2022高考数学一轮复习-第八章-立体几何-8.7-空间几何中的向量方法学案北师大版.docx

2022高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.7 空间几何中的向量方法学案北师大版2022高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.7 空间几何中的向量方法学案北师大版年级：姓名：8.7空间几何中的向量方法必备知识预案自诊知识梳理1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线l上的非零向量e以及与的非零向量叫作直线l的方向向量.(2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线平面,那么称向量n垂直于平面,记作.此时把叫作平面的法向量.(3)确定平面的法向量的方法直接法:观察是否有垂直于平面的向量,若有,则此向量就是法向量.待定系数法:取平面内的两条相交向量a,b,设平面的法向量为n=(x,y,z),由na=0,nb=0,解方程组求得.2.线面关系的判定设直线l1的方向向量为e1=(a1,b1,c1),直线l2的方向向量为e2=(a2,b2,c2),平面的法向量为n1=(x1,y1,z1),平面的法向量为n2=(x2,y2,z2).(1)若l1l2,则e1e2.(2)若l1l2,则e1e2.(3)若l1,则e1n1e1n1=0.(4)若l1,则e1n1e1=kn1.(5)若,则n1n2n1=kn2.(6)若,则n1n2n1n2=0.3.利用空间向量求空间角(1)两条异面直线所成的角设异面直线a,b所成的角为,则cos =|ab|a|b|,其中a,b分别是直线a,b的方向向量.(2)直线与平面所成的角如图所示,设l为平面的斜线,l=A,a为l的方向向量,n为平面的法向量,为l与所成的角,则sin =.(3)二面角若AB,CD分别是二面角-l-的两个平面内与棱l垂直的异面直线,则二面角(或其补角)的大小就是向量AB与CD的夹角,如图1.平面与相交于直线l,平面的法向量为n1,平面的法向量为n2,=,则二面角-l-为或-.设二面角大小为,则=|n1n2|n1|n2|,如图2,3.4.利用空间向量求距离(1)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离为d=|ABn|n|.(2)线面距、面面距均可转化为点面距进行求解.1.直线的方向向量的确定:l是空间一直线,A,B是l上任意两点,则AB及与AB平行的非零向量均为直线l的方向向量.2.平面的法向量的确定:设a,b是平面内两不共线向量,n为平面的法向量,则求法向量的方程组为na=0,nb=0.3.解空间角最值问题时往往会用到最小角定理如图,若OA为平面的一条斜线,O为斜足,OB为OA在平面内的射影,OC为平面内的一条直线,其中为OA与OC所成的角,1为OA与OB所成的角,即线面角,2为OB与OC所成的角,那么cos =cos 1cos 2.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”.(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两条直线的方向向量不平行,则这两条直线不平行.()(4)若空间向量a垂直于平面,则a所在直线与平面垂直.()(5)两条直线的方向向量的夹角就是这两条直线所成的角.()2.已知向量m,n分别是直线l和平面的方向向量和法向量,若cos=-12,则l与所成的角为()A.30B.60C.120D.1503.正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则平面AB1D1与平面BDC1的距离为()A.2aB.3aC.23aD.33a4.(2020湖北襄阳五中模考)将边长为1的正方形AA1O1O(及其内部)绕OO1所在直线旋转一周形成圆柱,如图,AC长为23,A1B1长为3,其中B1与C在平面AA1O1O的同侧.则异面直线B1C与AA1所成的角的大小为()A.6B.4C.3D.25.(2020山东威海校际联考)正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC-A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为22,则AC1与侧面ABB1A1所成的角为.(第4题图)(第5题图)关键能力学案突破考点利用空间向量证明平行、垂直【例1】(2020四川攀枝花三中模拟)如图,在多面体ABC-A1B1C1中,四边形A1ABB1是正方形,AB=AC,BC=2AB,B1C1=12BC,二面角A1-AB-C是直二面角.求证:(1)A1B1平面AA1C;(2)AB1平面A1C1C.思考用向量方法证明平行和垂直有哪些基本方法?解题心得1.用向量证明平行的方法(1)线线平行:证明两直线的方向向量共线.(2)线面平行:证明直线的方向向量与平面的某一法向量垂直;证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行.(3)面面平行:证明两平面的法向量为共线向量;转化为线面平行、线线平行问题.2.