2021年高考数学三轮冲刺训练-平面向量.doc

2021年高考数学三轮冲刺训练 平面向量

2021年高考数学三轮冲刺训练 平面向量

年级：
姓名：

平面向量
1.平面向量是高考考查的重点、热点.往往以选择题或填空题的形式出现.常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题；
2.同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏易.

1、向量共线定理
如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
2、平面向量基本定理
（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解.
向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键.
（2）平面向量共线的坐标表示
两向量平行的充要条件
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是a＝λb，这与x1y2－x2y1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同.
3、平面向量基本定理：若向量为两个不共线的向量，那么对于平面上任意的一个向量，均存在唯一一对实数，使得。其中成为平面向量的一组基底。（简而言之，不共线的两个向量可以表示所有向量）
4、向量数量积运算，其中为向量的夹角
5、向量夹角的确定：向量的夹角指的是将的起点重合所成的角，
其中：同向 ：反向 ：
6、数量积运算法则：
（1）交换律：
（2）系数结合律：
（3）分配律：
7、平面向量数量积的重要性质
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
(2)非零向量a，b，a⊥b⇔a·b＝0；
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b|，a·a＝a2，|a|＝；
(4)cos θ＝；
(5)|a·b|≤|a||b|.
8、平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.

1、判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定.
失误与防范
要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况.
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.
2、运用向量解决数量积的问题常用的方法有：1、基底法；2、向量法；

1、已知向量a，b满足，，，则
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】，，，.
，
因此，.
故选：D．
2、已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】如图，

的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A．
3、已知非零向量a，b满足，且b，则a与b的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为b，所以=0，所以，所以=，所以a与b的夹角为，故选B．
4、已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=
A．−3 B．−2
C．2 D．3
【答案】C
【解析】由，，得，则，．故选C．
5、在中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根据向量的运算法则，可得
，所以.
故选A.

6、设为单位向量，且，则______________.
【答案】
【解析】因为为单位向量，所以
所以，
解得：，
所以，
故答案为：.
7、已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【答案】
【解析】由题意可得：，
由向量垂直的充分必要条件可得：，
即：，解得：.
故答案为：．
8、如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．

【答案】(1). ；(2).
【解析】，，，

，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
9、已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．
【答案；
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，
，
则点，，，
因此，，.
故答案为：；.
10、已知平面单位向量，满足．设，，向量，的夹角为，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】，，
，

.
故答案为：.
11、已知a，b为单位向量，且a·b=0，若，则___________.
【答案】
【解析】因为，，
所以，
，所以，
所以 ．

12、在四边形中，，点在线段的延长线上，且，则___________．
【答案】
【解析】建立如图所示的直角坐标系，∠DAB=30°，则，.
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为.
由得，，
所以.
所以.

13、如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是___________．

【答案】.
【解析】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC的中点，知BF=FE=EA,AO=OD．

，

，
得即故
14、已知正方形的边长为1，当每个取遍时，的最小值是___________；最大值是___________．
【答案】0；.
【解析】以分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图.

则,
令0.
又因为可取遍，
所以当时，有最小值.
因为和的取值不相关，或，
所以当和分别取得最大值时，y有最大值，
所以当时，有最大值.
故答案为0；.

一、单选题
1、已知向量满足，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
∵，，且，
∴，
∴.
故选：D.
2、已知向量，若，则（ ）
A．1或4 B．1或 C．或4 D．或
【答案】B
【解析】
由题意，向量，可得，
因为，则，解得或.
故选：B.
3、已知向量满足， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，①
，②
①②，可得，解得，
所以.
故选：C
4、已知向量满足， ， ，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
将， ，两边同时平方，求出，进而可求出结果.
【详解】
，①
，②
①②，可得，解得，
所以.
故选：C
5、如图，在等腰直角中，，分别为斜边的三等分点（靠近点），过作的垂线，垂足为，则（ ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
设，则，
，，
所以，所以.
因为，
所以.
故选：D

6、如图，是单位圆的直径，点，是半圆弧上的两个三等分点，则（ ）

A．1 B． C． D．
【答案】C
【解析】

连接,则,
在中，由余弦定理得：.
所以.
故选：C
7、已知向量，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】
，
,，其中，
故，
，
故当时，即时，取最大值为.
故选：C.
8、已知点P是边长为2的菱形内的一点(包含边界)，且，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如图，建立平面直角坐标系，则.

