1、2020-2021学年高中数学 第十章 概率 10.1 随机事件与概率教案 新人教A版必修第二册2020-2021学年高中数学 第十章 概率 10.1 随机事件与概率教案 新人教A版必修第二册年级:姓名:10.1.1有限样本空间与随机事件本节普通高中课程标准数学教科书-必修二(人教A版)第九章10.1.1有限样本空间与随机事件,本节课通过对具体事例,帮助学生建立随机实验的概念,并通过对随机实验结果的数量表示,建立样本空间的概念,为概率的学习打好基础。并加深对概率思想方法的理解。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。课程目标学科素养A.理解随机试验的概念及特点B.理解样本点和样本
2、空间,会求所给试验的样本点和样本空间C.理解随机事件、必然事件、不可能事件的概念,并会判断某一事件的性质1.数学建模:随机实验及样本空间的概念 2.逻辑推理:分析随机实验的样本空间 3.数学运算:计算随机实验的样本空间4.数据分析:会求所给试验的样本点和样本空间; 1.教学重点:随机试验的概念及特点;2.教学难点: 理解样本点和样本空间,会求所给试验的样本点和样本空间;多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、温故知新概率论的产生和发展 概率论产生于十七世纪,本来是由保险事业的发展而产生的, 但是来自于赌博者的请求,却是数学家们思考概率论问题的源泉。 传说早在1654年,有一个赌徒梅累向当时的
3、数学家帕斯卡提出一个使他苦恼了很久的问题:“两个赌徒约定谁先赢满5局,谁就获得全部赌金。赌了半天, A赢了4局, B赢了3局,时间很晚了,他们都不想再赌下去了。那么,这个钱应该怎么分才理? 这个问题让帕斯卡苦苦思索了三年,三年后也就是1657年,荷兰著名的数学家惠更斯企图自己解决这一问题,结果写成了论赌博中的计算一书,这就是概率论最早的一部著作。近几十年来,随着科技的蓬勃发展概率论大量应用到国民经济、工农业生产及各学科领域。许多兴起的应用数学,如信息论、对策论、排队论、控制论等,都是以概率论作为基础的。 在初中,我们已经初步了解了随机事件的概念,并学习了在试验结果等可能的情形下求简单随机事件的
4、概率. 本节我们将进一步研究随机事件及其概率的计算,探究随机事件概率的性质. 随机现象普遍存在,有的简单有的复杂,有的只有有限个可能结果,有的有无穷个可能结果;这里的无穷又分为两种,即可列无穷和不可列无穷,例如,对掷硬币试验,等待首次出现正面朝上所需的试验次数,具有可列无穷个可能结果;而预测某地7月份的的降水量,可能结果则充满某个区间,其可能结果不能一一列举,即有不可列无穷个可能结果.所以,常见的概率模型有两类,即离散型概率模型和连续型概率模型.高中阶段主要研究离散型概率模型. 研究某种随机现象的规律,首先要观察它所有可能的基本结果.例如,将一枚硬币抛掷2次,观察正面、反面出现的情况;从班级随
5、机选择10名学生,观察近视的人数;在一批灯管中任意抽取一只,测试它的寿命;从一批发芽的水稻种子中随机选取一些,观察分囊数;记录某地区7月份的降雨量等等. 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验(random experiment),简称试验,常用字母E表示.我们感兴趣的是具有以下特点的随机试验:(1)试验可以在相同条件下重复进行;(2)试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但事先不能确定出现哪一个结果.思考1:体育彩票摇奖时,将10个质地和大小完全相同、分别标号0,1,2,9的球放入摇奖器中,经过充分搅拌后摇出一个球,观察这个球的
6、号码,这个随机试验共有多少个可能结果?如何表示这些结果?共有10种可能结果. 所有可能结果可用集合表示为:0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 样本点是随机试验的每个可能的基本结果,样本空间是全体样本点的集合.关于什么是基本结果,只能直观描述,无法严格定义.我们只讨论为有限集的情况.如果一个随机试验有n个可能结果1, 2,., n,则称样本空间=1, 2,., n,为有限样本空间. 我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点,全体样本点的集合称为试验E的样本空间(sample space). 一般地,我们用(欧米伽)表示样本空间,用表示样本点.例如,抛掷一对骰子,建立包含36个样本点的样
7、本空间1=(x,y)|x,y1,2,3,4,5,6,其中每个结果就是基本结果,如果建立只包含4个可能结果的样本空间2=(偶,偶),(偶,奇),(奇,偶),(奇,奇),其中每个元素就不能认为是基本结果.因为在样本空间2中无法求“点数之和为5”的概率.例1.抛掷一枚硬币,观察它落地时哪一面朝上,写出试验的样本空间。解:因为落地时只有正面朝上和反面朝上两个可能结果,所以试验的样本空间可以表示为 =(正面朝上,反面朝上),如果用h表示“正面朝上”,t表示“反面朝上”,则样本空间 =h,t.例2 .抛掷一枚骰子(touzi),观察它落地时朝上的面的点数,写出试验的样本空间.解:用i表示朝上面的“点数为i