用向量证明垂直的方法(1)线线垂直:证明两直线的方向向量互相垂直,即证它们的数量积为零.(2)线面垂直:证明直线的方向向量与平面的法向量共线.(3)面面垂直:证明两个平面的法向量垂直.对点训练1如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直,M为AA1的中点,N为BC1的中点.求证:(1)MN平面A1B1C1;(2)平面MBC1平面BB1C1C.考点利用空间向量求空间角(多考向探究)考向1求异面直线所成的角【例2】(1)(2017全国2,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A.32B.155C.105D.33(2)在三棱锥P-ABC中,ABC和PBC均为等边三角形,且二面角P-BC-A的大小为120,则异面直线PB和AC所成角的余弦值为()A.58B.34C.78D.14解题心得利用向量法求异面直线所成的角时,是通过两条直线的方向向量的夹角来求解,而两异面直线所成角的范围是0,2,两向量的夹角的范围是0,所以要注意二者的区别与联系,应有cos=|cos|.对点训练2(2020湖北七校联考)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E,F分别是CC1,AD的中点,那么异面直线OE和FD1所成的角的余弦值等于()A.105B.155C.45D.23考向2求直线与平面所成的角【例3】如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.思考如何利用向量法求直线与平面所成的角?解题心得利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补角);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线和平面所成的角.对点训练3(2020山西榆次一中模拟)如图,已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB=3,E为线段AB上一点,且AE=13AB,则DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为()A.33535B.277C.33D.24考向3求二面角的大小【例4】(2020山东平阴一中月考)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD,若AB=PA,则平面ABP与平面CDP所成的二面角为()A.30B.45C.60D.90思考如何利用向量法求二面角?解题心得利用空间向量求二面角的方法(1)分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;(2)通过平面的法向量来求,即设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2,则二面角的大小等于(或-).应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角.对点训练4(2020辽宁丹东二中模拟)二面角的棱上有A,B两点,直线AC,BD分别在这个二面角的两个半平面内,且都垂直于AB.已知AB=4,AC=6,BD=8,CD=217.则该二面角的大小为()A.150B.45C.60D.120考点求空间距离【例5】已知三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB=2,PC=3,则点P到平面ABC的距离为.解题心得利用空间向量求距离的基本方法:(1)两点间的距离设点A(x1,y1,z1),点B(x2,y2,z2),则|AB|=|AB|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.(2)点到平面的距离如图所示,已知AB为平面的一条斜线段,n为平面的法向量,则B到平面的距离为|BO|=|ABn|n|.对点训练5在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是AA1的中点,则点A1到平面MBD的距离是()A.66aB.306aC.34aD.63a1.用向量知识证明立体几何问题有两种基本思路:一种是用向量表示几何量,利用向量的运算进行判断.另一种是用向量的坐标表示几何量,共分三步:(1)建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量(或坐标)表示问题中所涉及的点、线、面,把立体几何问题转化为向量问题;(2)通过向量运算,研究点、线、面之间的位置关系;(3)根据运算结果的几何意义来解释相关问题.2.向量法通过空间坐标系把空间图形的性质代数化,避免了寻找平面角和垂线段等诸多麻烦,使空间点、线、面的位置关系的判定和计算程序化、简单化.主要是建系、设点、计算向量的坐标、利用数量积的夹角公式计算.3.利用平面的法向量求二面角的大小时,当求出两半平面,的法向量n1,n2时,要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向,从而确定二面角与向量n1,n2的夹角是相等,还是互补.1.