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八年级数学 勾股定理及其常考题型

勾股定理也称毕达哥拉斯定理，文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.结合直角三角形图形，用字母可表示为：，如下图，a、b为直角边，c为斜边。

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系，完美地体现了“数形统一”的数学思想，将初中几何与代数很好的联系起来。因此，学好勾股定理这一知识点对于我们解决数学问题有很大的帮助，下面我们具体来看看初中数学有关勾股定理的一些常见题型及其解答方法。
一、边的计算
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若a=6，b=8，则c= ．
解：因为，所以c=10。
评论：直接由勾股定理所以得
2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则斜边上的高CD的长为（ ）
A． B． C． D．
解：由勾股定理知：AB=5，又因为S△ABC =AC×BC=AB×CD
即：×3×4=×5×CD,所以CD=
评论：通过勾股定理求出斜边，再利用面桥关系求出斜边上的高。
3、若一直角三角形两边的长为12和5，则第三边的长为（ ）
A．13 B．13或 C．13或15 D．15
解：当12对应的边为斜边时，此时由勾股定理得第三边为
当12对应的边是直角边时，则第三边为斜边，由得第三边的长为13
评论：勾股定理结合分类讨论思想，学生要注意这类试题的多解性。
4．Rt△一直角边的长为11，另两边为自然数，则Rt△的周长为（　　）
A、121 B、120 C、132 D、不能确定
解：设该Rt△的三边分别为a、b、c，a、b为直角边，c为斜边
由勾股定理知：，即：112＋b2 = c2
所以（b+c）（c－b）=121
因为b、c都为自然数，所以b+c，c－b，都为正自然数。
又因为121只有1、11、121这三个正整数因式，所以b+c=121，c－b=1。所以b=60，c=61
评论，本题以直角三角形为载体，同过勾股定理将初中几何知识和代数知识很好地串联起来考察学生的能力。
二、直角三角形的判定
5、 在△ABC中中，a、b、c为∠A、∠B、∠C的对边，给出如下的命题：
①若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC为直角三角形；②若∠A＝∠C一∠B，则△ABC为直角三角形；③若，，则△ABC为直角三角形；④若a：b：c＝5：3：4，则△ABC为直角三角形；⑤若（a＋c）（a－c）＝b2，则△ABC为直角三角形；⑥若(a＋c)2＝2ac＋b2，则△ABC为直角三角形；⑦若ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,BＣ＝15, 则△ABC为直角三角形。　　　　　　　　　　上面的命题中正确的有（　　　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
解：对①，因为三角形内角和为180度，所以∠A+∠B+∠C＝180°，因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，所以∠C=180°× 所以∠C=90°则△ABC为直角三角形，①正确。对②，因为∠A+∠B+∠C＝180°，而∠A＝∠C一∠B，所以∠C一∠B+∠B+∠C＝180°所以∠C=90°，即△ABC为直角三角形，②正确。对③，设a=5k，因为，，则c=4k，
C2＋b2 = a2 所以为△ABC直角三角形. ③正确，同理易知④正确，对⑤，因为（a＋c）（a－c）＝b2 所以a2 –c2 = b2 ，所以△ABC为直角三角形．⑤正确，对⑥，因为(a＋c)2＝2ac＋b2，所以a2 +c2+2ac=2ac＋b2 所以a2 +c2=b2 正确，对⑦，因为ＡＢ＝12,ＡＣ＝9,ＡＣ＝15，所以AB2 +AC2=BC2所以正确。答案选B
评论：直角三角形的评定可以从角和边两方面来进行，从角来判定需结合三角形内角和定理，从边来判定需结合勾股定理。一般是验证最大边的平方是否等于两小边的平方和。
图18-1
三、翻折
6、矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图18-1方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE=_______cm．
解：设DE为x，因为DE是由BE翻折过来的，
所以DE=BE=x,则AE=10－x，在Rt△ABD中：
AD2 +AE2=DE2
所以：42 +（10－x） 2= x 2
解得x=5.8 cm
评论：翻折和旋转是初中数学常见的题型，解答这类题的关键在于把握翻折和旋转前后的联系，主要是看清哪些量没变，抓住这些不变的量，以此为突破口便可以顺利解决。本题的不变量是DE和BE的长度，抓住这个关系，再通过勾股定理建立等式，在直角三角形中便可解出边长的长度。
四、爬行
7．如图，有一个圆柱，它的高等于16cm，底面半径等于4cm，在
圆柱下底面的点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与点相对的
点处的食物，需要爬行的最短路程是 cm．（取3）
解：蚂蚁要沿圆柱体侧面爬，将圆柱体的侧面沿蚂蚁所在的垂直于底面的直线切开，展开后是一个长为8π，宽为16的长方形，蚂蚁所在的是一个顶点，而相对的点则是对面那条长为8π的边的中点。所以根据勾股定理，两点之间的距离为d，d2 =(8π)2 +(16)2从而解出d。
评论：爬行问题是勾股定理的一大重要应用，关键在于将立体图形转化为平面图形，从而简单便捷地找出最短距离，然后再利用勾股定理求出边长。
Dˊ
A
B
C
D
Aˊ
Bˊ
Cˊ
8．已知长方体的长为2cm、宽为1cm、高为4cm，一只蚂蚁如果沿长方体的表面从A点爬到B′点,那么沿哪条路最近,最短的路程是多少?

