2022高考数学一轮复习-第八章-立体几何-8.2-空间几何体的表面积与体积学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积学案北师大版

2022高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.2 空间几何体的表面积与体积学案北师大版

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8.2　空间几何体的表面积与体积
必备知识预案自诊　
知识梳理
1.多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是　　　　　　　　　　　　　　,表面积是侧面积与底面面积之和. 
2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱
圆锥
圆台
侧面
展开图

侧面积
公式
S圆柱侧=

S圆锥侧=

S圆台侧=

3.柱、锥、台和球的表面积和体积

表面积
体积
柱体(棱柱和
圆柱)
S表面积=S侧+2S底
V=　　　　　 
锥体(棱锥和
圆锥)
S表面积=S侧+S底
V=　　　　　 
台体(棱台和
圆台)
S表面积=S侧+S上+S下
V=13(S上+S下+S上S下)h
球
S=　　　　　 
V=　　　　　 

1.与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差.
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等.
2.长方体的外接球
(1)球心:体对角线的交点.
(2)半径:r=a2+b2+c22(a,b,c分别为长方体的长、宽、高).
3.正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)

　　(1)外接球:球心是正四面体的中心;半径r=64a(a为正四面体的棱长).
(2)内切球:球心是正四面体的中心;半径r=612a(a为正四面体的棱长).

考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)如果圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　　)
(2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3πa2.(　　)
(3)若一个球的体积为43π,则它的表面积为12π.(　　)
(4)在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=120°,使△ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9π.(　　)
(5)将圆心角为2π3,面积为3π的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于4π.(　　)
2.(2020北京,4)某三棱柱的底面为正三角形,其三视图如图所示,该三棱柱的表面积为(　　)

A.6+3 B.6+23
C.12+3 D.12+23
3.(2020全国3,理8)如图为某几何体的三视图,则该几何体的表面积是(　　)
A.6+42 B.4+42
C.6+23 D.4+23
4.(2020全国1,理3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为(　　)
A.5-14 B.5-12
C.5+14 D.5+12

(第3题图)

(第4题图)

5.(2020天津,5)若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为(　　)
A.12π B.24π C.36π D.144π
关键能力学案突破　

考点
空间几何体的表面积

【例1】(1)(2020全国1,理10)已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆.若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为(　　)

A.64π B.48π C.36π D.32π
(2)(2020浙江,14)已知圆锥的侧面积(单位:cm2)为2π,且它的侧面展开图是一个半圆,则这个圆锥的底面半径(单位:cm)是　　　　. 
思考求几何体的表面积的关键是什么?
解题心得求空间几何体表面积的常见类型及思路

求多面体的表面积
只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积
求旋转体的表面积
可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系
求不规则几何体的表面积
通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积

对点训练1(1)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是(　　)

A.22+3+5 B.22+25
C.2+2+3+5 D.8+42+43+45
(2)(2020全国2,理10)已知△ABC是面积为934的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为(　　)
A.3 B.32 C.1 D.32

考点
空间几何体的体积

【例2】(1)(2020浙江,5)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积(单位:cm3)是(　　)

A.73 B.143 C.3 D.6

(2)(2020山东潍坊模拟)如图所示,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为(　　)
A.23 B.33 C.43 D.32
解题心得1.求由三视图给出的几何体的体积,一般思路是根据三视图画出几何体的直观图,从三视图中找到构成几何体的元素间的位置关系及数量关系,然后求其体积.
2.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法.
3.一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.

对点训练2(1)(2020四川绵阳中学质检)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AA1=3,点P在棱CC1上,则三棱锥P-ABA1的体积为　　　　　. 
(2)(2020陕西二模,文16)如图,圆锥形容器内盛有水,水深3 dm,水面直径23 dm放入一个铁球后,水恰好把铁球淹没,则该铁球的体积为　　　　　dm3. 