不能灵活运用共线向量定理设出与动点M相关的向量的坐标,导致变量较多,运算量过大而致误;2.线面角与直线方向向量和平面法向量的夹角之间的关系要弄清,即sin=|cos|;3.对于点的探究型问题,要善于根据点的位置结合向量的有关定理灵活设出未知量,尽量使未知量个数最少.8.7空间几何中的向量方法必备知识预案自诊知识梳理1.(1)e共线(2)垂直于n向量n2.(1)e2=e1a2=a1,b2=b1,c2=c1(2)e1e2=0a1a2+b1b2+c1c2=0(3)a1x1+b1y1+c1z1=0(4)a1=kx1,b1=ky1,c1=kz1(5)x1=kx2,y1=ky2,z1=kz2(6)x1x2+y1y2+z1z2=03.(2)|cos|an|a|n|(3)|cos |=|cos |考点自诊1.(1)(2)(3)(4)(5)2.A由于cos=-12,所以=120,所以直线l与平面所成的角为30.3.D显然A1C平面AB1D1,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则平面AB1D1的一个法向量为n=(a,-a,a),A(a,0,0),B(a,a,0),BA=(0,-a,0),因为平面AB1D1平面BDC1,所以两平面的距离为点B到平面AB1D1的距离,则两平面间的距离d=|BAn|n|=33a.4.B以O为坐标原点建系,如图,则A(0,1,0),A1(0,1,1),B132,12,1,C32,-12,0.所以AA1=(0,0,1),B1C=(0,-1,-1),所以cos=AA1B1C|AA1|B1C|=00+0(-1)+1(-1)102+(-1)2+(-1)2=-22,所以=34,所以异面直线B1C与AA1所成的角为4.故选B.5.6以C为原点建立空间直角坐标系,如图所示,则A(2,0,0),C1(0,0,22).取AB的中点D,连接CD,则CDAB,又平面ABB1A1平面ABC,且两者相交于直线AB,所以CD平面ABB1A1.所以CD是平面ABB1A1的一个法向量.易知D32,32,0,所以CD=32,32,0.又AC1=(-2,0,22),设直线AC1与平面ABB1A1所成的角为,则sin=|AC1CD|AC1|CD|=3312=12,又0,2,所以=6.关键能力学案突破例1证明(1)因为二面角A1-AB-C是直二面角,四边形A1ABB1为正方形,所以AA1平面BAC.又因为AB=AC,BC=2AB,所以CAB=90,即CAAB,所以AB,AC,AA1两两互相垂直.建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,设AB=2,则A(0,0,0),B1(0,2,2),A1(0,0,2),C(2,0,0),C1(1,1,2).A1B1=(0,2,0),A1A=(0,0,-2),AC=(2,0,0),设平面AA1C的一个法向量n=(x,y,z),则nA1A=0,nAC=0,即-2z=0,2x=0,即x=0,z=0,取y=1,则n=(0,1,0).则A1B1=2n,即A1B1n.所以A1B1平面AA1C.(2)易知AB1=(0,2,2),A1C1=(1,1,0),A1C=(2,0,-2),设平面A1C1C的一个法向量m=(x1,y1,z1),则mA1C1=0,mA1C=0,即x1+y1=0,2x1-2z1=0,令x1=1,则y1=-1,z1=1,即m=(1,-1,1).所以AB1m=01+2(-1)+21=0,所以AB1m,又AB1平面A1C1C,所以AB1平面A1C1C.对点训练1证明由题意知AA1,AB,AC两两垂直,以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.不妨设正方形AA1C1C的边长为2,则A(0,0,0),A1(2,0,0),B(0,2,0),B1(2,2,0),C(0,0,2),C1(2,0,2),M(1,0,0),N(1,1,1).(1)因为几何体是直三棱柱,所以侧棱AA1底面A1B1C1.因为AA1=(2,0,0),MN=(0,1,1),所以MNAA1=0,即MNAA1.故MN平面A1B1C1.(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2).因为MB=(-1,2,0),MC1=(1,0,2),所以n1MB=0,n1MC1=0,即-x1+2y1=0,x1+2z1=0,令x1=2,则平面MBC1的一个法向量为n1=(2,1,-1).同理可得平面BB1C1C的一个法向量为n2=(0,1,1).因为n1n2=20+11+(-1)1=0,所以n1n2,所以平面MBC1平面BB1C1C.例2(1)C(2)A(1)(方法1)如图,取AB,BB1,B1C1的中点M,N,P,连接MN,NP,PM,可知AB1与BC1所成的角等于MN与NP所成的角.由题意可知BC1=2,AB1=5,则MN=12AB1=52,NP=12BC1=22.取BC的中点Q,连接PQ,QM,则可知PQM为直角三角形.在ABC中,AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=4+1-221-12=7,即AC=7.又CC1=1,所以PQ=1,MQ=12AC=72.