的切线,求切线方程;
②若存在过点P的直线交圆O于点A,B,且B恰为线段AP的中点,求点P纵坐标的取值范围;
(2)已知点C(2,0),M为圆O上任意一点,求一定点D(异于点C),使|MC||MD|为定值.

参考答案

课时规范练41　直线与圆、
圆与圆的位置关系
1.D　依题意,两圆的圆心坐标分别为(3,-2),(7,1),半径分别为2,6,则两圆的圆心距为(7-3)2+(1+2)2=5.因为6-2<5<6+2,所以两圆相交.故选D.
2.C　由y2=4x知抛物线的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.由题意知所求圆的圆心坐标为(1,0),半径为r=2,所以所求圆的方程为(x-1)2+y2=4.故选C.
3.B　由题意得圆的圆心坐标为(1,-2),所求直线的斜率为12,所以所求直线的方程为y+2=12(x-1),即x-2y-5=0.故选B.
4.C　由已知得圆C1的圆心坐标为C1(2,-3),圆C2的圆心坐标为C2(3,0),则直线C1C2的方程为3x-y-9=0,即线段AB的垂直平分线的方程是3x-y-9=0.故选C.
5.C　由命题“∃t∈R,A∩B≠⌀”是真命题,可知存在实数t,使得圆(x-4)2+y2=1与圆(x-t)2+(y-at+2)2=1有公共点,则存在实数t,使得(4-t)2+(0-at+2)2≤2,即关于t的不等式(a2+1)t2-4(a+2)t+16≤0有解,则16(a+2)2-4×(a2+1)×16≥0,解得0≤a≤43.故选C.
6.CD　对于A,当直线过原点时,易知直线y=32x满足题意,故A错误;
对于B,直线kx-y-k-1=0恒过定点P(1,-1),则kPM=-1-11+3=-12,kPN=-1-21-3=32,由直线与线段相交,可知k≥32或k≤-12,故B错误;
对于C,圆心O到直线m的距离d=r2a2+b2,因为点P(a,b)是圆O:x2+y2=r2外一点,所以a2+b2>r2,所以d=r2a2+b2<r2r=r,所以直线m与圆O相交,故C正确;
对于D,与点N(1,0)的距离为1的点在圆(x-1)2+y2=1上,由题意知圆M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)与圆(x-1)2+y2=1相交,又两圆的圆心距d=5,所以r-1<5<r+1,解得4<r<6,故D正确.故选CD.
7.π3或2π3　2　若直线l与圆O相切,则直线l的斜率一定存在.设直线l的方程为y=kx+2,则圆心O到直线l的距离d=2k2+1=1,解得k=±3.
所以直线l的倾斜角为π3或2π3.
易知当△OAB为等腰直角三角形时,△OAB的面积最大,此时|AB|=2.
8.±1　圆C:x2+y2-2y=0的圆心坐标是C(0,1),半径是1.
由圆的性质知S四边形PACB=2S△PBC,因为四边形PACB的最小面积是1,
所以△PBC的最小面积是12.
又S△PBC=12|PB|·|BC|=12|PB|,
所以|PB|min=1,所以|PC|min=12+12=2.
所以圆心C到直线kx+y-3=0的距离为2k2+1=2,解得k=±1.
9.解(1)由x2+y2-2x-2y+1=0,得(x-1)2+(y-1)2=1,故圆心C(1,1).
由圆心C(1,1)到直线x+y-m=0(m∈R)的距离d=|1+1-m|2<22,
解得1<m<3,
故m的取值范围为(1,3).
(2)由(1)知圆C的圆心C(1,1),半径r1=1.
因为圆D:x2+y2-2mx=0的圆心D(m,0),半径r2=m,所以两圆的圆心距|CD|=(m-1)2+1.因为1<m<3,所以m-1<(m-1)2+1<m+1,所以圆C与圆D相交.
10.解(1)由题意知圆心C的坐标为(2,3),半径r=1,直线l的方程为y=kx+1,
因为直线l与圆C交于M,N两点,所以|2k-3+1|1+k2<1,
解得4-73<k<4+73.所以k的取值范围为4-73,4+73.
(2)设点M(x1,y1),N(x2,y2).
将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0,所以x1+x2=4(1+k)1+k2,x1x2=71+k2.所以OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k(1+k)1+k2+8=12,解得k=1,所以直线l的方程为y=x+1.所以圆心C在直线l上.所以|MN|=2.
11.D　如图.

