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2017-2018高考三角函数大题

一．解答题（共14小题）
2．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2，求BC．

3．（2018•北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．

4．（2018•北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．

5．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．

6．（2018•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．

7．（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．

8．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．

9．（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．

10．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．

11．（2017•北京）在△ABC中，∠A=60°，c=a．
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．

12．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

13．（2017•浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．

14．（2017•上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．

2017-2018高考三角函数大题
参考答案与试题解析

一．解答题（共14小题）
1．（2018•新课标Ⅰ）已知函数f（x）=﹣x+alnx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：＜a﹣2．
【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），
函数的导数f′（x）=﹣﹣1+=﹣，
设g（x）=x2﹣ax+1，
当a≤0时，g（x）＞0恒成立，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞0时，判别式△=a2﹣4，
①当0＜a≤2时，△≤0，即g（x）＞0，即f′（x）＜0恒成立，此时函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
②当a＞2时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：
x
（0，）

（，）

（，+∞）
f′（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
递减

递增

递减
综上当a≤2时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，
当a＞2时，在（0，），和（，+∞）上是减函数，
则（，）上是增函数．
（2）由（1）知a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，
则f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1﹣lnx2），
则=﹣2+，
则问题转为证明＜1即可，
即证明lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，
即证2lnx1＞x1﹣在（0，1）上恒成立，
设h（x）=2lnx﹣x+，（0＜x＜1），其中h（1）=0，
求导得h′（x）=﹣1﹣=﹣=﹣＜0，
则h（x）在（0，1）上单调递减，
∴h（x）＞h（1），即2lnx﹣x+＞0，
故2lnx＞x﹣，
则＜a﹣2成立．

2．（2018•新课标Ⅰ）在平面四边形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
（1）求cos∠ADB；
（2）若DC=2，求BC．
【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．
∴由正弦定理得：=，即=，
∴sin∠ADB==，
∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，
∴cos∠ADB==．
（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB=，
∵DC=2，
∴BC=
==5．

3．（2018•北京）在△ABC中，a=7，b=8，cosB=﹣．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
【解答】解：（Ⅰ）∵a＜b，∴A＜B，即A是锐角，
∵cosB=﹣，∴sinB===，
由正弦定理得=得sinA===，
则A=．
（Ⅱ）由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB，
即64=49+c2+2×7×c×，
即c2+2c﹣15=0，
得（c﹣3）（c+5）=0，
得c=3或c=﹣5（舍），
则AC边上的高h=csinA=3×=．

4．（2018•北京）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，求m的最小值．
【解答】解：（I）函数f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x
=sin（2x﹣）+，
f（x）的最小正周期为T==π；
（Ⅱ）若f（x）在区间[﹣，m]上的最大值为，
可得2x﹣∈[﹣，2m﹣]，
即有2m﹣≥，解得m≥，
则m的最小值为．

5．（2018•上海）设常数a∈R，函数f（x）=asin2x+2cos2x．
（1）若f（x）为偶函数，求a的值；
（2）若f（）=+1，求方程f（x）=1﹣在区间[﹣π，π]上的解．
【解答】解：（1）∵f（x）=asin2x+2cos2x，
∴f（﹣x）=﹣asin2x+2cos2x，
∵f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
∴﹣asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x，
∴2asin2x=0，
∴a=0；
（2）∵f（）=+1，
∴asin+2cos2（）=a+1=+1，
∴a=，
∴f（x）=sin2x+2cos2x=sin2x+cos2x+1=2sin（2x+）+1，
∵f（x）=1﹣，
∴2sin（2x+）+1=1﹣，
∴sin（2x+）=﹣，
∴2x+=﹣+2kπ，或2x+=π+2kπ，k∈Z，
∴x=﹣π+kπ，或x=π+kπ，k∈Z，
∵x∈[﹣π，π]，
∴x=或x=或x=﹣或x=﹣

6．（2018•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知bsinA=acos（B﹣）．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设a=2，c=3，求b和sin（2A﹣B）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理得，得bsinA=asinB，
又bsinA=acos（B﹣）．
∴asinB=acos（B﹣），即sinB=cos（B﹣）=cosBcos+sinBsin=cosB+，
∴tanB=，
又B∈（0，π），∴B=．
（Ⅱ）在△ABC中，a=2，c=3，B=，
由余弦定理得b==，由bsinA=acos（B﹣），得sinA=，
∵a＜c，∴cosA=，
∴sin2A=2sinAcosA=，
cos2A=2cos2A﹣1=，
∴sin（2A﹣B）=sin2AcosB﹣cos2AsinB==．

