2018年高考数学专题71不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用理.doc

专题7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用【三年高考】1. 【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是（A） （B）（C） （D）【答案】B【解析】因为，且，所以 ，所以选B.2. 【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是（A）（B）（C）（D）【答案】【解析】不等式为(*)，当时， (*)式即为，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上故选A3. 【2017天津，理12】若，则的最小值为_.【答案】 4【2016高考新课标1卷】若,则( )（A） （B） （C） （D）【答案】C【解析】用特殊值法,令,得,选项A错误,选项B错误,选项C正确,选项D错误,故选C5. 【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（ ）A若|a2+b+c|+|a+b2+c|1，则a2+b2+c2100 B若|a2+b+c|+|a2+bc|1，则a2+b2+c2100C若|a+b+c2|+|a+bc2|1，则a2+b2+c2100 D若|a2+b+c|+|a+b2c|1，则a2+b2+c2100【答案】D【解析】举反例排除法：A.令，排除此选项，B.令，排除此选项，C.令，排除此选项，故选D6【2016高考上海理数】设x,则不等式的解集为_.【答案】【解析】由题意得：，即，故解集为.7【2015高考江苏，7】不等式的解集为_.【答案】【解析】由题意得：，解集为8.【2015高考湖北，理10】设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得， 同时成立，则正整数的最大值是（ ）A3 B4 C5 D6【答案】B9.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）（A）16 （B）18 （C）25 （D）【答案】B【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即.由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即.由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B.【2017考试大纲】1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.2.一元二次不等式；(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.3基本不等式：（，）(1)了解基本不等式的证明过程. (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 , 不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中.因此，在2017年复习备考中，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，对不等关系，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，对不等式解法主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的不等式，函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题，问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高预测2018年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，可能与导数结合出一道解答题 【2018年高考考点定位】高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系【考点1】不等式性质【备考知识梳理】1不等式的基本性质：（1） （2） （3）， （4）2不等式的运算性质：（）加法法则： （）减法法则：，（）乘法法则： （）除法法则：，（）乘方法则：（）开方法则：【规律方法技巧】1判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质 2特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题 【考点针对训练】1. 【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】已知，给出下列四个结论：其中正确结论的序号是（ ）A B C D【答案】C【解析】，因此选C.2. 【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知下列四个关系：；，；，其中正确的有（ ）A1个B2个C3个D4个【答案】B【解析】时，错误.时错误.根据不等式的性质知正确.根据指数函数的单调性可知正确.故有两个正确.【考点2】不等关系【备考知识梳理】在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.【规律方法技巧】区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用等式子表示，不等关系是通过不等式表现【考点针对训练】1. 【福建省2017届高三毕业班总复习过关测试】若，则的大小关系为()A. . B. C. D. 由的取值确定【答案】C【解析】假设PQ，要证PQ，只要证P2Q2，只要证：2a722a72，只要证：a27aa27a12，只要证：012，012成立，PQ成立2. 【河南省郑州市第一中学2017届高三期中】设，则的大小关系是（ ）A B C D【答案】C【解析】，,故选C.【考点3】一元二次不等式解法【备考知识梳理】对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.二次函数（）的图象有两相异实根有两相等实根无实根【规律方法技巧】1解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；2若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.【考点针对训练】1. 【安徽师范大学附属中学2017届高三期中】已知不等式的解集为,则不等式的解集为 .【答案】【解析】根据题意可得，所以可化为，所以不等式的解集为2. 【江苏省苏北三市2017届三模】已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是_【答案】 (或)【解析】利用一元二次方程根的分布去解决，设 ，当时，即 时， 对 恒成立；当时， ，不合题意；当时， 符合题意；当 时， ，即 ，即： ，综上所述：实数的取值范围是.【考点4】基本不等式及应用【备考知识梳理】1、 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）推论：（）2、 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.推论：（，）；3、【规律方法技巧】1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等. 