依题意得点P(t,t-1),t∈R在直线y=x-1上,
设点E关于直线y=x-1对称的点为E',则点E'在圆x2+y2=14关于直线y=x-1对称的圆O1:(x-1)2+(y+1)2=14上,则|PE|=|PE'|.
设圆(x-3)2+(y+1)2=94的圆心为O2,则|PF|-|PE|=|PF|-|PE'|≤|E'F|,当点P,E',F三点共线时取等号.
又|E'F|≤|O1E'|+|O1O2|+|O2F|=12+2+32=4,当点O1,O2在线段E'F上时取等号.
故|PF|-|PE|的最大值为4.
12.BC　设点P(x,y),则|PA||PB|=(x+2)2+y2(x-4)2+y2=12,化简整理得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16,故A错误.根据对称性可知,存在点D(-6,0),E(-12,0),使|PD||PE|=12,故B正确.
cos∠APO=|PA|2+|PO|2-|AO|22|PA|·|PO|,cos∠BPO=|PB|2+|PO|2-|BO|22|PB|·|PO|,要证PO为∠APB的平分线,只需证cos∠APO=cos∠BPO.
因为|PA||PB|=12,|AO|=2,|BO|=4,所以cos∠APO=|PA|2+|PO|2-42|PA|·|PO|,cos∠BPO=4|PA|2+|PO|2-164|PA|·|PO|,
由cos∠APO=cos∠BPO,化简得|PO|2=2|PA|2-8.
设点P(x,y),则|PO|2=x2+y2,2|PA|2-8=2x2+8x+2y2=(x2+8x+y2)+(x2+y2).
因为点P在轨迹C上,所以x2+y2+8x=0,所以|PO|2=2|PA|2-8,即cos∠APO=cos∠BPO,所以PO为∠APB的平分线,故C正确.因为点M在轨迹C上,所以|MA||MB|=12,即|MB|=2|MA|.
若存在点M,使|MO|=2|MA|,则|MO|=|MB|,则点M在线段OB的垂直平分线x=2上.
因为直线x=2与轨迹C:(x+4)2+y2=16没有公共点,所以不存在点M,使|MO|=2|MA|,故D错误.
13.[4π,+∞)　由题意可知,动圆圆心C(a,b)的轨迹方程为y2=4x,故b2=4a.圆C的半径r=a+1,圆心C到直线y=x+22+1的距离d=|a-b+22+1|2.
因为动圆C与直线y=x+22+1总有公共点,所以d≤r,
即|a-b+22+1|2≤a+1.
又a=b24,所以b2-12+22≤2b24+1,化简可得(2-1)b2+4b-4(2+1)≥0,解得b≥2或b≤-(6+42),所以b2∈[4,+∞).
因为圆C的面积S=πr2=π(a+1)2=πb24+12,所以S∈[4π,+∞).
14.26　设动点P(x,y),由|AP||OP|=2,可得(x-2)2+y2=2(x2+y2),
即(x+2)2+y2=8.
故动点P的轨迹为圆,设为圆C.
因为动点E,F满足|AE||OE|=|AF||OF|=2,
所以点E,F都在圆C上,点B为圆内一点.
由BE=λBF,可得E,F,B三点共线.由圆的性质,可知当CB⊥EF时,弦EF的长度最小,
此时|EF|=2(22)2-|BC|2=2×8-2=26.
15.解(1)设圆C的方程为x2+(y-b)2=r2(r>0),将M,N的坐标代入该方程,得02+(2-b)2=r2,12+(3-b)2=r2,解得b=3,r=1.
所以圆C的方程为x2+(y-3)2=1.
(2)设点Q(t,t),P(x,y),
由|PO|=2|PQ|,得x2+y2=2·(x-t)2+(y-t)2,
即(x-2t)2+(y-2t)2=4t2,
由题意,可知此圆与圆C相切,故(0-2t)2+(3-2t)2=||2t|±1|,解得t=2±2.
所以点Q的坐标为(2+2,2+2)或(2-2,2-2).
(3)记以AB为直径的圆为圆M,设圆M上有一动点P0(x0,y0),
设|CM|=d(0≤d<1),则圆M的半径rM=12|AB|=1-d2,
于是|CP0|=(CM+MP0)2　=d2+(1-d2)+2CM·MP0　=1+2|CM||MP|cosθ　,其中θ为CM,MP0的夹角,θ∈[0,π].
又|CM||MP0|=d1-d2=d2(1-d2)∈0,12,所以|CP0|∈[0,2].
所以点P0在以C(0,3)为圆心,2为半径的圆的内部(含边界).
又以AB为直径的圆与直线l没有公共点,所以点C到直线l的距离d>2,即31+k2>2,解得-142<k<142.所以k的取值范围为-142,142.
16.解(1)①设点P43,y0,∵|OP|=53,∴432+y02=532,解得y0=±1.
又点P在第一象限,∴y0=1,由题意可知过点P的圆O的切线的斜率必存在,可设切线斜率为k,则切线方程为y-1=kx-43,即kx-y+1-43k=0,
∴圆心O到切线的距离d=1-43k1+k2=1,解得k=0或k=247.
∴所求切线方程为y=1或24x-7y-25=0.
②设点P43,y0,A(a,b),∵B为AP的中点,∴点Ba+432,b+y02.
又点A,B均在圆O上,∴a2+b2=1,a+4324+(b+y0)24=1,即a+432+(b+y0)2=4.
∴圆x2+y2=1与圆x+432+(y+y0)2=4有公共点,
∴1≤169+y02≤3,解得-653≤y0≤653.故点P纵坐标的取值范围为-653,653.
(2)设点M(x,y),假设存在点D(m,n),使|MC||MD|为定值t(t>0),
则|MC|2=t2|MD|2,即(x-2)2+y2=t2(x-m)2+t2(y-n)2,
∴x2+y2-2t2m-4t2-1x-2t2nt2-1y=4-t2m2-t2n2t2-1.
∵点M为圆O:x2+y2=1上的任意一点,
∴2t2m-4=0,2t2n=0,4-t2m2-t2n2t2-1=1,解得t=2,m=12,n=0.
∴存在定点D12,0,使得|MC||MD|为定值2.