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用导数—极限法解一类求参数取值范围的高考题

虽说在现行高中数学教材中没有给出极限的定义(只是在导数的定义中使用了极限符号)，但在教材中从多方位多角度的渗透了极限思想：在研究双曲线的渐近线、求的近似值、二分法求方程近似解、幂指对函数增长速度的快慢、介绍无理数指数幂的意义以及在统计中研究密度曲线等等都渗透了极限思想.
在即将出台的高中数学课标及教材中均会给出极限的定义，所以这里先由函数极限的定义给出函数极限的保号性的相关结论，再给出该结论在求解函数问题中的应用.
函数极限的定义 若存在实数b，，当时，，则当时，函数存在极限，且极限是b，记作.
由该定义，还可得
函数极限的保号性 (1)①若，则；
②若，则；
③若，则.
(2)①若，则；
②若，则；
③若，则.
题1 (2006年高考全国卷II理科第20题)设函数.若对所有的，都有成立，求实数的取值范围. (答案：.)
题2 (2007年高考全国卷I理科第20题)设函数，若对所有的，都有，求实数的取值范围. (答案：.)
题3 (2008年高考全国卷II理科第22(2)题)设函数，若对所有的，都有，求实数的取值范围.(答案：.)
题4 (2010年高考新课标全国卷文科第21(2)题)设函数，若当时，都有，求的取值范围.(答案：.)
题5 (2010年高考新课标全国卷理科第21(2)题)设函数，若当时，，求的取值范围.(答案：.)
题1的解 令，得在上恒成立.考虑到，只需在上单调递增.
问题转化为：在上恒成立.
所以.
可见满足题设.
若，则.
由函数极限的定义得：存在，当时，，所以在上单调递减.
所以当时，，这与题设矛盾！
因此，所求的取值范围是.
对于题2、3，也可这样简洁求解.这就是文献[1]给出的解法(实际上，由下文的定理3知，题4、5也可这样求解)，本文就把这种解法叫做导数—极限法，下面给出这种解法的一般结论.
定理1 设函数满足“当时，函数可导，的最小值是，且”.若时都有，则的取值范围是.
证明 设，得.
当时，可得“时都有”，所以“时都有”，所以时都有，即.
当时，得，所以存在，当时，，是减函数，得，这与题设矛盾！所以的取值范围是.
推论 设函数满足“当时，函数可导，的最小值是，且”.若时都有，则的取值范围是.
定理2 设函数满足“当时，函数可导，的最小值是，且”.若时都有，则的取值范围是.
证明 设，得.
当时，可得“时都有”，所以“时都有”，所以时都有，即.
当时，得，所以存在，当时，，是减函数，得，这与题设矛盾！所以的取值范围是.
定理3 设函数满足“当时，函数可导，的最大值是，且”.若时都有，则的取值范围是.
证明 在定理1中令可证.
定理4 设函数满足“当时，函数可导，的最大值是，且”.若时都有，则的取值范围是.
证明 类似于定理2的证明可证.(以下定理6,8的证明均同此.)
定理5 设函数满足“当时，函数均可导，的最小值是，且”.若时都有，则的取值范围是.
证明 设，得.
当时，可得“时都有”，所以时都有，所以时都有，即.
当时，得，所以存在，当时，，是减函数，得，是减函数，所以，这与题设矛盾！所以的取值范围是.
定理6 设函数满足“当时，函数均可导，的最小值是，且”.若时都有，则的取值范围是.
定理7 设函数满足“当时，函数均可导，的最大值是，且”.若时都有，则的取值范围是.
证明 在定理5中令可证.
定理8 设函数满足“当时，函数均可导，的最大值是，且”.若时都有，则的取值范围是.
由推论可立得题1,2,4的答案；由定理3可立得题3的答案；由定理5可立得题5的答案.读者还可给出定理5~8的推广.
下面由推论给出题4的解答：
可得题设即“当时，都有”，也即“当时，都有”，还“当时，都有”.
再由推论可立得答案为.