考点
与球有关的切、接问题(多考向探究)

考向1　棱柱的外接球问题
【例3】(2020陕西榆林一模,理14)已知直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上,若AB=AC=1,AA1=2,∠BAC=120°,则此球的表面积等于　　　　　. 
思考如何确定三棱柱外接球的半径?
解题心得求棱柱外接球的半径,常利用球心到截面的距离d与球半径R及截面的半径r的关系式R2=r2+d2,这里棱柱的底面看作球的截面.
对点训练3已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱垂直于底面,各顶点都在同一球面上,若该棱柱的体积为3,AB=2,AC=1,∠BAC=60°,则此球的表面积等于　　　　　. 
考向2　棱锥的外接球问题(多方法)
1.补形法求球的半径
【例4】(1)(2019全国1,理12)已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,PA=PB=PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是PA,AB的中点,∠CEF=90°,则球O的体积为(　　)
A.86π B.46π C.26π D.6π
(2)(2020湖南湘潭三模,文16)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA=BC=5,PB=AC=15,PC=AB=25,则球O的表面积为　　　　　. 
思考若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,怎样求其外接球的半径?
解题心得一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a,b,c,则就可以将这个三棱锥补成一个长方体,于是长方体的体对角线的长就是该三棱锥的外接球的直径.设其外接球的半径为R,则有2R=a2+b2+c2.
对点训练4(1)已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为(　　)

A.143π B.7π C.11π D.14π
(2)某三棱锥的三视图如图所示,则此三棱锥的外接球表面积是(　　)

A.16π3 B.28π3 C.11π D.32π3
2.体积法求球的半径
【例5】正四面体的棱长为a,则其内切球和外接球的半径是多少?
思考几何体的内切球和外接球的球心与几何体有怎样的关系?

解题心得正四面体的内切球及外接球的半径及其求法
(1)内切球的半径是根据球心到各个面的距离相等把正四面体分解成四个正三棱锥,且正四面体的体积等于四个正三棱锥体积之和,从而求出球心到正四面体面的距离,即内切球半径.
(2)外接球的半径是根据外接球的球心到正四面体的每一个顶点的距离是相等的,所以继计算出内切球半径后,再将分解出来的小的四面体的棱长计算出来即可.
(3)内切球与外接球半径的联系:内切球半径+外接球半径=正四面体的高.
对点训练5(2020福建福州三模,理12)三棱锥P-ABC中,顶点P在底面ABC的投影为△ABC的内心,三个侧面的面积分别为12,16,20,且底面面积为24,则三棱锥P-ABC的内切球的表面积为(　　)
A.4π3 B.12π C.16π3 D.16π
3.确定球心位置

【例6】(1)(2020河北石家庄二模,文15)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,AB=AP=2,∠PAB=∠PAD=60°,则该四棱锥的外接球的表面积为　　　　　. 
(2)已知四棱锥S-ABCD的三视图如图所示,若该四棱锥的各个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积等于　　　　　. 

思考如何确定棱锥外接球的球心?
解题心得球是中心对称图形和轴对称图形,球心与任意一个截面圆的圆心的连线垂直截面圆,经常由此性质来确定球的球心位置.
对点训练6(1)在四面体ABCD中,AB=BC=1,AC=2,且AD⊥CD,该四面体外接球的表面积为　. 
(2)已知四棱锥S-ABCD的所有顶点都在球O的球面上,SD⊥平面ABCD,底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD且满足AB=2AD=2DC=2,SC=2,则球O的表面积是　　　　. 

1.求柱体、锥体、台体与球的表面积、体积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决.
2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面.
3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图.

1.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错.
2.由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致错误.
3.易混侧面积与表面积的概念.

数学建模——用导数求体积的最大值

【例1】如图所示,某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成,该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为(　　)

A.2000π9 B.4000π27 C.81π D.128π
答案B

解析如图,设小圆柱体底面半径为5cosθ,
所以高为5+5sinθ,θ∈0,π2,
小圆柱体积V=π·(5cosθ)2(5+5sinθ),
设sinθ=t,t∈(0,1),则V=125π(-t3-t2+t+1),
V'=125π(-3t+1)(t+1),易知当t∈0,13时,函数V=125π(-t3-t2+t+1)递增,当t∈13,1时,函数V=125π(-t3-t2+t+1)递减,所以当t=13时,Vmax=4000π27.
【例2】在四面体ABCD中,若AD=DB=AC=CB=1,则四面体ABCD体积的最大值是(　　)
A.2327 B.13 C.239 D.33
答案A

解析如图,取AB中点E,连接CE,DE,
设AB=2x(0<x<1),
则CE=DE=1-x2,
当平面ABC⊥平面ABD时,四面体体积最大,
四面体的体积V=13×12×2x×1-x2×1-x2=13x-13x3,V'=13-x2,
当x∈0,33时,函数V=13x-13x3单调递增,当x∈33,1时,函数V=13x-13x3单调递减,则当x=33时,函数V=13x-13x3有最大值Vmax=13×33-13×333=2327.故选A.
【例3】如图,圆形纸片的圆心为O,半径为5 cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D,E,F为圆O上的点,△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形,沿虚线剪开后,分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合,得到三棱锥.当△ABC的边长变化时,所得三棱锥体积(单位:cm3)的最大值为　　　　　　. 

