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2022届高考数学一轮复习 第八章 8.4 直线、平面平行的判定和性质学案

2022届高考数学一轮复习 第八章 8.4 直线、平面平行的判定和性质学案

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第四节　直线、平面平行的判定和性质

【知识重温】
一、必记3个知识点
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行)

因为①______，
______，
______，
所以l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行⇒线线平行”)

因为②______，
______，
______，
所以l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)

因为③______，
______，
______，
______，
______，
所以α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行

因为④______，
______，
______，
所以a∥b
3.平行关系中的两个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
二、必明3个易误点
1．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．
2．面面平行的判定中易忽视“面内两条相交线”这一条件．
3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．(　　)
(2)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．(　　)
(3)若直线a与平面α内无数条直线平行，则a∥α.(　　)
(4)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)
(5)若平面α∥平面β，直线a∥平面α，则直线a∥平面β.(　　)
二、教材改编
2．如果直线a∥α，P∈α，那么过点P且平行于直线a的直线(　　)
A．只有一条，不在平面α内
B．有无数条，不一定在平面α内
C．只有一条，且在平面α内
D．有无数条，一定在平面α内
3．下列命题中正确的是(　　)
A．如果直线a∥b，那么a平行于经过b的任何平面
B．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行
C．如果直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b
D．如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α

三、易错易混
4．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中(　　)
A．不一定存在与a平行的直线
B．只有两条与a平行的直线
C．存在无数条与a平行的直线
D．存在唯一与a平行的直线
5．设α，β，γ为三个不同的平面，a，b为直线，给出下列条件：
①a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α；②α∥γ，β∥γ；③α⊥γ，β⊥γ；④a⊥α，b⊥β，a∥b.
其中能推出α∥β的条件是________．(填上所有正确的序号)

四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅱ]设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是(　　)
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α、β平行于同一条直线
D．α、β垂直于同一平面

　直线与平面平行的判定和性质
[互动讲练型]

[例1]　[2019·全国卷Ⅰ]

如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．
(1)证明：MN∥平面C1DE；
(2)求点C到平面C1DE的距离．

悟·技法
1.判定线面平行的4种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄α，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
2．解决直线与平面平行的3个思维趋向
(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线．
(2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等．
(3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.

[变式练]——(着眼于举一反三)

1．[2021·广东省七校联合体高三联考]如图所示，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，AD＝2，CD＝4，E为CD的中点．
(1)求证：AE∥平面PBC；
(2)求三棱锥C－PBE的体积．

考点二　平面与平面平行的判定和性质
[互动讲练型]
[例2]　[2021·广东肇庆实验中学月考]如图，已知ABCD－A1B1C1D1是棱长为2的正方体．

(1)求B1C1D1－ABCD的体积；
(2)求证：平面AB1D1∥平面C1BD.

悟·技法
判定平面与平面平行的5种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
(5)利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行.

[变式练]——(着眼于举一反三)
2．[2021·四川成都五校联考]如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，AB＝AD，PA⊥PD，AD⊥CD，∠BAD＝60°，M、N分别为AD、PA的中点．
(1)证明：平面BMN∥平面PCD；
(2)若AD＝6，求三棱锥P－BMN的体积．

考点三　立体几何中的探索性问题
[互动讲练型]
[例3]　[2021·江西南昌重点中学段考]如图，四边形ABCD是梯形，四边形CDEF是矩形，且平面ABCD⊥平面CDEF，∠BAD＝∠CDA＝90°，AB＝AD＝DE＝CD＝2，M是线段AE上的动点．

(1)试确定点M的位置，使AC∥平面MDF，并说明理由；
(2)在(1)的条件下，求平面MDF将几何体ADE－BCF分成上、下两部分的体积之比．

悟·技法
1.平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确定点的位置，把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行．
2．这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.

[变式练]——(着眼于举一反三)
3．如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是棱CC1的中点，问在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？若存在，请确定点E的位置；若不存在，请说明理由．

第四节　直线、平面平行的判定和性质
【知识重温】
①l∥a　a⊂α　l⊄α　②l∥α　l⊂β　α∩β＝b　③a∥β　b∥β　a∩b＝P　a⊂α　b⊂α　④α∥β　α∩γ＝a　β∩γ＝b
【小题热身】
1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
(5)×
2．解析：过a与P作一平面β，平面α与平面β的交线为b，因为a∥α，所以a∥b，在同一个平面内，过点作已知直线的平行线有且只有一条，故选C.
答案：C
3．解析：A中，a可能在经过b的平面内，故A错误；B中，a还可以与平面α内的直线异面，故B错误；C中，a可以与直线b平行、异面、相交，故C错误；D中，过直线a作平面β，设α∩β＝c，∵a∥α，∴a∥c，又∵a∥b，∴b∥c，又b⊄α，且c⊂α，∴b∥α，故D正确．故选D.
答案：D
4．解析：当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.
答案：A
5．解析：在条件①或条件③中，α∥β或α与β相交；由α∥γ，β∥γ⇒α∥β，条件②满足；在④中，a⊥α，a∥b⇒b⊥α，又b⊥β，从而α∥β，④满足．
答案：②④
6．解析：A、C、D选项中α与β可能相交．故选B.
答案：B
课堂考点突破
考点一
例1　解析：(1)证明：连接B1C，ME.
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME＝B1C.
又因为N为A1D的中点，所以ND＝A1D.
由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED.
又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE.

