2018年高考数学专题71不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用理.doc

专题7.1 不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用
【三年高考】
1. 【2017山东，理7】若，且，则下列不等式成立的是
（A） （B）
（C） （D）
【答案】B
【解析】因为，且，所以
，所以选B.
2. 【2017天津，理8】已知函数设，若关于x的不等式在R上恒成立，则a的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
【答案】
【解析】不等式为(*)，当时， (*)式即为，，又（时取等号），（时取等号），所以，当时，(*)式为，，又（当时取等号），（当时取等号），所以，综上．故选A．
3. 【2017天津，理12】若，，则的最小值为___________.
【答案】
4．【2016高考新课标1卷】若,则( )
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】用特殊值法,令,,得,选项A错误,,选项B错误,,选项C正确,,选项D错误,故选C．
5. 【2016高考浙江理数】已知实数a，b，c（ ）
A．若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1，则a2+b2+c2<100 B．若|a2+b+c|+|a2+b–c|≤1，则a2+b2+c2<100
C．若|a+b+c2|+|a+b–c2|≤1，则a2+b2+c2<100 D．若|a2+b+c|+|a+b2–c|≤1，则a2+b2+c2<100
【答案】D
【解析】举反例排除法：A.令，排除此选项，B.令，排除此选项，C.令，排除此选项，故选D．
6．【2016高考上海理数】设x,则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】由题意得：，即，故解集为.
7．【2015高考江苏，7】不等式的解集为________.
【答案】
【解析】由题意得：，解集为
8.【2015高考湖北，理10】设，表示不超过的最大整数. 若存在实数，使得，，…， 同时成立，则正整数的最大值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
9.【2015高考四川，理9】如果函数在区间上单调递减，则mn的最大值为（ ）
（A）16 （B）18 （C）25 （D）
【答案】B
【解析】时，抛物线的对称轴为.据题意，当时，即..由且得.当时，抛物线开口向下，据题意得，即..由且得，故应舍去.要使得取得最大值，应有.所以，所以最大值为18.选B..
【2017考试大纲】
1.不等关系：了解现实世界和日常生活中的不等关系,了解不等式(组)的实际背景.
2.一元二次不等式；(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.
(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.
(3)会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图.
3．基本不等式：（，）
(1)了解基本不等式的证明过程. (2)会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
【三年高考命题回顾】
纵观前三年各地高考试题, 对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查，主要考查不等式性质、不等关系、二次不等式解法、基本不等式及其应用，高考中一般会以小题形式形式考查，个别省市在大题中考查不等式的应用．
【2018年高考复习建议与高考命题预测】
由前三年的高考命题形式可以看出 , 不等式是中学数学的主体内容之一, 是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具, 因而是数学高考命制能力题的重要版块. 在近年来的高考数学中,有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法,而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上, 选择题、填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等;解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中, 知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高, 是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中.因此，在2017年复习备考中，要注意不等式性质运用的条件，以及与函数交汇考查单调性，对不等关系，要培养将实际问题抽象为不等关系的能力，从而利用数学的方法解决，对不等式解法主要是二次不等式的解法，往往与集合知识交汇考查，注意含参数的二次不等式的解法.对基本不等式及其应用，会涉及求函数的最值问题，或者将实际问题抽象出数学最优化问题，利用基本不等式求解．不等式几乎能与所有数学知识建立广泛的联系，通常以不等式与函数、三角、向量、数列、解析几何、数列的综合问题的形式出现，尤其是以导数或向量为背景的不等式，函数的综合题和有关不等式的证明或性质的代数逻辑推理题，问题多属于中档题甚至是难题，对不等式的知识，方法与技巧要求较高．预测2018年可能有一道选择或者填空出现，考查不等式的解法，或不等式的性质，或基本不等式，可能与导数结合出一道解答题．

