2022版高考数学一轮复习-课时规范练52-离散型随机变量及其分布列新人教A版.docx

2022版高考数学一轮复习 课时规范练52 离散型随机变量及其分布列新人教A版

2022版高考数学一轮复习 课时规范练52 离散型随机变量及其分布列新人教A版

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姓名：

课时规范练52　离散型随机变量及其分布列
基础巩固组
1.一串钥匙有5把,只有一把能打开锁,依次试验,打不开的扔掉,直到找到能开锁的钥匙为止,则试验次数ξ的最大值为(　　)

A.5 B.2 C.3 D.4
2.(多选)如果ξ是一个随机变量,则下列命题中正确的有(　　)
A.ξ取每一个可能值的概率都是非负数
B.ξ取所有可能值的概率之和是1
C.ξ的取值与自然数一一对应
D.ξ的取值是实数
3.若P(ξ≤x2)=1-β,P(ξ≥x1)=1-α,其中x1<x2,则P(x1≤ξ≤x2)等于(　　)
A.(1-α)(1-β) B.1-(α+β)
C.1-α(1-β) D.1-β(1-α)
4.设随机变量X的分布列如下,则P(|X-2|=1)等于(　　)
X
1
2
3
4
P
16
14
m
13

A.712 B.12 C.512 D.16
5.已知随机变量X的概率分别为p1,p2,p3,且依次成等差数列,则公差d的取值范围是　　　　　. 
6.设随机变量ξ只能取5,6,7,…,14这10个值,且取每一个值的概率均相等,则P(ξ≥10)=　　　　;P(6<ξ≤14)=　　　　　. 
7.有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入座编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法.
(1)求n的值;
(2)求随机变量X的分布列.

8.(2020山东潍坊高三质检)2019年年底某汽车4S店为跟踪调查该店售后服务部的当年的服务质量,兑现奖惩,从购买该品牌汽车的顾客中随机抽出100位顾客对售后服务部的服务质量打分(5分制),得到如图所示的柱状图.

(1)从样本中任意选取3名顾客,求恰好有1名顾客的打分不低于4分的概率;
(2)若以这100位顾客打分的频率作为概率,在该4S店随机选取2名顾客进行打分(顾客打分之间相互独立),记X表示两人打分之差的绝对值,求X的分布列和E(X).

9.

为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策,鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况,统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数,画出茎叶图如图所示.
(1)若甲单位数据的平均数是122,求x;
(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天),记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1,ξ2,令η=ξ1+ξ2,求η的分布列.

综合提升组
10.某工厂A,B两条相互独立的生产线生产同款产品,在产量一样的情况下,通过日常监控得知,A,B生产线生产的产品为合格品的概率分别为p和2p-1(0.5≤p≤1).

(1)从A,B生产线上各抽检一件产品,若使得这两件产品至少有一件合格的概率不低于0.995,求p的最小值p0;
(2)假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.
①已知A,B生产线的不合格品返工后每件产品可分别挽回损失5元和3元,若从两条生产线上各随机抽检1 000件产品,以挽回损失的平均数作为判断依据,估计哪条生产线的挽回损失较多?
②若最终的合格品(包括返工修复后的合格品)按照一、二、三等级分类后,每件可分别获利10元、8元、6元,现从A,B生产线的最终合格品中各随机抽取100件进行分级检测,结果统计如图所示,用样本的频率分布估计总体分布,记该工厂生产一件产品的利润为X,求X的分布列并估计该厂产量2 000件时利润的期望值.

11.某中学校本课程开设了A,B,C,D共4门选修课,每个学生必须且只能选修1门选修课,现有该校的甲、乙、丙3名学生:
(1)求这3名学生选修课所有选法的总数;
(2)求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率;
(3)求A选修课被这3名学生选择的人数ξ的分布列.

创新应用组
12.某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内,设考试分数x的分布频率是f(x)且f(x)=n10-0.4,10n≤x<10(n+1),n=5,6,7,-n5+b,10n≤x<10(n+1),n=8,9.考试成绩采用“5分制”,规定:考试分数在[50,60)内的成绩记为1分,考试分数在[60,70)内的成绩记为2分,考试分数在[70,80)内的成绩记为3分,考试分数在[80,90)内的成绩记为4分,考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法,从成绩为1分、2分及3分的学生中随机抽出6人,再从这6人中随机抽出3人,记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求b的值,并估计该班的考试平均分数;
(2)求P(ξ=7);
(3)求ξ的分布列.

参考答案

课时规范练52　离散型随机变量
及其分布列
1.D　由于不能打开的钥匙会扔掉,故扔掉4把打不开的钥匙后,第5把钥匙就是能开锁的钥匙,ξ的最大值为4,故选D.
2.ABD　根据概率性质可得ξ取每一个可能值的概率都是非负数,所以A正确;ξ取所有可能值的概率之和是1,所以B正确;ξ的取值是实数,不一定是自然数,所以C错误,D正确.
3.B　显然P(ξ>x2)=β,P(ξ<x1)=α.由概率分布列的性质可知P(x1≤ξ≤x2)=1-P(ξ>x2)-P(ξ<x1)=1-α-β=1-(α+β),故选B.
4.C　由16+14+m+13=1,得m=14,所以P(|X-2|=1)=P(X=1)+P(X=3)=16+14=512.
5.-13,13　由分布列的性质及等差数列的性质得p1+p2+p3=3p2=1,p2=13,又p1≥0,p3≥0,即13-d≥0,13+d≥0,得-13≤d≤13.
6.12　45　由题意P(ξ=k)=110,k=5,6,…,14.P(ξ≥10)=5×110=12.
P(6<ξ≤14)=8×110=45.
7.解(1)因为当X=2时,有Cn2种坐法,所以Cn2=6,即n(n-1)2=6,n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,由题意知X的可能取值是0,2,3,4,所以P(X=0)=1A44=124,P(X=2)=C42×1A44=624=14,P(X=3)=C43×2A44=824=13,P(X=4)=9A44=38,所以随机变量X的分布列为
X
0
2
3
4
P
124
14
13
38