8、”,因为落地时朝上面的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果,所以试验的样本空间可以表示为 =1,2,3,4,5,6.构建样本空间,这是将实际问题数学化的关键步骤,其作用体现在:可以利用集合工具(语言)描述概率问题,能用数学语言严格刻画随机事件的概念,通过与集合关系与运算的类比,可以更好地理解随机事件的关系和运算意义.可以用符号语言准确而简练地表示求解概率问题的过程.解:掷两枚硬币,第一枚硬币可能的基本结果用x表示,第二枚硬币可能的基本结果用y表示,那么试验的样本点可用(x,y)表示.于是,试验的样本空间 =(正面,正面),(正面,反面),(反面,正面),(反面,反面)例3.抛掷两枚
9、硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,写出试验的样本空间如果我们用1表示硬币“正面朝上”,用0表示硬币“反面朝第一枚第二枚上”,那么样本空间还可以简单表示为=(1,1),(1,0),(0,1),(0,0).如图所示,画树状图可以帮助我们理解例3的解答过程. 对于只有两个可能结果的随机试验,一般用1和0表示这两个结果.一方面数学追求最简洁地表示,另一方面,这种表示有其实际意义,在后面的研究中会带来很大的方便.1.同时转动如图所示的两个转盘,记转盘得到的数为x,转盘得到的数为y,结果为(x,y)(1)写出这个试验的样本空间;(2)求这个试验的样本点的总数;(3)“xy5”这一事件包含哪几个样本点?“
10、x1”呢?(4)“xy4”这一事件包含哪几个样本点?“xy”呢?解:(1)=(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)(2)样本点的总数为16.(3)“xy5”包含以下4个样本点:(1,4),(2,3),(3,2),(1,4);“x1”包含以下6个样本点:(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4) (4)“xy4”包含以下3个样本点:(1,4),(2,2),(4,1);“xy”包含以下4个样本点:(1,1),(2,2),
11、(3,3),(4,4)思考2. 在体育彩票摇号实验中,摇出“球的号码是奇数”是随机事件吗?摇出“球的号码为3的倍数”是否也是随机事件?如果用集合的形式来表示它们,那么这些集合与样本空间有什么关系?显然,“球的号码为奇数”和“球的号码为3的倍数”都是随机事件.我们用A表示随机事件“球的号码为奇数”,则A发生,当且仅当摇出的号码为1,3,5,7,9之一,即事件A发生等价于摇出的号码属于集合1,3,5,7,9.因此可以用样本空间=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9的子集1,3,5,7,9表示随机事件A.类似地,可以用样本空间的子集0,3,6,9表示随机事件“球的号码为3的倍数” 一般地,随机试验
12、中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示.为了叙述方便,我们将样本空间的子集称为随机事件(random event),简称事件,并把只包含一个样本点的事件称为基本事件(elementary event).随机事件一般用大写字母A,B,C,表示,在每次试验中,当且仅当A中某个样本点出现时,称为事件A发生. 作为自身的子集,包含了所有的样本点,在每次试验中总有一个样本点发生,所以总会发生,我们称为必然事件.而空集不包含任何样本点,在每次试验中都不会发生,我们称为不可能事件.必然事件与不可能事件不具有随机性.为了方便统一处理,将必然事件和不可能事件作为随机事件的两个极端情形。这样,每个
13、事件都是样本空间。的一个子集.随机事件:在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件。必然事件:在一定条件下必然要发生的事件叫必然事件。不可能事件:在一定条件下不可能发生的事件叫不可能事件。1.指出下列事件是必然事件,不可能事件,还是随机事件:(1)某地1月1日刮西北风;(2)当x是实数时, (3)手电筒的电池没电,灯泡发亮;(4)一个电影院某天的上座率超过50%。(5)如果ab,那么a一b0;(6)从分别标有数字l,2,3,4,5的5张标签中任取一张,得到4号签;(7)某电话机在1分钟内收到2次呼叫;(8)随机选取一个实数x,得|x|0.随机事件;必然事件;不可能事件;随机事件;必然事件
14、;随机事件;随机事件;不可能事件例4如图,一个电路中有A,B,C三个电器元件,每个元件可能正常,也可能失效.把这个电路是否为通路看成是一个随机现象,观察这个电路中各元件是否正常.(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示下列事件:M=“恰好两个元件正常”;N=“电路是通路”;T=“电路是断路”.解:(1)分别用x1,x2和x3表示元件A,B和C的可能状态,则这个电路的工作状态可用(x1,x2,x3)表示.进一步地,用1表示元件的“正常”状态,用0表示“失效”状态,则样本空间=(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1