【2018年高考考点定位】
高考对不等式关系与不等式解法、基本不等式及应用的考查有以下几种主要形式：一是考查不等式的性质；二是不等式关系；三是不等式解法；四是基本不等式及应用，其中经常与函数、方程等知识的相联系．
【考点1】不等式性质
【备考知识梳理】
1．不等式的基本性质：（1） （2） （3）， （4）
2．不等式的运算性质：（１）加法法则：
（２）减法法则：，（３）乘法法则：
（４）除法法则：，（５）乘方法则：
（６）开方法则：
【规律方法技巧】
1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．
2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题．
【考点针对训练】
1. 【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】已知，给出下列四个结论：①②③④其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】，因此选C.
2. 【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知下列四个关系：①；②；③，；④，．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】时，①错误.时②错误.根据不等式的性质知③正确.根据指数函数的单调性可知④正确.故有两个正确.
【考点2】不等关系
【备考知识梳理】
在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系.
【规律方法技巧】
区分不等关系与不等式的异同，不等关系强调的是关系，可用符号表示，而不等式则是表现两者的不等关系，可用等式子表示，不等关系是通过不等式表现．
【考点针对训练】
1. 【福建省2017届高三毕业班总复习过关测试】若，则的大小关系为(　　)
A. . B. C. D. 由的取值确定
【答案】C
【解析】假设P<Q，∵要证P<Q，只要证P2<Q2，只要证：2a＋7＋2<2a＋7＋2，
只要证：a2＋7a<a2＋7a＋12，只要证：0<12，∵0<12成立，∴P<Q成立．
2. 【河南省郑州市第一中学2017届高三期中】设，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
,故选C.
【考点3】一元二次不等式解法
【备考知识梳理】
对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集.

二次函数
（）的图象

有两相异实根

有两相等实根

无实根

【规律方法技巧】
1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a是否为正；若为负，则将其变为正数；
2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；
3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；
4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；
5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数.
【考点针对训练】
1. 【安徽师范大学附属中学2017届高三期中】已知不等式的解集为,则不等式的解集为 .
【答案】
【解析】根据题意可得，所以可化为，所以不等式的解集为．
2. 【江苏省苏北三市2017届三模】已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是____．
【答案】 (或)
【解析】利用一元二次方程根的分布去解决，设 ，当时，即 时， 对 恒成立；当时， ，不合题意；当时， 符合题意；当 时， ，即 ，即： ，综上所述：实数的取值范围是.
【考点4】基本不等式及应用
【备考知识梳理】
1、 如果，那么（当且仅当时取等号“=”）
推论：（）
2、 如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）.
推论：（，）；
3、
【规律方法技巧】
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等．
2. 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.
① 一正：函数的解析式中，各项均为正数；
② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；
③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值.
若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用单调性求最值.
【考点针对训练】
1. 【山东省滨州市2016-2017学年高三期中】设正实数，满足，则的最小值是 ．　
【答案】9
【解析】，所以，当且仅当时，取最小值9.
2. 【天津市耀华中学2017届高三一模】已知，二次三项式对于一切实数恒成立，又，使，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】不等式恒成立，则且，即，又存在，使成立，可得，所以， ．可得，所以．令，则． 的最小值为．故本题应填．
【应试技巧点拨】
1．使用均值不等式求最值时，注意在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.
2．基本不等式及其变式中的条件要准确把握．
如()，()等．
3.利用基本不等式求函数或代数式的最大值、最小值时，注意观察其是否具有“和为定值”“积为定值”的结构特点．在具体题目中，一般很少直接考查基本不等式的应用，而是需要将式子进行变形，寻求其中的内在关系，然后利用基本不等式得出最值．即应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可.灵活的通过“拆、凑、代（换）”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧;忽视等号成立的条件，是常见错误之一.
3.求解含参不等式恒成立问题的关键是过好双关：第一关是转化关，即通过分离参数，先转化为f(a)≥g(x)(或f(a)≤g(x))对∀x∈D恒成立，再转化为f(a)≥g(x)max(或f(a)≤g(x)min)；第二关是求最值关，即求函数g(x)在区间D上的最大值(或最小值)问题．
4.应用导数证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广.解题过程中，注意处处应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法.
5．对于判断不等式恒成立问题，一般采用举反例排除法．解答本题时能够对四个选项逐个利用赋值的方式进行排除，确认成立的不等式．

