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2022高考数学一轮复习 第十章 算法初步、统计与统计案例 10.2 随机抽样学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第十章 算法初步、统计与统计案例 10.2 随机抽样学案北师大版

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10.2　随机抽样
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.总体、个体、样本、样本容量的概念
统计中所考察对象的全体构成的集合看做总体,构成总体的每个元素作为个体,从总体中抽取的　　　　　　　所组成的集合叫作样本,样本中个体的　　　　叫作样本容量. 
2.简单随机抽样
(1)定义:一般地,设一个总体含有N个个体,从中逐个　　　　　　地抽取n个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的　　　　　　　　,就把这种抽样方法叫作简单随机抽样. 
(2)常用方法:　　　　　　和　　　　　　　　. 
(3)应用范围:总体中的个体之间差异程度较小和数目较少.
(4)注意事项:利用随机数表抽样时,①选定的初始数和读数的方向是任意的;②对各个个体编号要视总体中的个体数情况而定,且必须保证所编号码的位数一致.
3.系统抽样
(1)定义:当总体中的个体比较多时,首先把总体分成均衡的若干部分,然后按照预先定出的规则,从每一部分中抽取一个个体,得到所需要的样本,这种抽样方法叫作系统抽样.
(2)系统抽样的步骤
假设要从容量为N的总体中抽取容量为n的样本.
①先将总体的N个个体　　　　　; 
②确定　　　　　,对编号进行　　　　　.当Nn(n是样本容量)是整数时,取k=Nn; 
③在第1段用　　　　　　　确定第一个个体编号l(l≤k); 
④按照一定的规则抽取样本.通常是将l加上间隔k得到第2个个体编号　　　　　,再加k得到第3个个体编号　　　　　,依次进行下去,直到获取整个样本. 
(3)应用范围:总体中的个体数较多.
4.分层抽样
(1)定义:一般地,在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照　　　　　　　　　　,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫分层抽样. 
(2)应用范围:适用于总体由差异比较明显的几个部分组成.
(3)注意事项:利用分层抽样要注意按比例抽取,若各层应抽取的个体数不都是整数,则应当调整各层容量,即先剔除各层中“多余”的个体.

1.不论哪种抽样方法,总体中的每一个个体入样的概率都是相同的.
2.系统抽样一般也称为等距抽样,入样个体的编号相差分段间隔k的整数倍.
3.分层抽样是按比例抽样,每一层入样的个体数为该层的个体数乘抽样比.

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)简单随机抽样是一种不放回抽样.(　　)
(2)在抽签法中,先抽的人抽中的可能性大.(　　)
(3)系统抽样在起始部分抽样时采用简单随机抽样.(　　)
(4)用系统抽样从102名学生中选取20名,需剔除2名,这样对被剔除者不公平.(　　)
(5)在分层抽样中,每个个体被抽到的可能性与层数及分层有关.(　　)
2.(2020全国百校高三联考)为了调查某地区不同年龄的教师的工资情况,研究人员在A学校进行抽样调查,则比较合适的抽样方法为(　　)

A.简单随机抽样 B.系统抽样
C.分层抽样 D.不能确定
3.为客观了解上海市民家庭存书量,上海市统计局社情民意调查中心通过电话调查系统开展专项调查,成功访问了2 007位市民,在这项调查中,总体、样本及样本容量分别是(　　)
A.总体是上海市民家庭总数量,样本是2 007位市民家庭的存书量,样本容量是2 007
B.总体是上海市民家庭的存书量,样本是2 007位市民家庭的存书量,样本容量是2 007
C.总体是上海市民家庭的存书量,样本是2 007位市民,样本容量是2 007
D.总体是上海市民家庭总数量,样本是2 007位市民,样本容量是2 007
4.有200人参加了一次会议,为了了解这200人参加会议的体会,将这200人随机编号为001,002,003,…,200,用系统抽样的方法(等距离)抽出20人,若编号为006,036,041,176,196的5个人中有1个没有抽到,则这个编号是(　　)
A.006 B.041 C.176 D.196
5.某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,其中某月生产的产品数量之比依次为m∶3∶2,现用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本,已知A种型号产品抽取了45件,则m=(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4

关键能力学案突破　

考点
简单随机抽样

【例1】(1)某校高一共有10个班,编号01至10,某项调查要从中抽取三个班作为样本,现用抽签法抽取样本,每次抽取一个号码,共抽3次,设五班第一次被抽到的可能性为a,第二次被抽到的可能性为b,则(　　)