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.【考点针对训练】1. 【山东省滨州市2016-2017学年高三期中】设正实数，满足，则的最小值是 【答案】9【解析】，所以，当且仅当时，取最小值9.2. 【天津市耀华中学2017届高三一模】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为_【答案】【解析】不等式恒成立，则且，即，又存在，使成立，可得，所以， 可得，所以令，则 的最小值为故本题应填【应试技巧点拨】1使用均值不等式求最值时，注意在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.2基本不等式及其变式中的条件要准确把握如()，()等3.利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”“积为定值”的结构特点在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出最值即应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代（换）”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一.3.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为f(a)g(x)(或f(a)g(x)对xD恒成立，再转化为f(a)g(x)max(或f(a)g(x)min)；第二关是求最值关，即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题4.应用导数证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广.解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法.5对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式 1. 【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知，且，则的最小值为（ ）ABCD【答案】B【解析】两边除以得，所以.2. 【河南省豫北名校联盟2017届高三精英对抗赛】已知在正项等比数列中，存在两项，满足，且，则的最小值是（ ）A B2 C. D【答案】A【解析】由得解得，再由得，所以，所以.3. 【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】已知，给出下列四个结论：其中正确结论的序号是（ ）A B C D【答案】C【解析】，因此选C.4. 【河北省武邑2017届高三三调】已知,则（ ）A B C. D【答案】B【解析】，故选B. 5. 【贵州省遵义市第四中学2016届高三第四次月考】已知直线在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （ ）A. B. C. D. 2【答案】D【解析】直线在两坐标轴上的截距之和为4，所以，即 ，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 .6. 【福建省莆田2017届高三二模】若实数、，且，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D7. 【湖南省岳阳2018届高三第一次月考】如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】C【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，所以，化简得，解得题目所给图像可知.由基本不等式得，即.当且仅当，即时，等号成立，故最小值为.8. 【天津市耀华中学2017届高三二模】已知为正实数，则的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C9. 【陕西省黄陵中学2017届考前模拟】两圆和恰有三条公切线，若， ，且，则的最小值为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】因为两圆的圆心和半径分别为，所以由题设可知两圆相外切，则，故，即，所以，应选答案C。10. 【湖南省长沙市2017届高三5月模拟】设正实数满足，则当取得最大值时， 的最大值为（ ）A. 0 B. 1 C. D. 3【答案】B【解析】据已知不等式得，故，据均值不等式得，当且仅当，即时取得最大值，此时且，当时取得最大值1.11. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为，且，则的最小值为（ ）A B C D20【答案】D【解析】由题意得，所以，当且仅当时取等号，选D.12. 【2016年福建厦门一中高三质量检测】函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）A B C D【答案】C【解析】令则设，则函数在上单调递增，在上单调递减，在的值域，即故选C 13. 【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】已知函数的定义域为，对任意，有,且，则不等式的解集为（ ）A B C D【答案】D【解析】由对任意，有，得令，则为上的增函数因为，所以，所以等价于，所以，解得且，故选D 14. 【2016届江西省上高二中高三全真模拟】已知函数，若，则a的取值范围是 【答案】【解析】由题意得，作出函数的图象，如图所示，此时当时，要使得成立，当时，直线与相切，联立方程组，得，由，解得，所以要使得成立，则实数的取值范围是 15. 【2016年江西南昌高三模拟】已知抛物线C:x2 =4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点设直线l是抛物线C的切线，且lMN，P为l上一点，则的最小值为 .【答案】【解析】过焦点且斜率为1的直线与抛物线相交于，联立，得，则；设直线与抛物线相切于点,因为,所以，则，直线的方程为，即，设点，则 【一年原创真预测】1. 若，则下列各式中一定成立的是（ ）A B C D【答案】C【解析】因为，所以.易知幂函数在上单调递增，又，所以，所以，选C.【入选理由】本题考查指数函数、对数函数的图象与性质，意在考查学生分析问题、解决问题的能力.本题是不等式的一个应用，难度不大，故选此题.2. 设，若不等式对所有满足题设的均成立，则实数的最大值为_【答案】【解析】，因为所以设，则，因此的最小值，而，当且仅当时取等号，从而，即实数的最大值为.【入选理由】本题考查对数运算、基本不等式求最值等基础知识，意在考查运用等价转化思想分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力本题是基本不等式问题，难度不大，故选此题.3. 对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】 【解析】因为当且仅当即时取等号，所以 【入选理由】本题考查不等式恒成立，含绝对值不等式解法等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力本题是基本不等式的一个灵活应用，难度不大，故选此题.4. 已知，则的最大值为_【答案】【入选理由】本题考查基本不等式，一元二次不等式解集等基础知识，意在考查运用等价转化思想分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力本题是基本不等式，一元二次不等式解集有机结合在一起，难度不大，故选此题.- 18 -