8.解(1)设“从样本中任意选取3名顾客,恰好有一名顾客的打分不低于4分”为事件A,从样本中选3人,共有C1003种不同选法,恰好有1名顾客的打分不低于4分选法有C502C501,则P(A)=C502C501C1003=2566.
(2)根据题意,每名顾客打分为2,3,4,5分的概率分别为0.2,0.3,0.3,0.2,X的可能取值为0,1,2,3;则P(X=0)=0.2×0.2+0.3×0.3+0.3×0.3+0.2×0.2=0.26,P(X=1)=2×0.2×0.3+2×0.3×0.3+2×0.2×0.3=0.42,P(X=2)=2×0.2×0.3+2×0.3×0.2=0.24,P(X=3)=2×0.2×0.2=0.08.X的分布列如下:
X
0
1
2
3
P
0.26
0.42
0.24
0.08

X的数学期望为E(X)=0×0.26+1×0.42+2×0.24+3×0.08=1.14.
9.解(1)由题意知110[105+107+113+115+119+126+(120+x)+132+134+141]=122,解得x=8.
(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2,ξ2的所有可能取值为0,1,2,因为η=ξ1+ξ2,所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3,乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4,
所以P(η=0)=C72C62C102C102=745,
P(η=1)=C71C31C62+C72C41C61C102C102=91225,
P(η=2)=C32C62+C72C42+C71C31C61C41C102C102=13,P(η=3)=C32C61C41+C71C31C42C102C102=22225,
P(η=4)=C32C42C102C102=2225.
所以η的分布列为
η
0
1
2
3
4
P
745
91225
13
22225
2225

10.解(1)设“从A,B生产线上各抽检一件产品,至少有一件合格”为事件C,“从A生产线上抽检到合格品”为事件M,“从B生产线上抽检到合格品”为事件N,由题知,M,N为相互独立事件,所以P(M)=p,P(N)=2p-1,P(C)=1-P(MN)=1-P(M)·P(N)=1-(1-p)[1-(2p-1)]=1-2(1-p)2,令1-2(1-p)2≥0.995,解得p≥0.95,故p的最小值p0=0.95.
(2)由(1)可知,A,B生产线生产的产品为合格品率分别为0.95和0.9,为不合格品的概率分别为0.05和0.1.①由题知,A生产线上随机抽检1000件产品,估计不合格品1000×0.05=50(件),可挽回损失为50×5=250(元),B生产线上随机抽检1000件产品,估计不合格品1000×0.1=100(件),可挽回损失为100×3=300(元).由此,估计B生产线挽回的平均损失较多.②由题知,X的所有可能取值为6,8,10,用样本的频率分布估计总体分布,则
P(X=6)=20+25200=940,P(X=8)=60+40200=12,P(X=10)=20+35200=1140,
所以X的分布列为
X
6
8
10
P
940
12
1140

所以E(X)=6×940+8×12+10×1140=8.1(元).
故估计该厂产量为2000件时利润的期望值为2000×8.1=16200(元).
11.解(1)每个学生有四个不同选择,根据分布乘法计数原理,选法总数N=4×4×4=64.
(2)恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为P2=C42C32A2243=2×3×3×24×4×4=916.
(3)设A选修课被这3名学生选择的人数为ξ,则ξ=0,1,2,3,P(ξ=0)=3343=2764,P(ξ=1)=C31·3243=2764,P(ξ=2)=3·C3143=964,P(ξ=3)=C3343=164,所以A选修课被这3名学生选择的人数ξ的分布列为
X
0
1
2
3
P
2764
2764
964
164

12.解(1)因为f(x)=
n10-0.4,10n≤x<10(n+1),n=5,6,7,-n5+b,10n≤x<10(n+1),n=8,9,
所以510-0.4+610-0.4+710-0.4+-85+b+-95+b=1,所以b=1.9.
估计该班的考试平均分数为
510-0.4×55+610-0.4×65+710-0.4×75+-85+1.9×85+-95+1.9×95=76.
(2)按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分,2分,3分的学生中抽出1人,2人,3人,再从这6人中抽出3人,所以P(ξ=7)=C32C11+C31C22C63=310.
(3)因为ξ的可能取值为5,6,7,8,9,所以P(ξ=5)=C11C22C63=120,P(ξ=6)=C11C21C31C63=310,P(ξ=7)=310,
P(ξ=8)=C32C21C63=310,P(ξ=9)=C33C63=120.故ξ的分布列为
ξ
5
6
7
8
9
P
120
310
310
310
120