A.a=310,b=29 B.a=110,b=19
C.a=310,b=310 D.a=110,b=110
(2)(2020山西太原高三质检)某口罩生产工厂为了了解口罩的质量,现将生产的50个口罩编号为01,02,…,50,利用如下随机数表从中抽取10个进行检测,若从下表中第1行第7列的数字开始向右依次读取2个数据作为1个编号,则被抽取的第8个个体的编号为(　　)
72 84 71 14 35　19 11 58 49 26　50 11 17 17 76　86 31 57 20 18　95 60 78 46 75
88 78 28 16 84　13 52 53 94 53　75 45 69 30 96　73 89 65 70 31　99 14 43 48 76
A.18 B.11 C.50 D.17
解题心得应用简单随机抽样时应注意的问题
(1)一个抽样试验能否用抽签法,关键看两点:一是抽签是否方便;二是号签是否易搅匀.一般地,当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.
(2)在使用随机数法时,如遇到三位数或四位数,可从选择的随机数表中的某行某列的数字计起,每三个或四个作为一个单位,自左向右选取,将超过总体号码或出现重复号码的数字舍去.
对点训练1(1)用简单随机抽样的方法从含有6个个体的总体中,抽取一个容量为2的样本,某一个体a“第一次被抽取”的可能性、“第二次被抽取”的可能性分别是(　　)
A.16,16 B.13,16 C.16,13 D.13,13
(2)某工厂利用随机数表对生产的700个零件进行抽样测试,先将700个零件进行编号,001,002,…,699,700.从中抽取70个样本,下图提供随机数表的第4行到第6行,若从表中第5行第6列开始向右读取数据,则得到的第6个样本编号是(　　)
32 21 18 34 29　78 64 54 07 32　52 42 06 44 38　12 23 43 56 77　35 78 90 56 42
84 42 12 53 31　34 57 86 07 36　25 30 07 32 86　23 45 78 89 07　23 68 96 08 04
32 56 78 08 43　67 89 53 55 77　34 89 94 83 75　22 53 55 78 32　45 77 89 23 45
A.623 B.328
C.253 D.007

考点
系统抽样

【例2】(1)(2020河南顶尖计划高三联考)某公司有3 000名员工,将这些员工编号为0001,0002,0003,…,3000,从这些员工中使用系统抽样的方法抽取200人进行“学习强国”的问卷调查,若0084号被抽到,则下面被抽到的是(　　)
A.0044号 B.0294号
C.1196号 D.2984号
(2)将参加夏令营的600名学生按001,002,…,600进行编号.采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本,且随机抽得的号码为003.这600名学生分别住在三个营区,从001到300在第Ⅰ营区,从301到495在第Ⅱ营区,从496到600在第Ⅲ营区,则三个营区被抽中的人数依次为(　　)
A.26,16,8 B.25,17,8
C.25,16,9 D.24,17,9
解题心得1.系统抽样适用的条件是总体容量较大,样本容量也较大.
2.使用系统抽样时,若总体容量不能被样本容量整除,可以先从总体中随机地剔除几个个体,从而确定分段间隔.
3.起始编号的确定应用简单随机抽样的方法,一旦起始编号确定,其他编号便随之确定.
4.系统抽样是等距抽样,利用系统抽样抽取的样本编号通常构成等差数列,但如果抽样规则另有说明(非等距抽样),得到样本编号则不一定成等差数列.
对点训练2(1)某学校从编号依次为01,02,…,90的90个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽取一个样本,已知样本中相邻的两个组的编号分别为14,23,则该样本中来自第四组的学生的编号为(　　)
A.32 B.33
C.41 D.42
(2)某校高三年级共有学生900人,编号为1,2,3,…,900,现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本,若在第一组抽取的编号是5,则抽取的45人中,编号落在区间[479,719]的人数为(　　)
A.10 B.11 C.12 D.13

考点
分层抽样

【例3】(1)某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行了调查,参加调查的一共有20 000人,其中各种态度对应的人数如下表所示:

最喜爱
喜爱
一般
不喜欢
4 800
7 200
6 400
1 600

电视台为了了解观众的具体想法和意见,打算从中抽取100人进行详细的调查,为此要进行分层抽样,那么在分层抽样时,每类人中应抽取的人数分别为(　　)
A.25,25,25,25
B.48,72,64,16
C.20,40,30,10
D.24,36,32,8
(2)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件,为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取　　　　　件. 
(3)我国古代数学专著《九章算术》中有一衰分问题:今有北乡八千一百人,西乡七千四百八十八人,南乡六千九百一十二人,凡三乡,发役三百人,则北乡遣(　　)
A.104人 B.108人
C.112人 D.120人
解题心得分层抽样问题类型及解题思路
(1)求某层应抽个体数量:按该层所占总体的比例计算.
(2)已知某层个体数量,求总体容量或反之:根据分层抽样就是按比例抽样,列比例式进行计算.
(3)确定是否应用分层抽样:分层抽样适用于总体中个体差异较大的情况.
对点训练3(1)某商场有四类食品,其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬类分别有40种,10种,30种,20种,现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测,若采用分层抽样的方法抽取样本,则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是　　　　　. 
(2)某林场共有白猫与黑猫1 000只,其中白猫比黑猫多400只,为调查猫的生长情况,采用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本,若样本中黑猫有6只,则n=　　　　　. 
(3)我国南宋数学家秦九韶所著《数书九章》中有“米谷粒分”问题:粮仓开仓收粮,粮农送来米512石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得216粒内夹谷27粒,则这批米内夹谷约(　　)
A.128石 B.64石
C.256石 D.32石