15、,1).(2)“恰好两个元件正常”等价于(x1,x2,x3) ,且x1,x2,x3中恰有两个为1,所以M=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1).“电路是通路”等价于(x1,x2,x3) ,x1=1,且x2,x3中至少有一个是1,所以N=(1,1,0),(1,0,1),(1,1,1)。同理,“电路是断路”等价于(x1,x2,x3) ,x1=0,或x1=1,x2=x3=0.所以T=(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(0,1,1),(1,0,0).如图,还可以借助树状图帮助我们列出试验的所有可能结果.(1)用样本点表示随机事件,首先弄清试验的样本空间,不重不漏列出所有的样本点
16、然后找出满足随机事件要求的样本点,从而用这些样本点组成的集合表示随机事件(2)随机事件可以用文字表示,也可以将事件表示为样本空间的子集,后者反映了事件的本质,且更便于今后计算事件发生的概率由回顾知识出发,提出问题,让学生了解概率论的产生和发展。增加学生的数学文化素养。发展学生数学抽象、直观想象和逻辑推理的核心素养。 通过具体问题,让学生感受随机实验及样本空间的额概念。发展学生数学抽象、逻辑推理的核心素养。通过实例分析,让学生掌握分析样本空间和样本点的方法,提升推理论证能力,提高学生的数学抽象、数学建模及逻辑推理的核心素养。三、达标检测1.从6个篮球、2个排球中任选3个球,则下列事件中,不可能事
17、件是()A.3个都是篮球 B.至少有1个是排球C.3个都是排球 D.至少有1个是篮球答案:C解析:根据题意,从6个篮球、2个排球中任选3个球,四个选项都是随机事件,进一步C是不可能事件,D是必然事件.2先后掷两枚质地均匀的骰子,骰子朝上的面的点数分别为x,y,则事件:log2xy1包含的样本点有_(x,y)1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)
18、(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)解析先后掷两枚质地均匀的骰子,骰子朝上的面的点数有36种结果解方程log2xy1得y2x,则符合条件的样本点有(1,2),(2,4),(3,6)3.写出下列各随机试验的样本空间:(1)采用抽签的方式,随机选择一名同学,并记录其性别;(2)采用抽签的方式,随机选择一名同学,观察其ABO血型;(3)随机选择一个有两个小孩的家庭,观察两个孩子的性别;(4)射击靶3次,观察各次射击中靶或脱靶情况;(5)射击靶3次,观察中靶的次数.解:(1) =男,女或令m表示男生,f表示女生,则样本空间为=m,f.(2) =O
19、,A,B,AB.(3)用b表示“男孩”,g表示“女孩”,样本空间为=bb,bg,gb,gg.(4)每次射击,中靶用1表示,脱靶用0表示,则3次射击的样本空间为=(0,0,0),(0,0,1),(0,1,0),(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1),(1,1,0),(1,1,1)(5)=(0,1,2,3)。4.如图,由A,B两个元件分别组成串联电路(图(1)和并联电路(图(2),观察两个元件正常或失效的情况.(1)写出试验的样本空间;(2)对串联电路,写出事件M=“电路是通路”包含的样本点;(3)对并联电路,写出事件N=“电路是断路”包含的样本点.解:(1)用1表示元件正常,0表示元件失
20、效,则样本空间为=(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(2)对于串联电路,M=(1,1).(3)对于并联电路,N=(0,0).5.袋子中有9个大小和质地相同的球,标号为1,2,3,4,5,6,7,8,9,从中随机模出一个球(1)写出试验的样本空间;(2)用集合表示事件A=“摸到球的号码小于5”,事件B=“摸到球的号码大于4”,事件C=“孩到球的号码是偶数”解:(1) =1,2,3,4,5,6,7,8,9。(2)A=1,2,3,4;B=5,6,7,8,9;C=2,4,6,8.通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算、数学建模的核心素养。四、小结1.随机试验 可重复性、可预知性、随机性2.样本空间、样本点=1,2,n 写随机试验的样本空间时,要按照一定的顺序,特别 注意题目的关键字,如“先后”“依次”“放回”“不放回”等3.辨析随机事件、必然事件、不可能事件时要注意看清条件五、课时练通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。本节课通过对具体事例,帮助学生建立随机实验的概念,并通过对随机实验结果的数量表示,建立样本空间的概念,为概率的学习打好基础。教学中要注重学生的主体地位,调动学生积极性,使数学教学成为数学活动的教学。从而发展学生的直观想象、逻辑推理、数学建模的核心素养。