1. 【重庆市第八中学2017届高三第二次适应性考试】已知，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】两边除以得，所以.
2. 【河南省豫北名校联盟2017届高三精英对抗赛】已知在正项等比数列中，存在两项，满足，且，则的最小值是（ ）
A． B．2 C. D．
【答案】A
【解析】由得解得，再由得，所以，所以.
3. 【贵州省遵义市2017届高三第一次联考】已知，给出下列四个结论：①②③④其中正确结论的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】C
【解析】，因此选C.
4. 【河北省武邑2017届高三三调】已知,则（ ）
A． B． C. D．
【答案】B
【解析】
，故选B.
5. 【贵州省遵义市第四中学2016届高三第四次月考】已知直线在两坐标轴上的截距之和为4，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 （ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】直线在两坐标轴上的截距之和为4，所以，即 ，则该直线与两坐标轴围成的三角形的面积的最大值是 .
6. 【福建省莆田2017届高三二模】若实数、、，且，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
7. 【湖南省岳阳2018届高三第一次月考】如右图所示，已知点是的重心，过点作直线与两边分别交于两点，且，则的最小值为（ ）

A. 2 B. C. D.
【答案】C
【解析】因为三点共线，所以，因为是重心，所以，，所以，化简得，解得题目所给图像可知.由基本不等式得
，即.当且仅当，即时，等号成立，故最小值为.
8. 【天津市耀华中学2017届高三二模】已知为正实数，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9. 【陕西省黄陵中学2017届考前模拟】两圆和恰有三条公切线，若， ，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为两圆的圆心和半径分别为，所以由题设可知两圆相外切，则，故，即，所以，应选答案C。
10. 【湖南省长沙市2017届高三5月模拟】设正实数满足，则当取得最大值时， 的最大值为（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 3
【答案】B
【解析】据已知不等式得，故，据均值不等式得，当且仅当，即时取得最大值，此时且，当时取得最大值1.
11. 【2016届河南省新乡卫辉一中高考押题一】若一组数据2，4，6，8的中位数、方差分别为，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．20
【答案】D
【解析】由题意得，所以，当且仅当时取等号，选D.
12. 【2016年福建厦门一中高三质量检测】函数，若对恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令则设，则函数在上单调递增，在上单调递减，在的值域，即故选C．
13. 【2016届湖南省郴州市高三第四次教学质量检测】已知函数的定义域为，对任意，有,且，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由对任意，有，得．令，则为上的增函数．因为，所以，所以等价于，所以，解得且，故选D．
14. 【2016届江西省上高二中高三全真模拟】已知函数，若，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】由题意得，作出函数的图象，如图所示，此时当时，，要使得成立，当时，直线与相切，联立方程组，得，由，解得，所以要使得成立，则实数的取值范围是．

15. 【2016年江西南昌高三模拟】已知抛物线C:x2 =4y的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点．设直线l是抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，则的最小值为 .
【答案】
【解析】过焦点且斜率为1的直线与抛物线相交于，联立，得，则；设直线与抛物线相切于点,因为,所以，则，直线的方程为，即，设点，则
．

【一年原创真预测】
1. 若，，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． 　 B． C． 　 D．
【答案】C
【解析】因为，，所以.易知幂函数在上单调递增，又，所以，所以，选C.
【入选理由】本题考查指数函数、对数函数的图象与性质，意在考查学生分析问题、解决问题的能力.本题是不等式的一个应用，难度不大，故选此题.
2. 设，若不等式对所有满足题设的均成立，则实数的最大值为____________．
【答案】
【解析】，因为所以设，则，因此的最小值，而，当且仅当时取等号，从而，即实数的最大值为.
【入选理由】本题考查对数运算、基本不等式求最值等基础知识，意在考查运用等价转化思想分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是基本不等式问题，难度不大，故选此题.
3. 对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是____________.
【答案】
【解析】因为当且仅当即时取等号，所以
【入选理由】本题考查不等式恒成立，含绝对值不等式解法等基础知识，意在考查分析能力及基本运算能力．本题是基本不等式的一个灵活应用，难度不大，故选此题.
4. 已知，则的最大值为_____________．
【答案】
【入选理由】本题考查基本不等式，一元二次不等式解集等基础知识，意在考查运用等价转化思想分析问题、解决问题的能力、基本运算能力及推理能力．本题是基本不等式，一元二次不等式解集有机结合在一起，难度不大，故选此题.
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