人教版高中数学《二项式定理》教学设计(全国一等奖).doc

二项式定理（第1课时）
一、内容和内容解析
内容：二项式定理的发现与证明．
内容解析：本节是高中数学人教A版选修2－3第一章第3节的内容．二项式定理是多项式乘法的特例，是初中所学多项式乘法的延伸，此内容安排在组合数模型之后，随机变量及其分布之前，既是组合计数模型的一个应用，也是为学习二项分布作准备．另外，由于二项式系数是一些特殊的组合数，由二项式定理可以导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识有好处。
由于二项式定理的发现，可以通过从特殊到一般进行归纳概括，在归纳概括过程中还可以用到组合计数模型，因此，这部分内容对于培养学生数学抽象与数学建模素养有着不可忽略的价值．教学中应当引起充分重视．
二、学情分析
这一堂课是面对高二学生。学生已经初步具备了多项式乘法，同类项合并，排列计数原理，组合数计数原理以及归纳推理等知识储备。能够在教师的引导下理解并掌握本节课中的推理演绎过程。但是，学生的自我探究，归纳，分析的能力还有待提高。
三、课程学习目标
（1）知识目标：使学生掌握二项式定理及推导方法，二项式展开式、通项公式的特点，并能利用二项式定理计算或证明一些简单问题。
（2）能力目标：在学生对二项式定理形成的参与讨论过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识及知识迁移能力。
（3）情感目标：通过二项式定理的学习，培养学生解决数学问题的兴趣和信心，让学生感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美。
四、设计思想：
本课采用合作探究、自主学习、合作交流的研究性学习方式，重点放在定理的形成、证明的探究及定理基本应用上，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。
目标解析：
（1）二项式展开式是依多项式乘法获得的特殊形式，因此从多项式乘法出发去发现二项式定理符合学生的认知规律．但归纳概括的结论，如果不加以严格的证明不符合数学的基本要求．因此，在归纳概括的过程中，用好组合模型不仅可以更自然地得到结论，还能为证明二项式定理提供方法．
（2）由于二项展开式是一个复杂的多项式．如果不把其看成一个数列的和，引进数列的通项帮助理解与应用，学生很难短期内对定理有深入的认识．因此，通过一些特例，建立二项式展开式与数列及数列和的联系，是达成教学目标的一个重要途径．
（3）数学核心素养是数学教学的重要目标，但数学核心素养需要在每一堂课中寻找机会去落实．在二项式定理的教学中，从特殊的二项式展开式的特征归纳概括一般二项式展开式的规律是进行数学抽象教学的很好机会；同时利用组合计数模型证明二项式定理，以及利用二项式定理这个模型解决问题，也是进行数学建模教学的好机会．
基于上述分析，本节课的教学重点定为：发现并证明二项式定理．
五、教学重点与难点：
重点： (1) 使学生参与并深刻体会二项式定理的形成过程，掌握二项式定理；
（2）能正确应用二项式定理解决一些简单的问题。
难点: (1) 二项式系数与组合数之间的联系；
（2）二项展开式的应用及一些易混淆的概念。

六、教学策略分析
数学是一门培养人的思维发展的重要学科。因此，在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。不仅重视知识的结果，而且注重了知识的发生、发现和解决的过程，贯彻了新课程标准的教学理念，培育了本节课内容最佳的“知识生长点”，这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。
七、教学过程与设计
教学环节
问题或任务
师生活动
设计意图
回
顾
前
知

引
出
猜
想
[问题1] 今天是星期五,
7天后的这一天是星期几呢？
15天后的这一天呢？
[问题2]若今天是星期五,再过8100天后的那一天是星期几?

[问题3]为了解决问题2，需要用到的展开，你认为这个展开式式会怎样呢？

教师1： 提出问题1．
学生1：学生思考．
教师2：提出问题2．
学生2：学生思考．
教师3：写出并观察、、
的展开式，你能得到哪些规律？
学生3：利用多项式乘法得出的展开式．
教师4：引导学生分析 、 、的展开式特点
学生4：探究的展开式。

教师5：的展开式是怎样的？
学生5：发现项数、项的次数、项的系数并猜想：的展开式

问题引入．

提出问题．

引导学生通过对特殊情形的观察，归纳猜想一般情形的基本特征．

教师引导，学生根据所得具体的展开式，从展开式中的项数、项的次数、项的系数等角度进行归纳，并根据归纳所得猜想一般的展开式的结果．
学生体会由特殊到一般的归纳猜想的过程．

