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2021高考数学二轮复习专题练 一、核心素养引领 类型三 用数学的语言表达世界—数学建模、数据分析

2021高考数学二轮复习专题练 一、核心素养引领 类型三 用数学的语言表达世界—数学建模、数据分析

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类型三　用数学的语言表达世界——数学建模、数据分析
素养5　数学建模
数学建模是指对现实问题进行数学抽象，构造数学模型用数学语言表达问题，用数学知识与方法解决问题的思维过程.具体表现为：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型.
【例5】 (2020·全国Ⅱ卷)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块.向外每环依次也增加9块.已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)

A.3 699块 B.3 474块
C.3 402块 D.3 339块
解析　设每一层有n环，由题可知从内到外每环之间构成公差d＝9，a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，得n＝9，则三层共有扇面形石板S3n＝S27＝27×9＋×9＝3 402(块).
答案　C
【训练5】 (2019·北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.
①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；
②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.
解析　①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元).②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大.而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，所以x≤15.即x的最大值为15.
答案　①130　②15
素养6　数据分析
数据分析是对概率与统计问题中大量数据的分析和加工，看我们能否获得数据提供的信息及其所呈现的规律，进而分析随机现象的本质特征，发现随机现象的统计规律，主要包括收集数据提取信息，利用图表展示数据，构建模型分析数据，解释数据获取知识.
【例6】 (1)(2020·全国Ⅱ卷)在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1 200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1 600份的概率为0.05.志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者(　　)
A.10名 B.18名
C.24名 D.32名
(2)(多选题)(2020·济南一预)下图为某省高考数学理科试卷近三年试题的难易程度的对比图(图中数据为相应难易程度的题目所占的分值).根据对比图，下列结论正确的有(　　)

A.近三年容易题分值逐年增加
B.近三年难题分值逐年减少
C.近三年中档题分值所占比例最高的年份是2017年
D.2018年的容易题与中档题的分值之和占总分的90%以上
解析　(1)由题意知超市第二天能完成1 200份订单的配货，如果没有志愿者帮忙，则超市第二天共会积压超过500＋(1 600－1 200)＝900份订单的概率为0.05，因此要使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，至少需要志愿者＝18(名)，故选B.
(2)根据对比图可得这三年容易题分值分别为40，55，96，逐年增加，A正确；这三年难题分值分别为34，46，12，并不是逐年减少，B不正确；2016年中档题分值为76，占比最高，C不正确；2018年容易题与中档题的分值之和占总分的×100%＝92%>90%，D正确.故选AD.
答案　(1)B　(2)AD
【训练6】 (2020·潍坊模拟)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法

新养殖法

(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
P(K2≥k0)
0.050
0.010
0.001
k0
3.841
6.635
10.828
K2＝.
解　(1)由频率分布直方图知，旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，则事件A的概率估计值为0.62.
(2)列联表如下：

箱产量<50 kg
箱产量≥50 kg
旧养殖法
62
38
新养殖法
34
66
K2＝≈15.705>6.635，
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)由箱产量的频率分布直方图可知，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在45～50 kg之间，新养殖法的箱产量平均值(或中位数)约在50～55 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法分布集中程度高，可知新养殖法的箱产量高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.