10.2　随机抽样
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.一部分个体　数目
2.(1)不放回　机会都相等
(2)抽签法　随机数法
3.(2)编号　分段间隔k　分段　简单随机抽样　(l+k)　(l+2k)　
4.(1)一定的比例
考点自诊
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)×
2.C　因为调查教师的工资情况需要分年龄,所以使用分层抽样的方法能够正确反映不同年龄的教师的工资情况,按照年龄分层抽样.
3.B　根据题目可知,总体是上海市民家庭的存书量,样本是2007位市民家庭的存书量,样本容量是2007,故选B.
4.B　由题意,从200人中用系统抽样的方法抽取20人,所以抽样的间隔为20020=10,若在第1组中抽取的数字为006,则抽取的号码满足6+(n-1)×10=10n-4,其中n∈N*,其中当n=4时,抽取的号码为36;当n=18时,抽取的号码为176;当n=20时,抽取的号码为196,所以041这个编号不在抽取的号码中,故选B.
5.C　∵用分层抽样方法抽取一个容量为120的样本,A种型号产品抽取了45件,
又∵某工厂生产A,B,C三种不同型号的产品,某月生产产品数量之比依次为m∶3∶2,∴根据分层抽样的性质得mm+3+2=45120,解得m=3.故选C.
关键能力·学案突破
例1(1)D　(2)D　(1)由简单随机抽样的定义知,在每次抽取中每个个体都有相同的可能性被抽到,故五班在每次抽样中被抽到的可能性都是110,所以a=110,b=110.
(2)随机数表中第1行第7列的数字为1,所以第一个抽取的为14,被抽取的10个个体的编号依次为14,35,19,11,49,26,50,17,31,20,所以被抽取的第8个个体编号为17.
对点训练1(1)A　(2)A　(1)由于简单随机抽样中每个个体每次被抽到的机会均等,所以个体a“第一次被抽取”的可能性与“第二次被抽取”的可能性是相同的,都为16.故选A.
(2)从第5行第6列开始向右读取数据,第一个数为253,第二个数是313,第三个数是457,下一个数是860,不符合要求,下一个数是736,不符合要求,下一个是253,重复,第四个是007,第五个是328,第六个是623,故选A.
例2(1)B　(2)B　(1)由题意得,抽出的号码为以15为公差的等差数列,因为0084号被抽到,所以可知被抽得的号码与84的差为15的整数倍.294-84=210=15×14,其他选项均不满足.故选B.
(2)由题意及系统抽样的定义可知,将这600名学生按编号依次分成50组,每一组各有12名学生,第k(k∈N*)组抽中的号码是3+12(k-1).令3+12(k-1)≤300,得k≤1034,因此第Ⅰ营区被抽中的人数是25;令300<3+12(k-1)≤495,得1034<k≤42,因此第Ⅱ营区被抽中的人数是42-25=17;第Ⅲ营区被抽中的人数为50-25-17=8.
对点训练2(1)A　(2)C　(1)因为由题可知相邻的两个组的编号分别为14,23,所以样本间隔为23-14=9,所以第一组的编号为14-9=5,所以第四组的编号为5+3×9=32,故选A.
(2)900人中抽取样本容量为45的样本,样本组距为900÷45=20,又第一组抽取的编号是5,则编号落在区间[479,719]的人数为(719-479)÷20=12,故选C.

例3(1)D　(2)18　(3)B　(1)(方法1)根据分层抽样的性质得10020000=1200,所以每类人中应抽取的人数分别为4800×1200=24,7200×1200=36,6400×1200=32,1600×1200=8.
(方法2)最喜爱、喜爱、一般、不喜欢的比例为4800∶7200∶6400∶1600=6∶9∶8∶2,所以每类人中应抽取的人数分别为66+9+8+2×100=24,96+9+8+2×100=36,86+9+8+2×100=32,26+9+8+2×100=8.
(2)因为样本容量n=60,产品总数N=200+400+300+100=1000,所以nN=601000=350.因此应从丙种型号的产品中抽取300×350=18(件).
(3)由题意可知,这是一个分层抽样的问题,其中北乡可抽取的人数为300×81008100+7488+6912=300×810022500=108.
对点训练3(1)6　(2)20　(3)B　(1)本题主要考查对分层抽样的理解.根据分层抽样的性质得2040+10+30+20=15,则抽取的植物油类种数是10×15=2,抽取的果蔬类食品种数是20×15=4,所以抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是2+4=6.
(2)由题意,白猫、黑猫分别有700,300只,由分层抽样的特点,得n1000=6300,解得n=20,故答案为20.
(3)由题意,抽得样本中含谷27粒,占样本的比例为27216=18,则由此估计总体中谷的含量约为512×18=64(石).