探
寻
规
律

获
得
结
论
[问题4] 猜想一：中的？
教师6：提出问题3．
学生6：引起思考，并提出想法．
教师7：提出问题：
在中，为什么“，，，”？
学生7：学生根据所得的计算结果，观察得到展开式的项的特点：展开式中的每一项是由每个括号中“取且只取”一个字母相乘得到的．
展开式中的项是由，，后合并同类项得到．从三个括号中的一个括号选择“”剩余两个括号选择“”构成的，因为从三个括号中的一个括号选择“”，一旦确定哪个括号选“”，剩余两个括号选择也就确定了，因为“”有三种选择，所以对应同类项的个数就为，即“”的系数为．
教师8：能否用计数模型进行解释？
学生8：“”可以看成是从三个括号中选择一个括号选“” ，剩余两个括号选择“”，完成这件事的所有可能，要做这件是，我们可分成两步来完成：第一、从三个括号中选择一个括号选“”，有种选择；第二、剩余两个括号选择“”就种选法，故有种选法，所以，．依此可以得到其它系数的组合数形式：
．

教师9：根据所得展开式的规律，你能否得猜想的展开式中的值？
学生9：

一般问题回到特殊情形进行研究．

把问题回到已知的结构进行处理．

学生通过计算器得到计算结果．

教师通过引导学生对展开式各项构成的观察，得到项的构成．

通过特殊与一般的项的关系对比，得到对系数意义的理解．

根据展开式系数即同类项的个数这一结论，引导同学们通过一般到特殊，用组合计数模型对各项系数进行研究．

得到展开式系数的猜想．

证明
定理

明晰概念

[问题5] 你能证明

吗？

[问题6] 从数列的角度看二项式展开式，你能获得什么认识？

[问题7]你能根据
的展开式得出的展开式吗？

[课堂练习1]
(1)求的展开式；
(2)求的展开式．
[课堂练习2]
求展开式中的系数．

教师10：提出问题3．
学生10：提出想法．
教师11：你认为证明问题3，关键是几步？
学生11：（1）项的结构；（2）项的系数．
教师12：证明：是个相乘，根据多项式的乘法，展开式每一项都满足（）．
对项（）看成问题：
从个括号中选择个括号选“” ，剩余括号选择“”，相乘而成．可这样设计计数模型，要做这件事，可分成两步来完成：
第一、从个括号中选择个括号选“”，有种选择；
第二、剩余括号选择“”就种选法，
根据分步计数原理有种选法．
所以，项的同类项有，故的系数为（）．
所以，展开式每一项满足（）．

教师13：上述公式叫二项式定理，展开式共有项，其中各项的系数（）叫做二项式系数．
教师14：提出问题4．
学生14： 二项展开式可以看成是一个数列的和，数列的通项公式是，表示数列第项．
教师15：二项式展开式的通项是展开式中第项：．
教师16：引例：今天是星期五，若8 天后的这一天是星期几呢？
解:

+…+c7+c7
∴　　被7除的余数是1，因此 天后的这一天是星期六.

教师17：例1:求 (1+2x) 的展开式.
求(1-2x) 展开式第三项以及其二项式系数，求x3项的系数
师生共同完成。
教师18：布置课堂练习1、2．
学生15：完成课堂练习。

由归纳猜想到理论证明．
引导提炼学生提炼证明要点．

强调规范表达．

明晰概念．

学生从数列的角度获得对二项式展开式的再认识．

让学生体会利用二项式定理模型进行计算，感受数学模型的在数学应用中的价值．

[课堂练习1]
熟悉二项式定理模型．

[课堂练习2]让学生体会用通项公式表示展开式的简洁性．

课堂小结

升华认知

[问题8]　你从二项式定理的发现、证明与应用的过程中体会到一些什么？

[课后练习]
1．写出的展开式．
2．写出的展开式的第项．

[课后思考]
1．的展开式为 ．

2．请同学们观察下表（我国宋朝时期数学家杨辉所做的一个表），你有什么发现？

教师18：提出问题6．
学生16：本节课获取二项式定理的过程：先由特殊察、、的展开式猜想一般的展开式项的结构，再通过对特殊形式展开式项的研究得到的展开式项的规律，最后进行理论证明；课堂展示了获取一个一般性结论的过程：首先要通过特殊到一般进行猜想结论，体现了数学抽象过程；其次，得到猜想后，要进行理论论证，体现了数学逻辑推理；最后，得到结论后，要以此为模型进行应用，体现了数学模型的应用．

学生17：学生课后进行思考，并完成课后练习．

师生共同回顾总结．引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．

课后练习是对定理巩固，思考练习是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．