在MQP中,可知MP=MQ2+PQ2=112.在PMN中,cosPNM=MN2+NP2-PM22MNNP=522+222-112225222=-105,又异面直线所成角的范围为0,2,故所求角的余弦值为105.(方法2)把三棱柱ABC-A1B1C1补成四棱柱ABCD-A1B1C1D1,如图,连接C1D,BD,则AB1与BC1所成的角为BC1D.由题意可知BC1=2,BD=22+12-221cos60=3,C1D=AB1=5.可知BC12+BD2=C1D2,所以cosBC1D=25=105,故选C.(2)(方法1)如图,取BC的中点O,连接OP,OA,因为ABC和PBC均为等边三角形,所以AOBC,POBC,所以BC平面PAO,即平面PAO平面ABC.且POA就是其二面角P-BC-A的平面角,即POA=120,建立空间直角坐标系如图所示.设AB=2,则A(3,0,0),C(0,-1,0),B(0,1,0),P-32,0,32,所以AC=(-3,-1,0),PB=32,1,-32,cos=-58,所以异面直线PB与AC所成角的余弦值为58.(方法2)如图所示,取BC的中点O,连接OP,OA,因为ABC和PBC是全等的等边三角形,所以AOBC,POBC,所以POA就是二面角的平面角,设AB=2,则AC=OC-OA,PB=OB-OP,故ACPB=(OC-OA)(OB-OP)=-52,所以cos=ACPB|AC|PB|=-58.即异面直线PB与AC所成角的余弦值为58.对点训练2B设正方体的棱长为2,建立如图所示的空间直角坐标系,则O(1,1,0),E(0,2,1),F(1,0,0),D1(0,0,2),所以FD1=(-1,0,2),OE=(-1,1,1).所以cos=FD1OE|FD1|OE|=1+0+253=155.例38525取BC的中点E,连接AE.由AB=AC得AEBC,从而AEAD,且AE=AB2-BE2=AB2-BC22=5.以A为坐标原点,AE的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.由题意知,P(0,0,4),M(0,2,0),C(5,2,0),N52,1,2,PM=(0,2,-4),PN=52,1,-2,AN=52,1,2.设n=(x,y,z)为平面PMN的法向量,则nPM=0,nPN=0,即2y-4z=0,52x+y-2z=0.可取n=(0,2,1).于是|cos|=|nAN|n|AN|=8525.则直线AN与平面PMN所成角的正弦值为8525.对点训练3A如图,以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),C1(0,3,1),D1(0,0,1),E(1,1,0),C(0,3,0),所以DC1=(0,3,1),D1E=(1,1,-1),D1C=(0,3,-1).设平面D1EC的法向量为n=(x,y,z),则nD1E=0,nD1C=0,即x+y-z=0,3y-z=0,取y=1,则x=2,z=3,得n=(2,1,3).因为|cos|=DC1n|DC1|n|=33535,所以DC1与平面D1EC所成的角的正弦值为33535,故选A.例4B以A点为坐标原点,AB,AD,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系(图略),设AB=1,所以C(1,1,0),D(0,1,0),P(0,0,1),则CD=(-1,0,0),PD=(0,-1,1),AD=(0,1,0).设平面CDP的法向量为n=(x,y,z),所以nCD=0,nPD=0,即-x=0,-y+z=0,令y=1,所以n=(0,1,1).又因为AD为平面ABP的一个法向量,所以cos=nAD|n|AD|=12=22.因为0180,故所求二面角为45.对点训练4C如图所示,所求二面角为.因为CD=CA+AB+BD,所以CD2=CA2+AB2+BD2+2(CAAB+CABD+ABBD)=CA2+AB2+BD2+2CABD,所以CABD=12(217)2-62-42-82=-24.因此ACBD=24,cos=ACBD|AC|BD|=12,又0180,所以=60,故二面角为60.例567如图所示,三棱锥P-ABC中,PA,PB,PC两两垂直,以P为原点,PA为x轴,PB为y轴,PC为z轴,建立空间直角坐标系,PA=1,PB=2,PC=3,P(0,0,0),A(1,0,0),B(0,2,0),C(0,0,3),CP=(0,0,-3),CA=(1,0,-3),CB=(0,2,-3),设平面ABC的法向量n=(x,y,z),则nCA=x-3z=0,nCB=2y-3z=0.取z=2,得n=(6,3,2).点P到平面ABC的距离为d=|CPn|n|=636+9+4=67.对点训练5A以点D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(a,a,0),Ma,0,a2,A1(a,0,a).所以DA1=(a,0,a),BM=0,-a,a2,DM=a,0,a2.设n=(x,y,z)为平面MBD的一个法向量,则nBM=0,nDM=0,即-ay+a2z=0,ax+a2z=0.取z=1,则n=-12,12,1.所以点A1到平面BDM的距离d=|DA1n|n|=66a.故选A.