7．（2017•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．
（1）求sinBsinC；
（2）若6cosBcosC=1，a=3，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC=acsinB=，
∴3csinBsinA=2a，
由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA，
∵sinA≠0，
∴sinBsinC=；
（2）∵6cosBcosC=1，
∴cosBcosC=，
∴cosBcosC﹣sinBsinC=﹣=﹣，
∴cos（B+C）=﹣，
∴cosA=，
∵0＜A＜π，
∴A=，
∵===2R==2，
∴sinBsinC=•===，
∴bc=8，
∵a2=b2+c2﹣2bccosA，
∴b2+c2﹣bc=9，
∴（b+c）2=9+3cb=9+24=33，
∴b+c=
∴周长a+b+c=3+．

8．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）=8sin2．
（1）求cosB；
（2）若a+c=6，△ABC的面积为2，求b．
【解答】解：（1）sin（A+C）=8sin2，
∴sinB=4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B=1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1=0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）=0，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）=0，
∴cosB=；
（2）由（1）可知sinB=，
∵S△ABC=ac•sinB=2，
∴ac=，
∴b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣2××
=a2+c2﹣15=（a+c）2﹣2ac﹣15=36﹣17﹣15=4，
∴b=2．

9．（2017•新课标Ⅲ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+cosA=0，a=2，b=2．
（1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
【解答】解：（1）∵sinA+cosA=0，
∴tanA=，
∵0＜A＜π，
∴A=，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
即28=4+c2﹣2×2c×（﹣），
即c2+2c﹣24=0，
解得c=﹣6（舍去）或c=4，
故c=4．
（2）∵c2=b2+a2﹣2abcosC，
∴16=28+4﹣2×2×2×cosC，
∴cosC=，
∴CD===
∴CD=BC
∵S△ABC=AB•AC•sin∠BAC=×4×2×=2，
∴S△ABD=S△ABC=

10．（2017•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，a=5，c=6，sinB=．
（Ⅰ）求b和sinA的值；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，
故由sinB=，可得cosB=．
由已知及余弦定理，有=13，
∴b=．
由正弦定理，得sinA=．
∴b=，sinA=；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，
cos2A=1﹣2sin2A=﹣．
故sin（2A+）==．

11．（2017•北京）在△ABC中，∠A=60°，c=a．
（1）求sinC的值；
（2）若a=7，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∠A=60°，c=a，
由正弦定理可得sinC=sinA=×=，
（2）a=7，则c=3，
∴C＜A，
由（1）可得cosC=，
∴sinB=sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=×+×=，
∴S△ABC=acsinB=×7×3×=6．

12．（2017•江苏）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．
（1）若，求x的值；
（2）记f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．
【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，
∴﹣cosx=3sinx，
∴tanx=﹣，
∵x∈[0，π]，
∴x=，
（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），
∵x∈[0，π]，
∴x+∈[，]，
∴﹣1≤cos（x+）≤，
当x=0时，f（x）有最大值，最大值3，
当x=时，f（x）有最小值，最小值﹣2．

13．（2017•浙江）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（）的值．
（Ⅱ）求f（x）的最小正周期及单调递增区间．
【解答】解：∵函数f（x）=sin2x﹣cos2x﹣2sinx cosx=﹣sin2x﹣cos2x=2sin（2x+）
（Ⅰ）f（）=2sin（2×+）=2sin=2，
（Ⅱ）∵ω=2，故T=π，
即f（x）的最小正周期为π，
由2x+∈[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z得：
x∈[﹣+kπ，﹣+kπ]，k∈Z，
故f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，﹣+kπ]或写成[kπ+，kπ+]，k∈Z．

14．（2017•上海）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+
=cos2x+，x∈（0，π），
由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，
k=1时，π≤x≤π，
可得f（x）的增区间为[，π）；
（2）设△ABC为锐角三角形，
角A所对边a=，角B所对边b=5，
若f（A）=0，即有cos2A+=0，
解得2A=π，即A=π，
由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，
化为c2﹣5c+6=0，
解得c=2或3，
若c=2，则cosB=＜0，
即有B为钝角，c=2不成立，
则c=3，
△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．

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