答案415 cm3

解析如图所示,连接OD,交BC于点G.由题意知OD⊥BC,OG=36BC.
设OG=x,则BC=23x,DG=5-x,
三棱锥的高h=DG2-OG2=
25-10x+x2-x2=25-10x,x∈0,52.因为S△ABC=12×23x×3x=33x2,所以三棱锥的体积V=13S△ABC·h=3x2·25-10x=3·25x4-10x5,x∈0,52.
令f(x)=25x4-10x5,x∈0,52,则f'(x)=100x3-50x4.令f'(x)=0,可得x=2,则f(x)在(0,2)内单调递增,在2,52内单调递减,
所以f(x)max=f(2)=80.所以V≤3×80=415,所以三棱锥体积的最大值为415.
点评求几何体体积最大值的基本思路是根据题意设出一个几何量,用该量表示出几何体的体积,然后根据体积表达式求其最大值,若表达式是一个三次以上的函数,一般通过求导的方法求最大值.

8.2　空间几何体的表面积与体积
必备知识·预案自诊
知识梳理
1.所有侧面的面积之和
2.2πrl　πrl　π(r1+r2)l
3.S底h　13S底h　4πR2　43πR3
考点自诊
1.(1)×　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
2.D　由题意可得,三棱柱的上下底面为边长为2的等边三角形,侧面是三个边长为2的正方形,则其表面积为S=3×(2×2)+2×12×2×2×sin60°=12+23.故选D.
3.

C　由三视图可知,该几何体为三棱锥,是棱长为2的正方体一角,其表面积为3×12×2×2+12×22×22×sin60°=6+23.

4.

C　如图,设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h',
则有h2=12ah',h2=h'2-a22,
因此有h'2-a22=12ah',
化简得4h'a2-2h'a-1=0,
解得h'a=5+14.(负值舍去)
5.C　∵2R=(23×2)2+(23)2=6,
∴球的表面积为4πR2=36π.故选C.
关键能力·学案突破
例1(1)A　(2)1　(1)由题意知☉O1的半径r=2.由正弦定理知ABsinC=2r,
∴OO1=AB=2rsin60°=23,
∴球O的半径R=r2+|OO1|2=4.
∴球O的表面积为4πR2=64π.
(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为l,由题意可知πrl=12πl2=2π,解得r=1,l=2.

对点训练1(1)D　(2)C　(1)由几何体的三视图可知该几何体是如图所示的三棱锥A-BCD,∵△BCD是等腰直角三角形且CB=CD=4,∴S△BCD=8,∵△ABC是直角三角形,AB=22,∴S△ABC=42;
∵△ACD是等腰三角形,且AC=AD=26,∴S△ACD=45.∵BD=42,
∴AB2+AD2=BD2,∴∠BAD=90°,
∴S△ABD=43,∴该几何体的表面积是8+42+43+45,故选D.
(2)设等边三角形ABC的边长为a,球O的半径为R,△ABC的外接圆的半径为r,则S△ABC=34a2=934,S球O=4πR2=16π,解得a=3,R=2.故r=23×32a=3.
设O到平面ABC的距离为d,则d2+r2=R2,故d=R2-r2=4-3=1.
故选C.