解：将长方体的侧面B BˊCˊC展开到与长方体的正面AC CˊAˊ在同一平面内，
得到长方形AB BˊAˊ,长AB=3 cm,宽A Aˊ=4，
蚂蚁沿长方体的表面从A点爬到B′点最短距离即为长方形AB BˊAˊ的对角线
A B′长。由勾股定理易知A B′=5.

五、图形变换
9．如图2（1），是小红用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，如图2（2）是以c为直角边的等腰直角三角形，她想将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，可以吗？
（1）如果能，请你画出拼成的这个图形的示意图，写出它是什么图形？
（2）用这个图形证明勾股定理．
（3）假设图2（1）中的图有若干个，你能运用（1）中所示的直角三角形拼出另一个能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图．（无需证明）

23，（1）如图是直角梯形.

（2）因为S梯形＝(a+b)(a+b)＝(a+b)2，S＝2×ab+c2＝ab+c2，所以(a+b)2＝ab+c2，即a2+b2＝c2.（3）如图所示.
评论：这是一道图形换的题，具体涉及到图形的拼凑，解决勾股定理这方面的试题关键是要对课本勾股定理证明涉及到的几种常见的图形以及证明过程和原理要熟练掌握，再利用适当的迁移便可以解答了。
六、实际应用
10，某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图5所示，∠ACB＝90°，AC＝80米，BC＝60米，若线段CD是一条小渠，且D点在边AB上，已知水渠的造价为10元/米，问D点在距A点多远处时，水渠的造价最低？最低造价是多少？
解：当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低.因为CD·AB＝AC·BC ，所以CD＝＝48米，所以AD＝＝64米.所以，D点在距A点64米的地方，水渠的造价最低，其最低造价为480元.
图5

11．有一只小鸟在一棵高4m的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高20m的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4m/s的速度飞向大树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达大树和伙伴在一起？

解：如图所示，根据题意，得AC=20-4=16，BC=12．
根据勾股定理，得AB=20．则小鸟所用的时间是20÷4=5（s）．

评论：解答勾股定理的实际应用题，首先要审清题意，然后找出试题情景中涉及到的直角三角形，再结合勾股定理便可以求出了。在该题中，我们关键是要根据题意画出勾股定理涉及到的直角三角形图形，只需求得AB的长．根据已知条件，得BC=12，AC=20-4=16，再根据勾股定理就可求解．

补充：