(2)过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，
所以DE⊥平面C1CE，
故DE⊥CH.
从而CH⊥平面C1DE，
故CH的长即为C到平面C1DE的距离．
由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝，
故CH＝.
从而点C到平面C1DE的距离为.
变式练
1．解析：(1)∵AB＝，BC＝1，∠ABC＝90°，
∴AC＝2，∠BCA＝60°.
在△ACD中，AD＝2，AC＝2，CD＝4，
∴AC2＋AD2＝CD2，∴∠CAD＝90°，△ACD是直角三角形．
又E为CD的中点，∴AE＝CD＝CE＝2，
∴△ACE是等边三角形，∴∠CAE＝60°，
∴∠CAE＝60°＝∠BCA，∴BC∥AE.
又AE⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，∴AE∥平面PBC.
(2)∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥底面BCE，
∴PA为三棱锥P－BCE的高．
∵∠BCA＝60°，∠ACD＝60°，∴∠BCE＝120°.
又BC＝1，CE＝2，
∴S△BCE＝×BC×CE×sin∠BCE＝×1×2×＝，
∴V三棱锥C－PBE＝V三棱锥P－BCE＝×S△BCE×PA＝××2＝.
考点二
例2　解析：(1)设正方体的体积为V1，
则由题图可知B1C1D1－ABCD的体积V＝V1－VA－A1B1D1＝2×2×2－××2×2×2＝8－＝.
(2)证明：∵ABCD－A1B1C1D1为正方体，∴D1C1∥A1B1，D1C1＝A1B1，
又AB∥A1B1，AB＝A1B1，∴D1C1∥AB，D1C1＝AB，
∴四边形D1C1BA为平行四边形，
∴D1A∥C1B，又D1A⊄平面C1BD，C1B⊂平面C1BD，
∴D1A∥平面C1BD.同理，D1B1∥平面C1BD，
又D1A∩D1B1＝D1，∴平面AB1D1∥平面C1BD.
变式练
2．解析：(1)证明：连接BD.

∵AB＝AD，∠BAD＝60°，∴△ABD为正三角形．
∵M为AD的中点，∴BM⊥AD.
∵AD⊥CD，CD，BM⊂平面ABCD，∴BM∥CD.
又BM⊄平面PCD，CD⊂平面PCD，∴BM∥平面PCD.
∵M，N分别为AD，PA的中点，∴MN∥PD.
又MN⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴MN∥平面PCD.
又BM，MN⊂平面BMN，BM∩MN＝M，
∴平面BMN∥平面PCD.
(2)在(1)中已证BM⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD，BM⊂平面ABCD，
∴BM⊥平面PAD.
又AD＝6，∠BAD＝60°，∴BM＝3.
∵M，N分别为AD，PA的中点，PA＝PD＝AD＝3，
∴S△PMN＝S△PAD＝××(3)2＝.
∴三棱锥P－BMN的体积V＝VB－PMN＝S△PMN·BM＝××3＝.
考点三
例3　解析：

(1)当M为线段AE的中点时，AC∥平面MDF.
证明如下：
如图，连接CE，交DF于N，连接MN，
因为M，N分别是AE，CE的中点，
所以MN∥AC.
因为MN⊂平面MDF，AC⊄平面MDF，
所以AC∥平面MDF.
(2)将几何体ADE－BCF补成三棱柱ADE－B1CF，
则三棱柱ADE－B1CF的体积V＝S△ADE·CD＝×2×2×4＝8，
VADE－BCF＝VADE－B1CF－VF－BB1C＝8－××2＝.
三棱锥F－DEM的体积VF－DEM＝××4＝，
故上、下两部分的体积之比为＝14.
变式练
3．解析：解法一　假设在棱AB上存在点E，使得DE∥平面AB1C1，

如图，取BB1的中点F，
连接DF，EF，ED，
则DF∥B1C1，
又DF⊄平面AB1C1，
B1C1⊂平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1，
又DE∥平面AB1C1，DE∩DF＝D，
∴平面DEF∥平面AB1C1，
∵EF⊂平面DEF，∴EF∥平面AB1C1，
又∵EF⊂平面ABB1，平面ABB1∩平面AB1C1＝AB1，
∴EF∥AB1，
∵点F是BB1的中点，
∴点E是AB的中点．
即当点E是AB的中点时，DE∥平面AB1C1.

解法二　存在点E，且E为AB的中点时，DE∥平面AB1C1.
证明如下：
如图，取BB1的中点F，连接DF，
则DF∥B1C1.
∵DF⊄平面AB1C1，B1C1⊂平面AB1C1，
∴DF∥平面AB1C1.
∵AB的中点为E，连接EF，ED，
则EF∥AB1.
∵EF⊄平面AB1C1，AB1⊂平面AB1C1，
∴EF∥平面AB1C1.
∵DF∩EF＝F，
∴平面DEF∥平面AB1C1.
而DE⊂平面DEF，∴DE∥平面AB1C1.