例2(1)A　(2)A　(1)如图,几何体是上下结构,下面是三棱柱,底面是等腰直角三角形,斜边为2,高为1,三棱柱的高是2,上面是三棱锥,平面DA1C1⊥平面A1B1C1,且DA1=DC1,三棱锥的高是1,故几何体的体积V=12×2×1×2+13×12×2×1×1=73.
(2)如图所示,分别过点A,B作EF的垂线,垂足分别为G,H,连接DG,CH,则原几何体分割为两个三棱锥和一个直三棱柱,

因为三棱锥高为12,直三棱柱高为1,AG=1-122=32,取AD的中点M,则MG=22,
所以S△AGD=12×1×22=24,所以V=24×1+2×13×24×12=23.
对点训练2(1)934　(2)125π　(1)由图可知,因为三棱锥P-ABA1的体积等于三棱锥C-ABA1的体积也等于三棱锥A1-ABC的体积,所以三棱锥P-ABA1的体积为13S△ABC·AA1=13×34×32×3=934.
(2)作出相关图形,可得AH=3,因此∠ACH=30°,因此放球前V1=13π×(3)2×3=3π,球O与边A1C相切于点M,故OM=r,则OC=2r,所以CH1=3r,A1H1=3r,所以放球后V2=13π×(3r)2×3r=3πr3,而V1+V球=V2,而V球=43πr3,解得V球=125π.

例38π　由题意可知,直三棱柱ABC-A1B1C1的高为h=AA1=2,在△ABC中,AB=AC=1,则该三角形为等腰三角形,又∠BAC=120°,∴∠ABC=30°,
设△ABC的外接圆半径为r,由正弦定理得2r=ACsin∠ABC=2,∴r=1.
设直三棱柱ABC-A1B1C1的外接球半径为R,则R=r2+h22=2,
因此,该球的表面积为4πR2=8π.
对点训练38π　由题意得12×2×1×sin60°×AA1=3,∴AA1=2,球心到底面的距离d=1.∵BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos60°,∴BC=3,设△ABC的外接圆的半径为r,则BCsin60°=2r,∴r=1,
设外接球的半径为R,
则R=d2+r2=1+1=2,
∴球的表面积等于4π(2)2=8π.
例4

(1)D　(2)30π　(1)设PA=PB=PC=2x.
∵E,F分别为PA,AB的中点,
∴EF∥PB,且EF=12PB=x.
∵△ABC为边长为2的等边三角形,
∴CF=3.又∠CEF=90°,∴CE=3-x2,AE=12PA=x.
在△AEC中,由余弦定理可知
cos∠EAC=x2+4-(3-x2)2×2·x.
作PD⊥AC于点D,∵PA=PC,
∴D为AC的中点,cos∠EAC=ADPA=12x.∴x2+4-3+x24x=12x.
∴2x2+1=2.∴x2=12,即x=22.
∴PA=PB=PC=2.
又AB=BC=AC=2,
∴PA⊥PB⊥PC.
∴2R=2+2+2=6.∴R=62.
∴V=43πR3=43π×668=6π.
故选D.
(2)如图,将三棱锥P-ABC补成长方体.

球O为长方体的外接球,长、宽、高分别为a,b,c,则a2+b2=25,a2+c2=15,b2+c2=20,所以a2+b2+c2=30,所以球O的半径R=302,则球O的表面积为S=4πR2=4π3022=30π.
对点训练4(1)C　(2)B　(1)该几何体为三棱锥,补形为长方体,其外接球的直径为2R=(3)2+22+22=11,该几何体外接球的表面积为4πR2=11π.
(2)三棱锥的直观图如下图所示,

由三视图可知直观图中PC⊥平面ABC,AC=BC=3+1=2=AB,所以△ABC是正三角形,
将三棱锥补形为三棱柱,则三棱锥与三棱柱有相同的外接球,由于正三棱柱与球都是中心和轴对称图形,所以球心为三棱柱两底面中心连线的中点,设△ABC的外心为O1,设球心为O,连接OC,O1C,则O1C=23×3=233,所以R2=2332+12=12+99=219=73,S球=4π×73=28π3.
例5解如图所示,设点O是内切球的球心,正四面体棱长为a.由图形的对称性知,点O也是外接球的球心.设内切球半径为r,外接球半径为R.