设，则，故，
即的取值范围是.
故选：A
9、如图，在梯形中，已知，，为的中点，，，则（ ）

A．1 B． C．3 D．
【答案】B
【解析】
因为，为的中点，，
所以，，则为等边三角形，
所以，
又，所以，则，
因为，，所以，即为直角三角形，
所以，
因此.
故选：B.
10、已知为等边三角形，，所在平面内的点满足，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
，
所以，，
由平面向量模的三角不等式可得.
当且仅当与方向相反时，等号成立.
因此，的最小值为.
故选：C.
二、 多选题
11、已知向量则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】
由题意可得.因为，所以，则A正确，B错误；
对于C，D，因为，所以，则C错误，D正确.
故选：AD.
12、已知向量，，，设，所成的角为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】
向量，
由，可得
即，解得 ，所以A正确.
，所以
又，所以，所以D正确,C不正确.
,则，故B正确.
故选：ABD
13、已知是边长为2的等边三角形，，分别是、上的两点，且，，与交于点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．在方向上的投影为
【答案】BCD
【解析】
由题E为AB中点，则，
以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，，
设，∥，
所以，解得：，
即O是CE中点，，所以选项B正确；
，所以选项C正确；
因为，，所以选项A错误；
，，
在方向上的投影为，所以选项D正确.
故选：BCD
14、如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且，F为AE的中点，则（ ）

A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【解析】
∵ AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，
由向量加法的三角形法则得
，A对；
∵，∴，
∴，
又F为AE的中点，∴，B对；
∴，C对；
∴，D错；
故选：ABC．
15、已知向量，，则下列命题正确的是（　　）
A．若，则
B．若 ，则
C．若取得最大值时，则
D．的最大值为
【答案】ACD
【解析】
A选项，若，则，即，故A正确．
B选项，若，则，则，故B不正确．
C选项，，其中.
当取得最大值时，，即，
，故C正确.
D选项，，
当时，取得最大值为，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：ACD
16、已知向量，则（ ）
A． B．
C．向量在向量上的投影是 D．向量的单位向量是
【答案】AB
【解析】

对于A: ，故A正确；
对于B: ，故B正确；
对于C: 向量在向量上的投影是，故C错误；
对于D: 向量的单位向量是和，故D错误．
故选：AB．
17、对于给定的，其外心为，重心为，垂心为，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．过点的直线交于，若，，则
D．与共线
【答案】ACD
【解析】

如图，设AB中点为M,则,
,故A正确；
等价于等价于,即，
对于一般三角形而言，是外心，不一定与垂直，比如直角三角形中，
若为直角顶点，则为斜边的中点，与不垂直.故B错误；
设的中点为,

则，
∵E,F,G三点共线，，即,故C正确；

,
与垂直,又,∴与共线，故D正确.
故选：ACD.

三、 填空题
18、已知向量满足，，则__________．
【答案】
【解析】
.
故答案为：.
19、若则向量与向量夹角的大小是_______.
【答案】
【解析】
由得

20、若非零向量、,满足,,则与的夹角为___________.
【答案】
【解析】
设与的夹角为，由题意,,，
可得，所以，
再由可得，，
故答案是.
21、在四边形中，.若，则__________.
【答案】
【解析】
因为，，
所以，
故答案为：-16
22、已知m，n均为正数，，，且，则的最小值为____________.
【答案】4
【解析】
由求得，代入利用基本不等式求最小值.
【详解】
因为，，且，
所以，即
因为m，n均为正数，
所以
当且仅当时取最小值.
故答案为：4
23、已知腰长为的等腰直角△中，为斜边的中点，点为该平面内一动点，若，则的最小值 ________．
【答案】
【解析】

如图建立平面直角坐标系，
∴
，
当sin时，得到最小值为，故选．