正四面体的表面积S表=4×34a2=3a2,
正四面体的体积VA-BCD=13×34a2×AE=312a2×AB2-BE2=312a2×a2-(33a)2=212a3.∵13S表×r=VA-BCD,∴r=3VA-BCDS表=612a.
在Rt△BEO中,BO2=BE2+EO2,即R2=(33a)2+r2,得R=64a.
对点训练5C　不妨设S△PBC=12,S△PAC=16,S△PAB=20,设P在底面ABC的投影为H,分别作HD⊥BC于点D,HE⊥AB于点E,HF⊥AC于点F,则PD⊥BC,PE⊥AB,PF⊥AC.依题意,H为△ABC的内心,则Rt△PDH≌Rt△PFH≌Rt△PEH,故PD=PF=PE,

所以S△PBC∶S△PAC∶S△PAB=BC∶AC∶AB=12∶16∶20=3∶4∶5,所以∠ACB=90°.
令BC=3x,AC=4x,AB=5x.则S△ABC=12BC·AC=12·3x·4x=24,解得x=2,
所以BC=6,AC=8,AB=10.
设△ABC内切圆半径为r,
则12(BC+AC+AB)r=S△ABC,解得r=2,故HD=2.由S△PBC=12BC·PD=12,BC=6,得PD=4,
所以PH=PD2-HD2=23,
所以VP-ABC=13S△ABC·PH=13×24×23=163,设三棱锥P-ABC的内切球的半径为R,则VP-ABC=13(S△PBC+S△PAC+S△PAB+S△ABC)R,即163=13×(12+16+20+24)R,解得R=233,
则所求内切球的表面积为4πR2=16π3,故选C.
例6(1)8π　(2)1015π　(1)因为∠PAB=∠PAD=60°,AB=AP=2,四边形ABCD为正方形,
所以△PAB,△PAD为全等的等边三角形,且边长为2,过点P作PT垂直于底面ABCD于点T,连接TD,TA,TB,如图,易知TD=TA=TB,

所以T为△ABD的外心,又四边形ABCD为正方形,即T为正方形ABCD的中心,
设四棱锥的外接球的球心为O,半径为R,连接OA,由已知,BD=22,PT=PA2-AT2=22-(2)2=2,
所以OT2+TA2=R2=(PT-OT)2,
即OT2+2=(2-OT)2,
解得OT=0,即球心与T重合,所以外接球半径R=2,其表面积为4πR2=8π.
(2)由该四棱锥的三视图知,该四棱锥直观图如图,

由△SAB是一个锐角三角形,可知其外接圆的圆心在三角形内,设为O1,长方形ABCD的外接圆的圆心为其对角线的中点O2,设四棱锥外接球的球心为O,则OO1⊥平面SAB,OO2⊥平面ABCD,则OB为球的半径R.设r1为△SAB外接圆半径,r2为矩形ABCD外接圆半径,L=AB,则r1=O1B,r2=O2B,由平面SAB⊥平面ABCD,可得O1E2=r12-L24,又因为O1E=OO2,且R2=OO22+O2B2,所以R2=r12+r22-L24,
SE=9-4=5,
由相交弦定理得易求△SAB外接圆的半径,即SE×(2r1-SE)=BE2,所以r1=925,2r2=42+22=25.所以R2=8120-4+5=10120,所以S=4πR2=1015π.

对点训练6(1)2π　(2)5π　(1)如图所示,由AB=BC=1,AC=2,得AB⊥BC,所以△ABC为直角三角形.AC的中点到点A,B,C的距离相等且为AC长的一半,又AD⊥CD,△DAC也是直角三角形,AC的中点到点D的距离也是AC长的一半,所以AC的中点到四面体各顶点的距离都相等,所以其外接球的球心即为AC的中点.
所以外接球半径R=12AC=22,所以S球=4πR2=2π.
(2)因为底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD且满足AB=2AD=2DC=2,

所以cos∠BCD+cos∠BAD=0=CB2+CD2-BD22CB·CD+AB2+AD2-BD22AB·AD=2-BD22+5-BD24,解得BD=3,故AB2=AD2+BD2,即∠BDA=π2,
又因为底面ABCD是等腰梯形,故四边形ABCD的外接圆直径为AB,设AB的中点为O1,球的半径为R,在Rt△SCD中,因SC=2,CD=1,所以SD=1,
因为SD⊥平面ABCD,所以面SCD⊥面ABCD,过四边形ABCD外接圆的圆心O1作圆面的垂线,过Rt△SCD斜边的中点E作△SCD所在平面的垂线,两条垂线的交点即为球心O,连接OA,且OO1=EF=12SD,所以R2=12+SD22=54,因此球O的表面积是S=4πR2=5π.